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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 18/06/2025

Catégorie

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Personnes
Transcription
00:00Exercice 3 du sujet de Bac tombé le jour 2 en métropole.
00:03Je suis sûr que tu t'es fait douiller à au moins une affirmation.
00:05On check ça tout de suite et balance ton score en commentaire à la fin de la vidéo.
00:08On doit bien évidemment justifier et on attaque avec l'affirmation 1.
00:12Est-ce que UN converge vers 5 tiers ?
00:15On vous voit les gens qui ont conclu vite parce qu'on a du 5 et du 3 ici.
00:18Ça ne marche pas comme ça la vie les poteaux.
00:20On factorise par 5 puissance n en haut et par 3 puissance n en bas.
00:23Et donc je rassemble les deux en une puissance qui me fait 5 tiers puissance n.
00:26Et donc j'ai 1 sur 5 puissance n, j'avais 1. J'ai 1. J'ai 2 sur 3 puissance n plus 1.
00:312 sur 3 puissance n plus 1. 1 sur 5 puissance n plus 1.
00:34Par quotient en haut, on tend vers 1. On tend vers 1 en bas.
00:37Et ceci, vu que c'est une suite géométrique de raisons strictement supérieures à 1 et de premier terme strictement positif,
00:43ça tend vers plus l'infini.
00:45Donc limite finale plus infinie par produit. Faux !
00:48Affirmation 2. On a la suite WN qui est définie de cette façon.
00:51Et on prétend que pour toute N antinaturelle, WN est supérieur ou égal à N.
00:56Comment faire pour s'en sortir et intuiter le résultat ?
00:59Parce qu'en regardant la tête de la suite, on n'a absolument aucune idée de si ça peut être vrai ou faux.
01:03Eh bien on calcule quelques termes pour se faire une intuition.
01:05Si on calcule W1, W2, W3, je te laisse le mettre en commentaire, moi j'ai la flemme de calculer,
01:09on se rendra compte que c'est vérifié.
01:11Du coup on va prouver par récurrence que c'est vrai.
01:13W 0 c'est égal à 0, c'est supérieur ou égal à 0, ok pour l'initialisation.
01:17Je ne rédige pas la récurrence, mais tu as des rédactions modèles sur mon profil,
01:20n'hésite pas à les checker.
01:21Donc par hypothèse de récurrence, j'ai que WN est plus grand que N,
01:24je multiplie par 3 puisque l'idée c'est de faire apparaître l'expression de WN plus 1,
01:28et je retranche moins 2N et je rajoute 3.
01:30Ce qui me donne ceci de l'autre côté, 3N moins 2N plus 3,
01:33ce qui fait N plus 3 et donc j'obtiens que WN plus 1 c'est ceci,
01:37est plus grand que N plus 3, mais ça c'est strictement plus grand que N plus 1.
01:40Ce qui est bien ce que je voulais démontrer, j'ai prouvé l'hérédité,
01:42donc c'est vrai, pas récurrence.
01:44Check ! Petite remarque, on a même que WN est strictement plus grand que N plus 1
01:47pour toute N dans N étoile.
01:49Je te laisse faire la récurrence pour t'entraîner BG.
01:51Je te laisse lire les informations sur la fonction,
01:53et on passe donc à l'affirmation 3.
01:55D'après le graphique, la fonction F est convexe sur son ensemble de définitions.
01:58Alors on pouvait s'amuser à essayer de regarder la courbure
02:01pour induiter si elle est convexe ou pas,
02:02mais on avait un point quand même qui nous le disait immédiatement.
02:05On est en dessous d'une tangente.
02:07Yep, grand T, c'est une tangente.
02:09Or, une fonction convexe est toujours au-dessus de ces tangentes
02:12sur l'ensemble où elle est convexe.
02:14Donc nécessairement, l'affirmation 3 est fausse
02:16puisque la courbe est en dessous d'une de ces tangentes.
02:19Et donc je te laisse checker la justification que j'ai mise en prise de note.
02:22Et enfin, 4 pour tout réel X strictement positif.
02:24LN de X moins X plus 1 est inférieur ou égal à 0
02:26où LN désigne le logarithme n'est pas rien.
02:29En fait, on est dans les mêmes bailles de convexité.
02:31Une comparaison entre une fonction et une fonction affine,
02:33c'est souvent une question de convexité qui se cache derrière.
02:36Mais je sais que la fonction est concave
02:37puisque ça, c'est strictement négatif sur R plus étoile.
02:40Et si je prends la tangente au poids d'abscisse 1,
02:41j'obtiens bien Y est égal à X moins 1.
02:44Par concavité, j'ai que LN de X est inférieur ou égal à X moins 1
02:47sur R plus étoile,
02:48soit que LN de X moins X plus 1
02:51est inférieur ou égal à 0.
02:52Autrement dit, l'affirmation 4 est vraie.
02:54Check !
02:55Voilà, n'hésite pas, si tu as des questions,
02:56à les poser en commentaire.
02:57Bisous !
02:58Et n'oublie pas de lâcher ton score en com.

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