Montrer qu'une droite est parallèle à un plan.#droite #plan #geometrie #bac #bac2025 #terminale #spemaths

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00:00Chers amis de l'Espémat qui passent bientôt le bac,

00:02ceci est en rappel quotidien qu'une droite est parallèle à un plan

00:05si et seulement si on est dans la situation de gauche ou de droite,

00:09si et seulement si un des vecteurs du directeur de la droite est contenu dans le plan.

00:13Je m'explique.

00:14Pour qu'une droite soit parallèle à un plan, il y a deux cas.

00:17Soit la droite est elle-même incluse dans le plan,

00:19soit la droite et le plan n'ont aucun point en commun.

00:22Et bien pour montrer ça, il suffit de montrer qu'un vecteur directeur

00:25qui est représenté ici en rose violet est inclus dans le plan.

00:28Pareil pour ici.

00:30Ça signifie que si vous avez deux vecteurs directeurs du plan,

00:32attention pour un plan il faut deux vecteurs directeurs,

00:34c'est-à-dire deux vecteurs non collinéaires dans le plan,

00:37alors vous devez montrer que ce vecteur rose s'écrit

00:40comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs qui dirigent votre plan.

00:44Autrement dit, si j'ai noté V et W les vecteurs directeurs du plan,

00:48alors je dois montrer que le vecteur directeur U de la droite,

00:51qui est représenté en rose, s'écrit comme combinaison linéaire,

00:54donc alpha fois le premier vecteur directeur plus bêta fois le deuxième vecteur directeur.

00:58Je pose alpha et bêta, j'écris les coordonnées,

01:01je résous le système, et si ça me donne des valeurs de alpha cohérentes, c'est bon,

01:05s'il y a des contradictions, c'est que ce n'est pas possible,

01:07j'ai démontré que U n'est pas contenu dans le plan.

01:10Donc la méthode sert aussi à montrer d'ailleurs qu'une droite n'est pas parallèle à un plan.

01:14Et une autre astuce plus rapide, c'est d'avoir un vecteur normal au plan,

01:18ce que vous avez automatiquement si vous avez une équation cartésienne de plan.

01:21Pourquoi est-ce que c'est plus rapide ?

01:23Parce qu'un vecteur normal au plan est orthogonal à tout vecteur du plan,

01:27et seulement à eux, il n'est orthogonal à personne d'autre.

01:29Donc si vous montrez que ce vecteur-là est orthogonal à votre vecteur directeur de la droite,

01:34vous montrez automatiquement que votre vecteur directeur de la droite est incluse dans le plan.

01:38Et pour ça, c'est très simple, il suffira simplement de faire le produit scalaire

01:41entre votre vecteur N et votre vecteur U.

01:44Donc je répète, on sera orthogonal au vecteur N si et seulement si on est dans le plan,

01:49puisque l'ensemble des vecteurs qui sont orthogonaux à ce vecteur N,

01:53c'est l'ensemble des vecteurs du plan auquel il est normal.

01:57Et donc si le produit scalaire n'est pas nul,

01:58vous prouvez de ce fait que le vecteur n'appartient pas au plan.

02:02Allez, promets-moi que tu vas retenir ces deux méthodes,

02:04et du coup, je te souhaite du courage pour les révisions.

02:06Bisous !

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