Preuve de l'irrationnalité de lanracine n-ième de 2 sans le Grand théorème de Fermat ou théorème de Fermat Wiles.#fermat #wiles #fraction

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00:00Le théorème de Fermat-Waltz. Sérieusement ?

00:02Oui, on parle bien de Waltz, le bout qui a travaillé pendant 8 ans pour démontrer le grand théorème de Fermat.

00:07Oui, on est bien en train de parler de cette preuve qui fait une centaine de pages en condensé.

00:11Et quand j'ai affiché ce post en story, beaucoup n'avaient pas compris l'aspect humoristique de cette démonstration.

00:16C'est que bien sûr, on peut faire beaucoup plus simple pour démontrer ce résultat, et je te montre ça tout de suite.

00:20En prime, la démonstration marche pour n supérieur ou égal à 2, contrairement à la publication où n était supérieur ou égal à 3.

00:26On a supposé bien sûr que A et B étaient des entiers qui sont premiers entre eux,

00:30et donc après avoir mis à la puissance n et multiplié par B puissance n, j'obtiens cette égalité.

00:35Mais cette égalité me dit que A puissance n est nécessairement un nombre pair, puisqu'elle est divisée par 2.

00:40Et A puissance n ne peut pas être un nombre pair si A est un nombre impair,

00:43puisque si A est un nombre impair, n'importe laquelle de ces puissances est aussi un nombre impair.

00:47Démontre-le en commentaire.

00:49Donc A est nécessairement un nombre pair.

00:50Et donc je peux écrire cette égalité de cette façon, où A est égal à 2A'.

00:54A' est aussi un entier, puisque A est pair.

00:56J'ai bien sûr distribué la puissance n au 2 et au A'.

00:59Après simplification du 2 qui est à gauche, j'ai que B puissance n est égale 2 puissance n-1 A'n.

01:04Or, n est supérieur ou égal à 2, donc n-1 est supérieur ou égal à 1,

01:09ce qui signifie que là j'ai une puissance de 2 qui n'est pas 0,

01:13et donc que B puissance n est un nombre pair.

01:15Ce qui, encore une fois, n'est possible que si B est un nombre pair,

01:18puisque si B était impair, n'importe laquelle de ces puissances serait un nombre impair.

01:21Et donc on peut faire ressortir cette absurdité ou continuer en faisant une descente infinie.

01:25Mais ici on constate que B est un nombre pair, A est un nombre pair,

01:29or on avait supposé que A et B étaient premiers entre eux,

01:32puisque la fraction ici est irréductible.

01:34Donc la racine n-1 de 2, quand n est supérieur ou égal à 2,

01:37est toujours un nombre irrationnel.

01:39Si tu as bien compris la méthode, tu peux généraliser la démonstration à la racine n-1 de 3.

01:45Si tu fais bien attention, normalement tu devrais pouvoir généraliser les idées qu'on a utilisées juste avant.

01:49Lâche la démonstration en commentaire, bisous !

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