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00:00Les prépages, je ne vous ai pas oubliés, on va essayer de démontrer ce résultat-là.
00:03On a A et B qui sont deux polynômes à coefficient dans les entiers relatifs, B est un polynôme unitaire.
00:09Il s'agit de montrer que les polynômes Q et R qui apparaissent dans la division euclidienne de A par B
00:14sont aussi des polynômes à coefficient dans Z.
00:18Alors attention, a priori, comme ça, ça n'est pas évident,
00:21puisque l'existence de la division euclidienne se fait sur un corps dans R ou dans C.
00:26Donc avec simplement l'énoncé de cours de l'existence du quotient et du reste dans la division euclidienne de A par B,
00:33on sait simplement que Q et R appartiennent à R crochet X ou C crochet X.
00:38Voilà, rigueur Q crochet X.
00:40Donc on précise que ces quatre polynômes sont reliés par cette relation.
00:44Écartons tout d'abord un cas trivial, c'est que si le degré de B est strictement plus grand que le degré de A,
00:50alors dans cette division euclidienne, Q est égal à 0 et R est égal à A.
00:53Et donc bien sûr, Q et R sont bien à coefficient dans Z.
00:58Donc ici, on se ressemble simplement sur le cas où le degré de B est inférieur ou égal au degré de A.
01:03Et on va faire ça par récurrence sur le degré de A.
01:05Je vous laisse faire l'initialisation en commentaire pour n égale 0 et n égale 1,
01:09où n est le degré de A, et moi j'attaque directement l'hérédité.
01:13D'ailleurs qu'on est sur une récurrence forte.
01:14Soit donc n un entier naturel tel que pour tout cas dans l'intervalle d'entier 0, n,
01:19A et B des polynômes à coefficient dans Z tel que le degré de B est inférieur ou égal au degré de A qui vaut K.
01:25Avec B unitaire, alors on a Q et R appartenant à Z crochet X.
01:30Montrons qu'on a la même chose pour n plus 1.
01:34C'est-à-dire que si A et B sont à coefficient dans Z et que le degré de B est inférieur ou égal au degré de A qui est égal à n plus 1 avec B unitaire,
01:42alors Q et R correspondant donc à ce couple AB appartient à Z de X.
01:47Oui, oui, je ne l'ai pas écrit, mais du coup c'est tout ça, la propriété qui dépend de N.
01:51On a donc l'égalité que A est égal à BQ plus R avec le degré de R qui est strictement inférieur au degré de B par propriété de la division euclidienne.
01:58Le degré de B étant inférieur ou égal au degré de A qui vaut n plus 1.
02:03Étant donné que A est de degré n plus 1, cette égalité nous indique que ce polynôme-là est aussi de degré n plus 1.
02:08Et le degré ne peut pas venir de R puisque le degré de R est strictement inférieur à n plus 1.
02:14Donc le terme de degré n plus 1 apparaît ici.
02:17Et nécessairement, ça va être le terme de plus haut degré de B multiplié par le terme de plus haut degré de Q.
02:23Ainsi, je peux écrire cette égalité de cette façon.
02:25Pourquoi ? Parce que par hypothèse, B est unitaire.
02:28Donc son terme de plus haut degré a un coefficient 1 et j'appelle son degré P.
02:32Et j'appelle le reste B' qui pour l'instant est simplement un polynôme à coefficient dans R ou C.
02:39Nécessairement, le coefficient dominant de A apparaît ici devant le x puissance n plus 1 moins P qui est dans Q.
02:45Parce qu'il viendra de cette distribution et toutes les autres distributions donneront des degrés strictement inférieurs.
02:50Donc j'ai bien ceci ici, plus Q', un polynôme à coefficient dans R ou dans C.
02:56Et le degré de Q' est strictement plus petit que ça.
02:59Je pose donc le polynôme A' est égal à tout ceci et j'ai la relation que A' est égal à BQ' plus R.
03:04Puisque B multiplié par tout ceci, c'est la distribution de ça à ce monôme-là.
03:10Et donc il me reste B fois Q' plus R pour que ça fasse A.
03:15Et donc j'ai bien cette égalité-là.
03:17Première possibilité, le degré de B est strictement plus grand que le degré de A'.
03:21Et dans ce cas-là, on revient au cas d'avant la récurrence.
03:25Et on aura alors que Q' et R auront des coefficients dans Z.
03:28On montrera après en quoi ça nous permet de conclure.
03:31Deuxième scénario, le degré de B est inférieur ou égal au degré de A'.
03:35On précise d'ailleurs que A' n'est pas de degré N plus 1.
03:38Il est de degré strictement inférieur à N plus 1, puisque j'ai enlevé le monôme dominant.
03:43Et donc dans ce cas, je peux appliquer l'hypothèse de récurrence sur le degré de A'.
03:46Puisqu'on était dans une récurrence forte et donc on avait l'hypothèse pour tout cas de 0 à N.
03:51Vu qu'on est de degré strictement inférieur à N moins 1, on est bien là-dedans, degré.
03:55Et donc j'ai que Q' et R sont à coefficient dans Z.
03:59Mais vu que Q s'écrit de cette façon et qu'on sait que ce bonhomme-là est aussi dans Z,
04:04puisque A est dans Z de X,
04:07alors nécessairement, si Q' est dans Z crochet X, Q aussi.
04:11Donc quels que soient les scénarios, on a bien montré que Q et R sont dans Z crochet X.
04:16C'est QFD !