Passer au player
Passer au contenu principal
Rechercher
Se connecter
Regarder en plein écran
Like
Favori
Partager
Plus
Ajouter à la playlist
Signaler
X-ENS Maths A PSI 2025Fonction, Dérivation et Convexité ❄️ (Partie 3)
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
Suivre
il y a 9 mois
Catégorie
✨
Personnes
Transcription
Afficher la transcription complète de la vidéo
00:00
Et on attaque la partie 3 du concours XENS Mat A version Psi édition 2025.
00:05
Je te laisse regarder l'énoncé et on attaque avec la question 9.
00:08
Justifier que f c1 et que f est convexe et donner l'ensemble de ces minimiseurs.
00:13
Eh bien on va vérifier tout ça à la main.
00:14
Déjà on n'a que f et c1 sur R étoile.
00:16
Ensuite f est continué en 0 puisque les deux limites sont égales.
00:19
Et enfin si je prends le taux d'accroissement il est égal à ceci ou ceci.
00:23
Et donc les limites en 0 à gauche et à droite sont égales à 0.
00:27
Et donc la valeur du nombre dérivé de la fonction en 0 est bien 0.
00:31
La dérivée est bien continue en 0 puisque si je prends la limite quand X tend vers 0.
00:35
On a bien 0 puisque l'expression de la dérivée est donnée par ceci.
00:38
De plus on n'a que f' est croissante.
00:40
Oui puisque c'est ceci l'expression.
00:41
On n'a que la fonction qui a X associé à X² est bien croissante sur 0 plus l'infini.
00:45
Et on a que la fonction constamment nulle est bien croissante.
00:48
Alors attention au petit piège ça ne suffit pas tel quel.
00:50
Être croissant pour les négatifs et croissant pour les positifs ne signifie pas qu'on est croissant sur R.
00:54
Il manque un petit truc, si on compare les gens qui sont dans R- et les gens dans R+,
00:58
est-ce qu'on a toujours la préservation de l'ordre ?
01:00
Et oui c'est le cas, si je prends n'importe qui de négatif il est inférieur à n'importe qui de positif.
01:05
Et si je prends leurs images, j'aurai pour le cas positif un carré puisqu'on est défini comme ça sur les positifs.
01:10
Et 0 pour le négatif.
01:12
Donc j'aurai toujours que l'image d'un négatif est plus petite que l'image d'un positif par cette fonction.
01:16
Et donc les images sont bien dans le même ordre pour toute valeur de X réelle.
01:20
Ainsi f' est croissante et donc on peut conclure que f est convexe.
01:23
On va maintenant donner l'ensemble des minimiseurs.
01:25
Pour toute X dans R, on a f de X supérieur ou égal à 0.
01:28
Or f de X étoile égale 0 si X étoile est dans moins l'infini 0.
01:31
C'est même un si et seulement si.
01:33
Puisque dans les autres cas, f de X est différent de 0.
01:35
On a donc trouvé l'ensemble des minimiseurs, c'est tout simplement R-.
01:39
Check !
01:39
Question 10a.
01:40
On suppose que X0 est strictement supérieur à 0 et strictement inférieur à 1 sur taux.
01:45
Justifiez que la suite Xn définie par la relation de récurrence 2 est décroissante à valeur strictement positive.
01:50
Et satisfait que Xn plus 1 est égal à Xn facteur de 1 moins taux Xn pour toute n dans...
01:55
On a que pour toute n dans une naturelle, Xn plus 1 est égal à Xn moins taux f' de Xn.
01:59
Donc Xn plus 1 moins Xn est égal à moins taux f' de Xn.
02:02
On sait que la dérivée est toujours supérieure ou égale à 0.
02:05
Donc ceci est positif, ceci est strictement positif et donc tout ceci est négatif.
02:10
Ainsi Xn est décroissante.
02:12
Check !
02:12
On va montrer par récurrence à l'arrache que Xn est strictement positif pour toute n anti-naturelle.
02:16
Donc initialisation X0 strictement positif d'après l'énoncé.
02:19
Check !
02:20
Soit n tel que Xn est strictement positif.
02:22
On trouve que Xn plus 1 est strictement positif.
02:24
On a que Xn plus 1 est égal à Xn moins taux f' de Xn.
02:27
Mais vu que Xn est strictement positif à l'hypothèse de récurrence,
02:30
ça c'est égal à Xn moins taux Xn carré.
02:32
La dérivée vaut X carré pour les X positifs.
02:35
Et ça, ça se factorise en Xn, facteur de 1 moins taux Xn.
02:38
Or on a que ceci est strictement positif par hypothèse de récurrence.
02:41
Il y en a que ceci est strictement positif.
02:43
Pourquoi ?
02:43
Parce que 1 sur taux est strictement supérieur à X0 d'après l'énoncé.
02:48
Et d'après ce qu'on a dit juste avant,
02:49
la suite est décroissante.
02:50
Donc X0 est supérieur ou égal à Xn.
02:52
Donc Xn est strictement affaire à 1 sur taux.
02:55
Donc je multiplie par taux qui est positif.
02:56
Ça me fait bien que 1 moins taux Xn est strictement positif.
03:00
Donc j'ai bien que Xn plus 1 est strictement positif.
03:03
Check.
03:04
On a donc bien prouvé ceci par récurrence.
03:06
Et encore une fois, on a bien que pour toute n anti-naturel,
03:08
Xn plus 1 est égal à Xn, facteur de 1 moins taux Xn,
03:11
puisque la dérivée en une valeur qui est positive vaut X carré.
03:15
J'ai Xn moins taux Xn carré.
03:17
Et donc j'ai bien ceci.
03:19
Question B justifie que Xn tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
03:21
Et bien d'après la question précédente, Xn est décroissante et Xn est strictement positive,
03:27
donc minorée.
03:28
Donc d'après le théorème de convergence monotone, Xn converge.
03:31
De plus, la fonction qui a X associe X, facteur de 1 moins taux X,
03:35
est continue sur tout R, parce que c'est tout simplement un polynôme.
03:38
Je peux donc appliquer le théorème du point fixe.
03:40
Je sais que Xn va converger vers un point fixe de cette fonction.
03:43
On a donc que Xn converge vers L,
03:45
et L est égal à L, facteur de 1 moins taux L.
03:48
Je distribue, je simplifie par L, j'obtiens 0 est égal à moins taux L carré.
03:53
Et donc en divisant par moins taux qui est strictement positif,
03:55
j'obtiens que L carré est égal à 0, ce qui équivaut à L est égal à 0.
03:58
Donc Xn tend bien vers 0 quand n tend vers plus l'infini.
04:00
Check.
04:01
Question C, montrez que 1 sur Xn plus 1 est égal à 1 sur Xn plus taux sur 1 moins taux Xn
04:06
pour tout n entier naturel.
04:08
Soit un entier naturel quelconque, je peux faire 1 sur Xn plus 1,
04:11
puisqu'on a démontré juste avant que Xn plus 1 est strictement positif,
04:13
donc différent de 0, et donc c'est égal à ceci.
04:15
Pareil, tout ceci est valide, car Xn est différent de 0,
04:19
et ceci est différent de 0, vu que Xn est strictement inférieur à 1 sur taux,
04:23
par le raisonnement que j'ai fait ici dans la récurrence.
04:25
Je fais tout simplement une décomposition en éléments simples,
04:27
et j'obtiens ceci.
04:28
En mettant au même dénominateur, on voit rapidement qu'on a bien l'égalité.
04:31
Check.
04:32
Deuxième partie de la question,
04:33
on déduit que Xn est inférieur ou égal à X0 sur 1 plus n taux X0.
04:37
Je viens de montrer que pour tout cas,
04:39
1 sur Xk plus 1 moins 1 sur Xk est égal à ceci.
04:42
Je fais juste passer ça de l'autre côté de l'égalité.
04:45
Et donc je vais sommer pour cas de 0 à n moins 1,
04:48
ce qui me donne que cette somme-là est égale à cette somme-là.
04:52
Ici, vous avez reconnu une somme télescopique,
04:54
donc j'ai le terme ici en n moins 1 qui fait 1 sur Xn,
04:57
moins 1 sur X0, tous les autres se simplifient.
05:00
Je factorise ici par taux,
05:02
et finalement en isolant 1 sur Xn,
05:03
j'obtiens que 1 sur Xn est égal à 1 sur X0 plus taux fois toute cette somme.
05:07
Je l'inverse, puisqu'évidemment tout ça est strictement positif,
05:10
donc différent de 0.
05:11
Et je divise par X0,
05:12
ce qui équivaut à multiplier le dénominateur par X0,
05:14
donc j'ai 1 plus taux X0 fois cette somme.
05:18
Et ça, j'affirme que c'est inférieur ou égal à 1 sur 1 plus taux X0 n.
05:22
Pourquoi ?
05:23
Parce que j'ai que 1 est inférieur ou égal à 1 sur 1 moins taux Xk,
05:27
quel que soit k.
05:28
Pourquoi ?
05:28
Parce que taux Xk est strictement positif,
05:31
et donc 1 moins taux Xk est inférieur ou égal à 1.
05:33
Je passe de l'autre côté et je rajoute 1,
05:35
et je divise par ça, qui est différent de 0.
05:37
Et je somme de 0 à n moins 1,
05:39
et j'obtiens donc du coup n est inférieur ou égal à ceci.
05:42
Et quand j'ai un quotient,
05:43
si je prends une quantité plus petite que le dénominateur,
05:46
je majore la quantité globale.
05:49
Donc vu que n est plus petit que cette somme-là,
05:51
j'ai que 1 sur 1 plus tout ça,
05:54
et plus petit que 1 sur taux X0 n.
05:57
Taux X0 sont bien strictement positifs.
05:59
Je peux le voir aussi en mode,
06:01
je multiplie ici par taux X0,
06:03
pareil ici,
06:04
je rajoute 1,
06:05
donc c'est dans cet ordre-là,
06:06
et tous les deux sont positifs,
06:07
je prends les inverses pour n différent de 0,
06:10
et j'obtiens bien cette inégalité-là.
06:12
L'inégalité à démontrer est évidemment vraie
06:14
quand n est égal à 0,
06:15
et tout ce qu'on a fait ici,
06:16
on précise que c'est pour n plus grand que 1.
06:19
Si après multiplication par X0,
06:20
donne l'inégalité voulue, check !
06:22
Question 11,
06:23
on suppose seulement que le taux est strictement positif,
06:25
montrer que pour tout X0 dans R,
06:26
la suite Xn converge vers un minimiseur de F.
06:29
D'abord, on peut noter que par le même raisonnement
06:30
que la question 10a,
06:32
j'ai Xn plus 1 moins Xn,
06:33
qui est toujours égal à ceci,
06:34
qui est toujours négatif,
06:35
donc j'ai bien aussi que la suite Xn est décroissante.
06:38
On va montrer que dans la généralité de taux strictement positif,
06:41
soit Xn est minoré par 0,
06:43
et donc convergente et par le même raisonnement tendra vers 0,
06:46
soit Xn est constante à partir d'un certain rang.
06:49
Si elle est minorée par 0,
06:50
on reproduit le même raisonnement qu'avant,
06:51
et donc on a bien que Xn tend vers 0,
06:54
et donc on a bien qu'on tend vers un minimiseur de la fonction.
06:57
Maintenant, si Xn n'est pas minoré vers 0,
07:00
ça veut dire qu'il existe une valeur de la suite
07:01
qui est strictement négative.
07:03
On va l'appeler Xp,
07:04
or Xp plus 1 après la relation de récurrence
07:06
est égal à Xp moins taux F' de Xp.
07:09
Et pour rappel, F' elle vaut 0 pour les strictement négatifs,
07:12
ce qui signifie qu'ici on a que c'est égal tout simplement à Xp,
07:15
puisque ceci s'annule.
07:17
Et donc j'ai que Xp plus 1 est égal à Xp,
07:19
et de même je reproduis le raisonnement,
07:21
Xp plus 2, etc., etc. est égal à Xp,
07:23
on est bien constant à partir d'un certain rang
07:25
de valeurs strictement négatives.
07:27
Donc comme on est constant à partir d'un certain rang,
07:29
on tend vers Xp,
07:31
et Xp est une valeur strictement négative
07:32
qui est bien un minimiseur.
07:34
Après la question 9,
07:35
on a affirmé que les minimiseurs,
07:36
c'est R moins.
07:37
Question 12a,
07:38
je te laisse lire la petite intro hypothèse,
07:40
et moi je lis la question 12a,
07:41
montrer que pour tout XY dans R,
07:43
F de Y est super ou égal à F de X,
07:45
plus Fn de X,
07:46
facteur de Y moins X.
07:48
Alors il donne une indication avec le développement limité
07:50
de la relation 1 quand T tend vers 0+,
07:53
mais on pouvait faire autrement,
07:55
donc je vais te présenter 3 preuves distinctes,
07:56
incluant la leur.
07:57
Pour rappel, la relation 1,
07:59
c'est que pour tout XY dans R et tout T dans 0,1,
08:01
j'ai cette inégalité-là,
08:02
c'est la convexité de F.
08:04
Et je réécris ce terme de cette façon-là,
08:06
et du coup on voit que ici,
08:08
quand T tend vers 0,
08:09
j'ai bien un truc qui tend vers 0,
08:10
et je fais le développement limité de ça.
08:12
Alors droit 1,
08:12
puisque j'ai seulement comme information que F est C1.
08:15
J'obtiens donc cette nouvelle inégalité
08:16
avec mon développement limité
08:18
qui apparaît sur la gauche.
08:19
Je simplifie les F de X,
08:20
et je divise par T,
08:22
on va supposer que T est différent de 0,
08:23
et j'obtiens finalement cette inégalité-là.
08:25
Pourquoi ?
08:25
Parce qu'un petit taux de T2 divisé par T,
08:28
ça fait un petit taux de T.
08:29
Je te laisse démontrer ça en commentaire.
08:30
Et j'obtiens finalement cette inégalité-là,
08:32
et je vais passer à la limite
08:33
quand T tend vers 0+,
08:35
dans cette inégalité,
08:36
qui me donne bien l'inégalité voulue.
08:38
Check !
08:38
Deuxième possibilité,
08:39
soit XY dans R,
08:40
supposons que X est inférieur ou égal à Y.
08:42
On fera dans l'autre sens après.
08:44
Aussi, X égale Y, c'est trivial,
08:45
donc on va les supposer distincts.
08:47
La fonction vérifie les hypothèses du TAF,
08:49
et donc j'applique le théorème des accroissements finis,
08:51
et j'ai l'existence d'un Z dans l'ouvert,
08:53
tel que ce taux d'accroissement est égal à F' de Z.
08:56
Or, Z est supérieur ou égal à X.
08:58
Pourquoi ?
08:58
Parce que Z était pris dans l'intervalle XY ouvert.
09:01
Ben, X est strictement inférieur à Y.
09:02
Et donc, on a que F' de Z est supérieur ou égal à F' de X,
09:05
car F' est croissante,
09:06
car F est convexe d'après l'énoncé.
09:08
Et donc, je remplace F' de Z par le taux d'accroissement,
09:11
et j'ai bien l'inégalité voulue,
09:12
après avoir réarrangé,
09:13
sachant que Y moins X est strictement positif,
09:16
et qu'en multipliant, je ne change pas l'inégalité.
09:18
Check !
09:18
Je le fais aussi rapidement dans le cas où X est strictement plus grand que Y,
09:21
et c'est un peu la même chose,
09:22
sauf qu'il faut simplement faire attention ici,
09:24
où je multiplie par Y moins X,
09:25
Y moins X est strictement négatif.
09:27
Donc l'inégalité change de sens en passant de ici à ici.
09:32
T'es voulu, check !
09:33
Dernière méthode, je te laisse la faire en commentaire.
09:35
Tu peux noter que ça, ça va être l'équation d'une tangente bien choisie.
09:38
Alors fais attention à ne pas t'embrouiller avec les Y,
09:40
peut-être change les lettres à la place de Y, mais Z.
09:42
Et calcule l'équation de la tangente,
09:43
et donc tu verras que tu auras ceci par la convexité de F.
09:46
Check aussi, parce que je sais que t'es bégé et que tu vas y arriver.
09:49
N'hésite pas, si tu as des questions, à les lâcher en commentaire.
09:51
On se donne rendez-vous pour la suite.
09:54
Bisous !
Écris le tout premier commentaire
Ajoute ton commentaire
Recommandations
8:17
|
À suivre
XENS Maths A PSI 2025Fonction, Dérivation et Convexité ☄️
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 9 mois
10:01
X-ENS Maths A PSI 2025Fonction, Dérivation et Convexité ⚡️ (Partie 2)
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 9 mois
0:27
Sujet Mines Maths 2 filière PSI 2025 🔥
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 8 mois
27:12
Correction exercice 9 - Les nombres complexes - Partie 2 - TSTI2D
TOSCANELLI - Studio
il y a 9 mois
23:02
Correction exercice 3 - Les matrices - maths expertes
TOSCANELLI - Studio
il y a 1 an
30:06
Correction - Interrogation fonction dérivée- 1ère spé
TOSCANELLI - Studio
il y a 2 ans
1:09
Comment trouver les poly de transition en maths pour s'entraîner l'été ? 👀
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
2:55
DL en 0 de exp(x)sin(x) tiré du cahier de calcul de Bardavid pour la prépa.#dl #calcul #prepa
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
2:35
Poly LLG exo 150 p.54dérivées exponentielle et polynômes#exponentielle #polynome #derivee
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
2:18
Un exemple de fonction non monotone sur tout sous intervalle ouvert non vide? 🤔
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
0:10
cardio je sais
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
2:54
Explication Fonctionnement du Symbole ∑ et d'autres comme Π ∪ et ∩.#somme #sigm
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
2:59
Bac de maths de 1ère filière spécialité maths.Sujet 0 n°1 Partie Automatismes QCM Questions 3 et 4.#premiere #bacmaths
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
0:05
les théorèmes d'incomplétude
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
24:00
Exercice Théorie de Galois 🍎
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
0:08
blague de logicien ça
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
0:05
l'éternel débat d'internet
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
1:55
Bac de maths de 1ère filière spécialité maths.Sujet 0 n°1 Partie Automatismes QCM Questions 1 et 2.#premiere #bacmaths
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
9:23
Calculs de sommes et télescopage.Poly H4 vers la Prépa BL Ex21.#somme #prepa #h4
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
9:57
Exemple de raisonnement par analyse synthèse avec l'exercice classique de la caractérisation des fonctions linéaires.Poly LLG ex 24 p.20 et Poly Tosel ex 36 p.7#llg #prepa #continue #fonction
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
0:07
leurs étoiles là...
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
4:48
Poly LLG Exos 17 à 21 p.18 sur le raisonnement par l'absurde.On parle de beaucoup de propriétés sur l'irrationnalité de certains nombres.#raisonnement #absurde #logique
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
16:55
Calcul de la somme Σ(-1)^n/n²+z² 💀
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
9:56
Développement asymptotique d'une suite définie implicitement.Poly Tosel vers la spé MP 21 p.4#llg #tose #fonction #suite
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
0:12
bac maths première
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 mois
Écris le tout premier commentaire