00:00Bem pessoal, vamos agora resolver a questão 2, que é a questão 25 da seção 3.13.2 do Alfredo
00:08Stenbusch, no qual a questão diz para calcular o volume do tetraedro cujo vértice são A, B, C e D,
00:15aí eles dão os pontos aqui referentes a isso.
00:18Então vamos lá resolver a questão. Vimos que o volume do tetraedro é dado por, vimos nas aulas anteriores que
00:42o volume do tetraedro é um sexto do volume do paralepípedo.
00:46Nesse caso aqui, a gente pode montar como sendo o vetor A, B, A, C e A, D, que é
00:55o produto misto disso que vai dar o volume, o módulo disso vai dar o volume do paralepípedo e um
01:02sexto é o volume do tetraedro, certo?
01:05A gente viu isso nas aulas anteriores, então veja lá para vocês entenderem.
01:10Nesse caso aqui, a gente tem os pontos apenas. Então vamos calcular, se a gente tem 4 pontos, então a
01:18gente calcula os vetores.
01:19Então o vetor A, B, é quem? É o ponto B menos o ponto A.
01:25E nesse caso aqui, o ponto B vai ser quem? 7, 4 e 3.
01:30E o ponto A, 1, 2 e 1.
01:35Vai resultar em que vetor aqui? 7 menos 1, 6.
01:404 menos 2, 2.
01:43E 3 menos 1, 2.
01:46Então esse é o vetor AB.
01:48Já o vetor AC vai ser quem?
01:50C menos A.
01:52Que C vai ser quem? 4, 6 e 2.
01:57Menos A, que vai ser 1, 2 e 1.
02:00Tudo isso vai ser igual a quem?
02:024 menos 1, 3.
02:046 menos 2, 4.
02:072 menos 1, 1.
02:09Então a gente já encontrou o vetor AC, agora o vetor AD.
02:14Vai ser D menos A, que é os pontos D menos A.
02:17Aqui vai ser quem? D.
02:193, 3 e 3.
02:22E A continua sendo 1, 2 e 1.
02:25Nesse caso aqui, 3 menos 1, vai D, vai ser 2.
02:303 menos 2, vai ser 1.
02:32E 3 menos 1, vai ser 2.
02:35Certo?
02:36Então aqui estão os vetores.
02:39Uma vez encontrados os vetores, a gente precisa calcular o produto misto de AB com AC e AB.
02:49E o produto misto, nesse caso aqui, vai ser quem?
02:53O primeiro vetor é 6, 2 e 2.
02:58O segundo, 3, 4 e 1.
03:02E o terceiro, 2, 1 e 2.
03:06Certo?
03:07Existem várias formas para resolver essa matriz.
03:10Por cofatores.
03:12Ou então, eu vou resolver por Sarros, né?
03:15Por Sarros, como é que a gente resolve por Sarros?
03:17Aqui vai ter...
03:17A gente repete as duas colunas, né?
03:20Aqui a gente vai ter 6, 2, 3 e 1.
03:24E aqui vai ser 4 e 2.
03:26Isso aqui por Sarros, né?
03:31Sarros.
03:32Acho que se escreve assim.
03:34Resolvendo por Sarros.
03:35A gente poderia resolver por cofatores.
03:37Daria a mesma resposta.
03:39Como aqui só tem números, por Sarros é mais fácil, eu acredito, né?
03:43Para resolver.
03:44Então, como é que a gente resolve isso aqui?
03:46Resolve dessa forma, pessoal.
03:48A gente...
03:51É...
03:52A gente multiplica cruzado aqui.
03:55Depois, soma com isso.
03:58E soma com isso.
03:59E depois, a gente diminui.
04:04Multiplicando cruzado, voltando assim.
04:07Certo?
04:10Então, basicamente, aqui a resposta vai ser quem?
04:17Vai ser 6 vezes 4, vezes 1, vezes 2, na verdade.
04:27Mais 2 vezes 1, vezes 1, vezes 2, mais 2, vezes 3, vezes 1.
04:39E aí, agora vai ficar a par de menos, né?
04:42Menos...
04:43Menos quem?
04:442 vezes 4, vezes 2.
04:49Ela só dá uma conta maior, né?
04:51Mas a resposta vai ser a mesma.
04:54Menos quem?
04:546 vezes 1.
04:566 vezes 1, vezes 1.
05:00Menos quem?
05:012, vezes 3, vezes 2.
05:06Certo?
05:086 vezes 4 vai dar quanto?
05:11Vai dar 24.
05:13Vai dar 24.
05:1324 vezes 2.
05:14Vai dar quanto?
05:1548.
05:16Então, vai dar 48.
05:18Mais quem?
05:192 vezes 1, é 2.
05:20Vez 2, é 4.
05:22Mais 4.
05:23Mais quem?
05:242 vezes 3, é 6.
05:26Vez 1, continua sendo 6.
05:28Menos quem?
05:292 vezes 4, 8.
05:318 vezes 2, é 16.
05:32Menos 16.
05:33E aqui, 6 vezes 1, vezes 1, vai dar menos 6.
05:37E aqui, 2 vezes 2, vai dar 6.
05:42Vez 2, 12.
05:43Só que aqui tem um menos, vai ficar menos 12.
05:45Certo?
05:47Então, tudo isso, a gente vai encontrar que vai ser igual a quanto?
05:51Ó, se a gente somar, aqui 6 mais 4, né?
05:554 mais 6 vai dar 10.
05:5710 com 48 vai dar quem?
06:0058.
06:00E aqui, vamos ter 16.
06:05Se a gente somar aqui, ó, 12 com...
06:0916 com 6 vai dar quanto?
06:12Vai dar 22.
06:14Certo?
06:1522 com 12, 34.
06:18Só que tudo isso é negativo.
06:19Então, menos 34.
06:21Logo, a resposta disso vai dar quem?
06:2424, né?
06:26Então, se a gente fizesse por cofatores, também daria a mesma resposta.
06:32Certo, pessoal?
06:33Daria os 24.
06:34Mas aqui eu resolvi por sarros.
06:36A matriz, né?
06:37O determinante.
06:38Portanto, o volume do tetraedro é um sexto do volume do paralepípedo.
07:06Só que o volume do paralepípedo, a gente encontrou que o produto misto dá 24, né?
07:13Se fosse negativo, a gente tem que considerar o módulo, né?
07:16Disso aqui.
07:16É o módulo do produto misto.
07:18Mas como é positivo, assim vai ser sempre positivo.
07:21Vai ser o módulo de 24, né?
07:23Do produto misto.
07:24Então, o módulo disso vai dar quem?
07:28Vai ser continuar o próprio 24.
07:34E 24 dividido por 6 dá quanto?
07:37Vai dar 4, né?
07:394Q unidade de volume.
07:43Então, aqui está a resposta, né?
07:46Para o volume do tetraedro.
07:49Certo?
07:49Onde ele deu aqui os pontos.
07:51E a gente calculou, né?
07:53Que a partir desses pontos a gente consegue montar os vetores.
07:56E a partir disso a gente conseguiu encontrar o volume do tetraedro.
08:00Que deu 4 unidades de medidas.
08:02Então, é isso, pessoal.
08:04Até a próxima aula.
08:05Tchau.
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