- 9 saat önce
13-Oran Orantı 04
Kategori
📚
ÖğrenmeDöküm
00:00Merhaba arkadaşlarım. İyi akşamlar. Nasılsınız efendim?
00:30Hoş bulduk. Keyfiniz nasıl? Keyfiniz nasıl? İyi misiniz? İyi geçme haftamız? Ha dostlar.
01:00Oh ne güzel işler. Ders çalışalım. Yapalım tabii ki.
01:15Şimdi dostlar biz en son bu böyle oronantıda kalmıştık galiba değil mi? Ben yanlış hatırlamıyorum. Hiç başlamadık buraya.
01:22Başladık. Ooo geometrik. Vallahi mi? Aman aman. Nasıl unuttum ya ben? O zaman hemen ilerliyorum.
01:35Hemen hemen hemen hemen hemen şu geometrik ortalama girelim. Gel gel gel gel gel geometrik ortalama.
01:52Tamam. Geldim. 13. sayfa Emine. 13. sayfada.
02:02Şimdi canım arkadaşlarım.
02:19Vallahi mi? Doğrudur. Ben dör alıyorum.
02:22Şimdi. Canlarım. Şu geometrik ortalama bir başlayalım. Önce geometrik ortalama bir tanımlayalım isterseniz. Ondan sonra başlayalım.
02:38Şimdi. Aritmetrik ortalama biliyorsunuz hani hesaplanırken şöyle hesaplanıyordu.
02:43Mesela iki tane sayımız varsa iki sayı topluyor bir ikiye bölüyorduk.
02:46Üç sayımız varsa üçünü topluyor bir üçe bölüyorduk. Değil mi?
02:49Geometrik ortalama mesela şöyle hesaplanıyor. Aslında burada gördüğümüz bir formül var ama bu formül biraz korkutucu gelebilir başlangıçta.
02:56Aslında buradaki anlamı şu.
02:58Mesela hani basit örnekleriyle yola çıkarsak diyelim ki biz dört ve dokuzun geometrik ortalamasını bulmak istiyoruz diyelim ki.
03:06Bunu şöyle buluyoruz. İki sayıyı çarpıyoruz dostlar.
03:10Kökünü alıyoruz. Ve iki sayımız olduğu için kare kökünü alıyoruz.
03:14Yani kaç tane sayımız varsa o dereceden kökünü alacağız.
03:19Bu da ne olacak? Dört kere dokuz otuz altı yapacak.
03:22E otuz altının kare kökü de dışarıya altı olarak çıkmış oluyor değil mi?
03:27Ama mesela bir, üç ve dokuzun geometrik ortalamasını bulmak istiyorum diyelim ki.
03:34Bu sefer kök içinde bir, üç ve dokuzu çarpacağım.
03:38Ama üç sayım olduğu için küp kökünü alacağım bu sefer de.
03:42Yani küp kök yirmi yedi olacak ki.
03:45Biz biliyoruz ki yirmi yedi sayısı üçün küpüdür.
03:48E kökle kuvvet birbirini yiyince de içerideki dışarıya üç olarak çıkmış olur.
03:54Yani bunun bütün mantığı şu.
03:56Bize kaç tane sayı veriyorsa o sayıları kökünün içinde çarpacağız.
04:00Ve kaç sayı verdiyse o dereceden kökünü alacağız sadece.
04:05Bunu hatırlıyoruz değil mi birazcık?
04:09Yok hiç hatırlamıyoruz diyorsunuz.
04:10Ya hiç işimiz olmaz diyorsun.
04:14Peki.
04:15Şimdi bunu da şöyle yapalım o zaman.
04:20Sadece karakök mü hatırlamışız?
04:22Doğrudur.
04:23Şimdi burada mesela A sayısı kök on yedi eksi bir.
04:26B sayısı kök on yedi artı bir olarak verilmiş.
04:29Diyor ki bunların geometrik ortalaması kaçtır diye soruyor.
04:33Ne yapıyoruz?
04:34Şimdi iki tane sayımız var.
04:35Birisi kök on yedi eksi bir.
04:38Öbürü kök on yedi artı bir.
04:40Bu iki sayıyı çarpıp iki sayımız o olduğu için kare kökünü alıyoruz değil mi?
04:45O zaman bu da ne oluyor?
04:46Kök içinde birincinin karesi eksi ikincinin karesi oluyor.
04:52E kökle kare birbirini yiyor.
04:54Yani elimizde ne kaldı?
04:56On yedi eksi bir kaldı ki kök on altı.
04:59E on altıdan neyin karesidir deseler?
05:02Deriz ki dördün karesidir.
05:03Dolayısıyla bu da dışarıya dört olarak çıkacaktır.
05:07Anlaşabildik mi nasıl bulduğumuzda?
05:09Oldu mu bu?
05:14Oldu.
05:15Peki.
05:17Peki, peki, peki, peki.
05:19O zaman bir sonraki soru geliyor.
05:22Diyor ki pozitif x ve y sayılarının aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit olduğuna göre x bölü y oranı kaçtır diye sormuş değil mi?
05:32Şimdi diyor ki x ile y'nin aritmetik ortalaması nasıl buluyduk aritmetik ortalamasını?
05:38İki sayı toplayıp ikiye böleceğiz değil mi?
05:41x ile y'yi topla ikiye böl diyeceğiz.
05:44E geometrik ortalamanı nasıl bulacağız?
05:47İki sayıyı çarpacağız.
05:49Kare kökünü alacağız.
05:50Çünkü iki sayımız var.
05:51Bu yüzden kare kökünü alıyoruz.
05:52Ve diyor ki soru geometrik ortalamasıyla aritmetik ortalaması birbirine eşit.
05:58E buradan içler dışlar çarpımı yaparsak x artı y 2 çarpı kök x'ye bulunmuş oluyor.
06:06Değil mi?
06:06Ama biz kökten tiskindiğimiz için ne yapıyoruz efendim?
06:11Her iki tarafın karesini alarak o kökten kurtuluyoruz.
06:15O zaman alalım karesini.
06:18Birincinin karesi artı birinci ve ikincinin çarpımının iki katı artı ikincinin karesi oluyor.
06:25Eşittir.
06:26İkinin karesi dört.
06:28Kök x'ye'nin karesini aldığımızda kökle kare birbirini yiyecek x'ye mi kalacak elimizde?
06:33E dört x'ye'yi bu tarafa atıyorum.
06:37Eksi dört x'ye geçiyor.
06:39İki tane x'ye'den dört tane x'ye çıkartırsam eksi iki tane x'ye kalıyor değil mi elimizde?
06:45Eşittir sıfır.
06:46Peki bu ne anlama geliyor?
06:48Bunun anlamı şu aslında.
06:50Birincinin karesi birinci ve ikincinin çarpımının iki katı ikincinin karesi olduğuna göre
06:54aslında bu bir şeyin açılımı oldu.
06:57Neyin açılımı oldu?
06:58x eksi y'nin karesi oldu değil mi?
07:01E o zaman karesi sıfırsa kendisi de sıfır.
07:05Yani x eksi y'ye sıfır çıkıyor.
07:07Hatta eksi y'yi diğer tarafa atarsanız x buradan y'ye eşit çıkıyor.
07:11E bize de soru diyor ki x bölü y oranı kaç?
07:15E bunlar birbirine eşitse.
07:16Yani ben x'in yerine y yazabiliyorsam.
07:18y bölü y'den bu oran her zaman bire eşit çıkar değil mi?
07:23Aslında demek ki burada biz şunu bilmemiz gerekiyor.
07:27Bir sayının aritmetik ortalaması ve geometrik ortalaması birbirine eşitse
07:31bu sayılar her zaman birbirine eşittir arkadaşlarım.
07:35Hep.
07:36Eğer bu bilgi aklımızda olsa mesela böyle bir soru sorulduğu anda
07:39direkt cevabını bir deyip geçebiliriz bu durumda.
07:42Aritmetik ortalaması ve geometrik ortalaması birbirine eşit ise eğer sayıların
07:46o zaman bu sayılar birbirine eşittir.
07:49Notunu bunun yanına alabiliriz hemen.
07:53Anlatabildim?
07:58İlk soruyu.
08:01Hemen döndüm.
08:02Şöyle yaptım.
08:02İki tane sayımız vardı.
08:03Bu iki sayının geometrik ortalamasını sormuştu.
08:06İki sayıyı çarpıp kare kökünü aldım sadece.
08:09E bu da iki kare farkı olduğu için içerisi.
08:12Şunlar.
08:13Birincinin karesi eksi ikincinin karesi şeklinde yazdım.
08:16Kök ya kare birbirini götürdü.
08:18On yediden bir çıktı.
08:19Kök on altı kaldı ki on altının kare kökü de dört dedik Büşra.
08:26Rica ederim ne demek.
08:29Anam geldik bir sonraki soruya.
08:32Demiş ki bunda da iki sayının aritmetik ortalaması beş, geometrik ortalaması iki kök beş
08:39ise bu sayıların karelerinin toplamı karşı diye sormuş.
08:44Ve da dedi ki altmış dedi.
08:46Betül altmış diyorlar Betül.
08:55Betül.
08:55Oho Betül diyorum Betül uyukluyor ya.
09:08Hah.
09:09Uyukluyor muymuş bari?
09:10İyi.
09:10İyi.
09:11O zaman beraber yapalım mı bunu?
09:20Şimdi iki sayının aritmetik ortalaması beş diyor değil mi bize?
09:24Sayıların ne olduğunu bilmiyoruz.
09:26X'de Y olsun yine bunlar.
09:28Bunların aritmetik ortalaması beş ise X'de Y'yi toplayıp ikiye böldüğümüzde beş eşit olmalı.
09:34Yani içler dışlar çarpımı yaptığımızda hatta X artı Y toplamı iki kere beşten ondur diyebiliriz.
09:42Bu bir dursun.
09:43Bir de diyor ki geometrik ortalaması da iki kök beş diyor sayıları.
09:48Yani bu iki sayıyı çarpmışız.
09:50Karı kökünü de almışız.
09:52Bu da iki kök beşe eşitmiş.
09:54Değil mi?
09:55E o zaman biz köklerden kurtulmak için hemen ne yapıyoruz?
09:59Her iki tarafın çat çut karesini alıveriyoruz.
10:01Kök de kare birbirini yiyor.
10:04Bu durumda X çarpı Y'ye eşittir diyoruz.
10:08İkinin karesi dört.
10:10E kök beşin karesi de beş olduğuna göre dört çarpı beşten yirmiye eşittir deriz.
10:17Tamam şimdi ama bu soru bize diyor ki X kare artı Y kare karşıladır.
10:21Değil mi?
10:24E o zaman ben şimdi bunu şöyle bulurum.
10:26Toplamlarını biliyorum.
10:28Çarpımlarını biliyorum.
10:29E o zaman hani tam kare açılımı şöyle değil miydi zaten?
10:33X artı Y'nin karesi.
10:35X kare artı iki ikisiye artı Y kareydi zaten.
10:40E o zaman şimdi ben bulduklarımı yerine yazsam X artı Y on.
10:44X kareyi bilmiyorum.
10:46Ama X'te Y'nin çarpımının yirmi olduğunu da bulduk.
10:50Artı Y kare oluyor.
10:52E onun karesi yüz.
10:54Eşittir.
10:55X kare artı iki kere yirmi kırk artı Y kareye.
10:59Hatta artı kırkı da diğer taraf atarsak o da eksi kırk olarak geçecek.
11:04Yani diyeceğiz ki X kare artı Y karenin toplamı yüzden kırk çıkarttık.
11:09Altmışa eşittir diyeceğiz.
11:11Anlaşabildik mi?
11:12Nasıl bulduğumuzda?
11:13Zaten gördüğünüz gibi dostlar aslında bu geometrik ortalama hani özdeşliklerle çarpanları ayırmanıyla çok iç içe.
11:22Yani aslında onların özelliklerini kullandırıyor bize sürekli.
11:29O zaman tın tın.
11:33Geldi bir soru daha.
11:35Bakalım buna ne diyeceğiz ya?
11:38Berrak ve Elif beş diyorlar.
11:40Beş diye haykırdılar adeta.
11:42Evet.
11:43İlla Emine'yi bulduracaksınız ha.
11:51İlla Emine yani şurada cevabı söyleyecek yani.
11:54Değil mi Emine?
12:00Emine?
12:03Aman Allah'ım uyukluyor musun yoksa?
12:04Hah.
12:05Tamam.
12:05Tamam.
12:05Tamam.
12:13Hadi beraber çözelim isterseniz değil mi?
12:29Şimdi tek tek yazıyorum bunları.
12:31Birincisi demiş ki M'leri gerçeği sayıların aritmetik ortalaması 3.
12:34E tamam aritmetik ortalaması 3 ise bu iki sayıyı toplayıp ikiye böldüğümüzde yani 3 çıkmışsa içler dışlar çarpımı yaptığımızda M artı N toplamı iki kere üçten altı çıkıyor.
12:47Bu dursun.
12:47Sonra demiş ki M ile A'nın geometrik ortalaması iki kökü üç.
12:53O zaman şöyle yapmışız.
12:54M ile A'yı çarpmışız.
12:56Kare kökünü de almışız.
12:59Bu da iki kök üçe eşit olmuş.
13:01Ama biz hemen köklerden kurtulalım.
13:03Ne yapalım?
13:04Her iki tarafın karesini alalım değil mi?
13:07Süper.
13:08Şimdi karesini aldığımızda da şöyle oldu bu durumda.
13:10Kök ile kare birbirini yedi.
13:13M çarpı A eşittir dedik.
13:16İkinin karesi dört.
13:18Kök üçün karesi de üç olduğuna göre dört çarpı üçten on ikiye eşit oluyor dedik.
13:23Bir de N ile A kaldı.
13:25N ile A'nın geometrik ortalaması da üç kök iki diyor.
13:28Yani iki sayı çarpıp kare kökünü aldığımızda bu da üç kök ikiye eşitmiş.
13:34Ama tabii ki hemen bir koşu o köklerden kurtulalım.
13:37Her iki tarafın karesini pat küt alalım değil mi?
13:40E karesini aldığımız zaman kök ile kare birbirini yiyor.
13:44Yani N çarpı A.
13:46Üçün karesi dokuz.
13:48Kökkinin karesi iki olduğuna göre dokuz kere ikiden on sekize eşit oldu bu da.
13:52Bunu da bulduk.
13:53Ama bize A'yı sormuş değil mi?
13:55Şimdi burada D'ye versem tutar mı mesela?
13:58E tutmaz çünkü M ile A'yı bakın gerçel sayı demiş.
14:01Yani tam sayı dememiş.
14:02O yüzden vereceğimiz tam sayı değerler bu eşitlikleri sağlamayabilir değil mi?
14:07Ama şöyle bir şey yapabilir miyim?
14:09Bu ikisini yani şu bulduğum ikiliye taraf tarafa toplasam şöyle mi olur?
14:16M çarpı A artı N çarpı A eşittir.
14:19On iki on sekiz daha otuza eşit oluyor.
14:22Hatta bunları A parantezine bile alabiliyorum.
14:24A parantezini aldığımda
14:26yanında kalan M artı yanında kalan N oluyor değil mi?
14:33E biz M artı N'yi biliyoruz zaten onu demin bulmuştuk.
14:36M artı N toplamı altı eşit değil mi?
14:38O zaman M artı N toplamı altı olduğuna göre altı A otuzsa A o zaman beş lira deyip bitirebiliriz soruyu.
14:48Anlaştık mı canım arkadaşlarım?
14:50Var mıdır takıldığımı sormak istediğimiz bir yer?
14:53Bu nereden geldi dediğimiz?
14:55Anlaştık.
14:58Peki.
14:59Ama dediğim gibi geometrik ortalama çok sık sorunu geldi bir yerde.
15:02Çok ender soru gelmiş geometrik ortalama da.
15:06Gönül ister ki böyle takırtıkur hep bundan sorsun.
15:08Ama ender sorular bunlar.
15:13Şimdi gel gelelim.
15:14Gel gelelim.
15:16Gönülümüzün efendisine.
15:17Nerede o?
15:18Anam test düşmüş.
İlk yorumu siz yapın