Oynatıcıya atlaAna içeriğe atla
Fuat Hoca
  • 3 hafta önce
04-İşlem-Modüler Aritmetik-Fonksiyon 01
Döküm
00:00Evet arkadaşlarım, şimdi de işlem, modüler etmetik ve fonksiyon bölümündeyiz.
00:14İşlem dediğimiz şey ne?
00:15Aslında işlem bizim gördüğümüz konular arasındaki en rahat konulardan birisidir.
00:20İşlem bir çeşit fonksiyonu aslında.
00:23Bize herhangi bir sembol ile tanımlanıyor bu.
00:25Mesela real sayılarda tanımladığımız yıldız işlemi diye vermiştim bize işlemi.
00:315a kare, eksi 3ab artı b kare şeklinde tanımlanıyormuş.
00:36Eksi 1'e, eksi 3 işlemine sonucu kaç diye sormuş.
00:39Şimdi bizim burada yapmamız gereken tek şey şu.
00:42A gördüğümüz yere eksi 1 yazacağız.
00:45B gördüğümüz yere eksi 3 yazacağız.
00:48O kadar çünkü bizden bunu istemiş.
00:50Şimdi eşitlikle de bunu yapalım.
00:51O zaman eksi 1 yıldız, eksi 3 işlemini yapıyoruz.
00:57A'nın yerine eksi 1 yazacağım.
01:00B'nin yerine eksi 3 yazacağım.
01:03Yani eksi 1'in karesi artı 1.
01:085 kere 1, 5.
01:11Eksi 3 ile eksi 1'i çarpıyorum, artı 3.
01:14Ama artı 3 ile eksi 3'ü çarparsam ne oluyor?
01:17Eksi 9 oluyor değil mi?
01:18Tamam, burası da eksi 9, onu da yazdık.
01:23Artı eksi 3'ün karesi yine artı 9.
01:27O zaman artı 9'u eksi 9'u yese sonuç kaç kalıyor dostlar?
01:315 kalıyor bu işlemin sonucu diyeceğiz.
01:33Gördüğümüz gibi gerçekten de rahat bir konudur işlem konusu.
01:40Gelelim efendim o zaman hemen tıp tıp tıp tıp tıp tıp tıp tıp tıp bir sonraki örneğimize.
01:46Şimdi bir sonraki örnekte de bize şöyle diyor.
01:49Diyor ki, real sayıları tanımlı yuvarlak işlemi demiş.
01:54X işlem Y, 3X eksi 4Y artı X çarpı Y olarak tanımlanıyor diyor.
02:00Buna göre 2 işlem 1, işlem 3 işlemin sonucu kaç diye sormuş.
02:05Aynı işlem önceliği burada da geçerli.
02:06Yani önce bizim şu parantez içindeki işlemi yapmamız lazım.
02:102 işlem 1'i.
02:12Bulalım bunu.
02:13Ne yapacağız?
02:14X gördüğümüz yere 2 yazacağız, Y gördüğümüz yere 1 yazacağız değil mi?
02:18O zaman X gördüğüm yere 2 yazıyorum.
02:21Y gördüğüm yere 1 yazıyorum.
02:23X'in yerine 2, Y'nin yerine 1 yazdım.
02:27Yani 2 işlem 1'in sonucu şöyle çıktı.
02:303 kere 2 6, 4 kere 1 4, 2 kere 1 2.
02:34O zaman ne oldu?
02:35Alttan 4 çıktık.
02:372 ama 2 2 daha 4 oldu.
02:39Demek ki buranın sonucu 4'müş.
02:42Şimdi neyi bulacağız dostlar?
02:434 işlem 3'ü bulmamız lazım değil mi?
02:46O zaman sonuca gidelim artık.
02:474 işlem 3.
02:49Bu sefer de X gördüğüm yere 4, Y gördüğüm yere 3 yazıyorum.
02:53Fonksiyonda X'in yerine 4, Y'nin yerine 3 yazdım.
02:594 çarpı 3.
03:01O zaman elimizdeki şöyle oldu.
03:023 kere 4 12.
03:044 kere 3 12.
03:064 kere 3 gene 12 oldu.
03:08A artı 12, eksi 12, 7.
03:10Sonuç yine 12 mi kaldı?
03:13Diyebildik arkadaşlarım.
03:18Üçüncü örneğimiz geliyor.
03:19diyor ki bunda da real sayılarda tanımlı, çok pardon, real sayılarda tanımlı yıldız işlemi demiş.
03:287 bölü A yıldız B diye vermiş.
03:31E o zaman biz burada yine A gördüğümüz yere 4, B gördüğümüz yere 10 yazalım.
03:35yapalım bakalım.
03:35Yapalım bakalım.
03:367 bölü 4 yıldız 10 işlemi eşittir.
03:40A'nın yerine 4, B'nin yerine 10 yazarak bulacağız.
03:45Hatta payda eşit diyelim.
03:474 ile 10'u nerede eşitiriz?
03:4820'de eşitiriz değil mi?
03:49O zaman bunu 5 ile bunu 2 ile çarpacağım demektir.
03:52E çarptığımız zaman şöyle oluyor.
03:547 bölü 4 yıldız 10 işlemi 5 kere 1 5, 2 kere 1 2, ortak paydamız 20 oldu değil mi?
04:03Yani 7 bölü 4 yıldız 10 aslında 7 bölü 20'ye eşit oldu ki pay pay eşitse o zaman payda da payda eşittir.
04:12Yani 4 yıldız 10 işlemin sonucu 20'dir diyebildik.
04:21Gelelim efendim dördüncüye, dördüncü örneğe.
04:256 işlem 5'i soruyor.
04:27Bu sefer de ne yapacağız?
04:28X gördüğümüz yere 6 yazacağız.
04:32Y gördüğümüz yere 5 yazacağız.
04:35X'in yerine 6, Y'nin yerine 5 yazıyorum bütün işlem boyunca.
04:42Yani 1 bölü 6 yıldız 5 işlemini bulmuş oluyoruz ama.
04:47Bakın bunun sonucunda eğer böyle yazarsak işlemin sonucunda biz neyi bulmuş oluyoruz?
04:52Bunu bulmuş oluyoruz değil mi?
04:531 bölü 6 işlem 1 bölü 5'i.
04:55Oysa ki soru bizden 6 işlem 5'i istemişti.
04:58Eğer bunu bulursak yanlış sonuç bulmuş olacağız.
05:02Yani benim bunu şöyle yapmam gerekiyor.
05:05Burayı 6, burayı da 5 yapmam lazım.
05:08Peki bunu nasıl yaparım?
05:11Şimdi ben bunu bilmiyorsam eğer bunu şöyle yaparım.
05:151 bölü x eğer 6 ise içler dışlar çarpımını yaptığımızda 6x 1'e eşittir.
05:23Dolayısıyla x de 1 bölü 6'dır.
05:26Demek ki x yörümleri 1 bölü 6 yazmalıymışım ben aslında.
05:30E aynı şekilde 1 bölü y 5 olacaksa içler dışlar çarpımını yaptığımızda 5y 1'dir.
05:36y de 1 bölü 5'tir.
05:38Şimdi bakın bu bulduklarımı yerine yazıyorum.
05:41Bakın nasıl düzeliyor işlem.
05:431 bölü x'in yerine 1 bölü 6 yazıyorum.
05:47İşlem 1 bölü y'nin yerine 1 bölü 5 yazıyorum.
05:50Eşittir 4 çarpı 1 bölü 6 artı 1 bölü 5 bölü 1 bölü 6 çarpı 1 bölü 5 oluyor.
06:00Şimdi işleme devam edelim.
06:01Bölüm işlemini yaparken zaten birinci aynen duruyordu.
06:04İkinciyi ters çevirip çarpıyorduk değil mi?
06:08E yine birinci aynen durdu ikinciyi ters çevirip çarptık.
06:12Eşittir 4 çarpı.
06:14E burada 1 bölü 6 ile 1 bölü 5'i toplamam gerekiyor.
06:17E toplayayım paylarını eşitleyeyim.
06:19Bunu 5 ile bunu da 6 ile çarpayım.
06:22O zaman 5 artı 6 bölü 6 kere 5 30 oluyor.
06:29Aşağının çarpımı da 1 kere 1 1 6 kere 5 yine 30 oldu.
06:33E burası da tamamlandı.
06:36O zaman demek ki 6 işlem 5 eşittir 4 çarpı 11 bölü 30 yukarısı aşağısı 1 bölü 30.
06:46E bölüme işlemini yaparken de birinci aynen duruyordu.
06:50İkinciyi ters çevirip çarpıyorduk değil mi?
06:52Otuzlar da gidiyor.
06:54O zaman demek ki bizim 6 işlem 5 dediğimiz şey 4 çarpı 11 oluyor.
06:58Yani 4 ile 11'i çarptığımızda sonuç ne buluyoruz dostlar?
07:0244 bulmuş oluyoruz.
07:035. sorumuz da gelsin.
07:09Şimdi 5. soruda 2 farklı işlem aslında tanımlanmış değil mi?
07:14Bir yuvarlak işlemi var bir de yıldız işlemi var.
07:17Şimdi o zaman 3 yuvarlak 4'ü yuvarlak işlemini kullanarak bozacağım.
07:22Bulayım.
07:22O zaman şöyle yapacağım.
07:25A gördüğüm yere 3 yazacağım.
07:28B gördüğüm yere 4 yazacağım.
07:31A gördüğüm yere 3.
07:33B gördüğüm yere 4 yazdım.
07:35Yani elimdeki şöyle oldu.
07:375 kere 3 15 artı 4 artı 1.
07:40Aşağısı 2 kere 3 6 artı 4 oldu.
07:42Yukarının toplamı 15, 4 daha 19, 1 daha 20.
07:48Aşağının toplamı 10.
07:49Yani 20 bölü 10'dan 2 buldum.
07:52Burası 2'ymiş.
07:54Şimdi bir de şu yıldız işlemini bulayım.
07:57Şurayı.
07:58E yıldız işlemi içinde şöyle diyeceğim o zaman.
08:002 yıldız x'i bulmak istiyorum.
08:03Bu sefer de yıldız işleminde
08:05a'nın yerine 2, b'nin yerine x yazacağım.
08:102'nin karesi eksi x olacak.
08:11Yani 4 eksi x bulmuş olacağım.
08:14Şimdi bakın.
08:153 yuvarlak 4'ün yerine o zaman 2 yazıyoruz.
08:192 yıldız x'in yerine de 4 eksi x yazıyoruz.
08:23Eşittir 64 diyor.
08:25E 64'ün biz 2'nin 6. kuvveti olduğunu biliyoruz.
08:29E tabanlar eşitse üstler de eşit o zaman.
08:32Yani demek ki 4 eksi x 6'ya eşit.
08:36O zaman eksi x'i buraya attık artı x geçti.
08:386'yı buraya attık eksi 6 geçti.
08:404'ten 6 çıkarttığımızda x'i eksi 2 bulmuş oluyoruz arkadaşlarım.
08:466'ıncı sorumuz geliyor.
08:526'ıncı soru da bir parçalı fonksiyon veriyor.
08:59A işlem B'yi.
09:00Şimdi bu parçalı fonksiyonu biraz daha şuraya büyüğünü yazayım.
09:04Hani anlaşalım ne olduğunda.
09:053'a eksi B demiş A büyükse 1'den.
09:09Bir de A artı B eksi 2 demiş A küçükse B'den.
09:14İki tane demek ki koşul var.
09:16Eğer diyor birinci değer ikinci yerden daha büyükse bunu kullanarak bulacağız.
09:21Ama birinci ikinciden küçükse diyor bunu kullanarak bulacağız.
09:25Şimdi 4 işlem 5.
09:29Şimdi 4 5'ten daha küçük bir sayı değil mi?
09:324 5'ten küçük olduğuna göre o zaman alttakini kullanarak bulacağım.
09:36Yani A artı B eksi 2'yi kullanacağız.
09:39A'nın yerine 4, B'nin yerine 5 yazacağız.
09:424 5 daha.
09:439, 9'dan 2 çıktık.
09:457 kalacak.
09:47Şimdi 3 işlem 2'yi bulayım.
09:50Bu sefer 3 ama 2'den daha büyük bir sayı.
09:53Bu yüzden üsttekini kullanarak bulacağım değil mi?
09:56A'nın yerine 3 yazacağım.
09:58B'nin yerine 2 yazacağım.
10:003 kere 3, 9.
10:019'dan 2 çıksak bu da 7 kalacak.
10:04Şimdi ne kaldı elimizde?
10:067 işlem 7 mi kaldı?
10:08Şöyle bir şey işlemin sembolü de.
10:107 işlem 7 kaldı.
10:12Yani birbirlerine eşitler değil mi?
10:15Bu arada çok özür dilerim.
10:16Şurada bir eşitliğimiz olacaktı.
10:18Eşitliği de yazayım.
10:20Yani yukarıdakini de kullanmam gerekiyor.
10:23A'nın yerine 7 yazayım.
10:25B'nin yerine de 7 yazayım.
10:273 kere de 21.
10:2921'den 7 çıkarttığımızda sonuç 14 çıkmış olacaktı arkadaşlarım.
10:39Şimdi işlem böyleyken bir de Mubondüler aritmetik diye bir kısım var.
10:43Modüler aritmetik ne demek?
10:46Modüler düzenli bir şekilde tekrar eden anlamına geliyor aslında.
10:49Modüler aritmetik dediğimiz şey bu.
10:51Düzenli tekrar.
10:53Şimdi bunun soru kalıpları nasıl oluyor?
10:56Nasıl çözümleri oluyor?
10:57Onlar da hemen anlaşalım.
10:59Şimdi 51 mod 6'da kaça denkli diye sormuş.
11:03Şu işaret denklik işaretidir dostlar.
11:053 çizgili denklik işareti oluyor.
11:08Şimdi mod 6'da kaça denkli demek bu şu anlama geliyor.
11:1251'in içindeki 6 ve 6'nın katlarını at dışarıya.
11:156, 12, 18 falan filan diye.
11:176'nın bütün katlarını at.
11:19Geriye ne kalıyor diye soruyor aslında.
11:21Yani aslında bu soru şununla aynı şey.
11:2351'in 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
11:276 kere 8, 48'dir.
11:29Kalan 3'tür değil mi?
11:30O zaman diyorum ki 51 sayısının mod 6'daki karşılığı 3'e eşittir.
11:38Aslında kalan eşit gördüğünüz gibi.
11:416 ve 6'nın katlarını atıyorsunuz.
11:43Geriye ne kalıyorsa aslında bunu istiyor bizden.
11:47Modun tanımı bu.
11:49Şimdi mesela 3 üzeri 217 sayısının 5'le bölümünden kalan karşı diye sormuş.
11:55O zaman ben bunu da şöyle yazabilirim değil mi?
11:573 üzeri 217 sayısı mod 5'de kaça denktir?
12:04Diye sorabilirim soruyu.
12:06Aynı anlama geliyorlar.
12:08Şimdi bunu bulmak için de şöyle yapacağım.
12:113'ün birinci kuvvetinden başlayacağız dostlar.
12:143'ün birinci kuvveti mod 5'de kaça denktir?
12:16Yani 3'ün 5'le bölümünden kalan kaçtır?
12:19Yine 3'tür değil mi?
12:22Tamam.
12:223'ün karesine geldim.
12:243'ün karesi 9.
12:259'un 5'te bölümünden kalan kaçtır?
12:299'u 5'e bölsem 4 kalanı veriyor.
12:31Bu da tamam.
12:333'ün küpü.
12:353'ün küpü 27.
12:3727'yi 5'e bölersem kalan 2 oluyor.
12:41Mod 5.
12:433'ün 4'üncü kuvvetine gelelim.
12:453'ün 4'üncü kuvveti 81.
12:4781'i 5'e bölsek 1 kalanı verecek.
12:5180 tam bölünüyor.
12:5281'e 1 kalanı veriyor.
12:54Diyeceksiniz ki bize böyle gidecek miyiz yani?
12:573 üzeri 217'ye kadar.
12:59Tabii hayır.
13:01Şimdi 1'i bulduktan sonra mod tekrar başa dönmeye başlar.
13:04Her zaman 1'de dönecek diye bir şey yok.
13:06Ama 1'i gördüğünüz anda zaten mutlaka başa dönecektir.
13:09Şöyle ki mesela 3'ün 5'inci kuvveti normalde efendim 243'tür ve bunu 5'e bölerseniz 243'ü kalan yine 3 olacaktır.
13:19Bakın gördünüz mü başa döndü.
13:223, 4, 2, 1.
13:233, 4, 2, 1.
13:24Bu şekilde devam edecek.
13:25Yani 4 seferde bir başa dönüyor.
13:29Bu da tamam.
13:30Ta 217'ye hangisi karşılık gelir?
13:34Şimdi bunu bulmak için şöyle yapacağım.
13:36Modun döndüğü en son yer bu.
13:383 üzeri 4.
13:39Öyle değil mi?
13:41217'yi 3 üzeri 4 cinsinden parçalamam gerekiyor.
13:453 üzeri 4.
13:47Efendim.
13:48Şimdi 217'yi bakın.
13:50Alıp da 4'e bölsek neler oluyordu?
13:524 kere 5 20.
13:5417.
13:554 kere 4 16 kalan 1.
13:58Yani demek ki 217 4 çarpı 54 artı 1'miş.
14:03O zaman 4 çarpı 54 çarpı 3 üzeri 1 oluyor değil mi elimdeki?
14:10Tamam.
14:11E 3'ün 4'üncü kuvvetinin modu zaten 1.
14:14Burası 1.
14:153'ün 1'inci kuvvetinin modu da 3.
14:18Bu da 3 oluyor.
14:19O zaman 3 çarpı 1'den 3 çıkıyor.
14:23Bu işlemin sonucu sevgili arkadaşlarım.
14:25Bir sonraki sorumuz geliyor.
14:32Dokuzuncu soru.
14:34Bu sayının birler basamağındaki rakam kaçtır diye sormuş.
14:37Şimdi eğer size bir sayının birler basamağındaki rakam soruluyorsa aslında o sayının 10'la bölümünden kalan soruluyordur.
14:46Şimdi bu sayının 10'la bölümünden kalan hemen bulayım.
14:5272'nin 10'la bölümünden kalan ne?
14:547 kere 10 70 kalan 2 oluyor değil mi?
14:57O zaman demek ki ben bunun yerine 2 üzeri 1005'i kullanabilirim.
15:02Bu sayının mod 10'daki karşılığı lazım bana.
15:07Şimdi 2'nin 1'inci kuvveti 2.
15:132'yi de 10'a bölsem kalan yine 2 olacak değil mi?
15:152'nin karesi 4.
15:194'ü 10'a bölsek kalan yine 4 olacak.
15:242'nin küpü 8.
15:268'i 10'a bölsem kalan yine 8.
15:312'nin 4'üncü kuvveti 16 yapıyor.
15:3416'yı 10'a bölseniz kalan 6 oluyor.
15:392'nin 5'inci kuvveti 32.
15:4332'yi 10'a bölerseniz kalan 2 mi oldu?
15:47Bakın başa döndü o zaman.
15:49Değil mi?
15:49Tekrar başa döndü.
15:50Demek ki bu da 4 seferde başa dönüyormuş.
15:53E şimdi ben döndüğü en son yerin 2 üzeri 4 olduğunu biliyorum ama 1005'i parçalamam gerekiyor.
16:00Hemen ne yapıyorum?
16:011005'i alıp 4'e bölüyorum dostlar.
16:04Diyorum ki 2 kere 4 8 20, 4 kere 5 20, 5 düştü.
16:101 kere 4 4 1 düştü.
16:13Yani demek ki biz 2 üzeri 1005'i şöyle yazabilirmişiz.
16:182 üzeri 4 çarpı 251 çarpı 2 üzeri 1 şeklinde yazabiliyormuşum.
16:26Şimdi 2'nin 4. kuvvetinin modu 6, herhangi bir kuvvetinin modu da 6 olacak.
16:312'nin 1. kuvvetinin modu da 2.
16:34O zaman 6 çarpı 2'den 12 oluyor.
16:39Peki 12'yi bulduk ama bir sayının 10'la bölümünden kalan 12 olamayacağına göre 12'yi bir daha 10'a böldük.
16:46kalan 2'dir dedik efendim.
16:50Bir soru daha geldi.
16:58Diyor ki 2022 üzeri 222 ve 5 artı 5 üzeri 16 sayısını 6 ile bölümünden kalan kaçtı diye soruyor.
17:05Şimdi önce 2022 bir 6'ya bölelim bakalım kaç kalanı veriyormuş.
17:103 kere 6 18, 22.
17:14Bir 3 kere 6 daha yapayım.
17:1718, 42.
17:206 kere de 42 kalanı 0.
17:220 kalanı veriyor.
17:23E o zaman tabandaki 0 kalanı veriyorsa 0'ın herhangi kuvveti 0 olacağı için burası 6 ile tam bölünüyor demektir.
17:31Elimizde kaldı bir şu 5 üzeri 16.
17:34Onu da buluruz.
17:35Şimdi 5'in birinci kuvveti 5'tir değil mi?
17:41Mod 6'da peki kaç eşek?
17:435'in 6 ile bölümünden kalan yine 5.
17:465'in karesi 25.
17:4825'i 6'ya bölsem 24 desen tam bölünür.
17:5225 olunca 1 kalanı veriyor.
17:54Aha döndü bile.
17:56Bakın 5 1 döndü.
17:59O zaman demek ki bu böyle 5 1 5 1 şeklinde 2 seferde 1 dönecek yani.
18:03E bana 5 0 16 lazım.
18:07E 5 0 16 ile 5 0 2'ye göre parçalasam 5 üzeri 2 üzeri 8 zaten 5 0 16 yapıyor.
18:14E 5 0 2'nin modu 1 ise 1'in herhangi kuvveti de 1 çıkacağı için demek ki 6 ile bölümünden kalan sayının 1'miş cevabını verebiliyoruz.
18:2711'de gelsin.
18:29Bugün günlerden Cuma ise 153 gün sonra hangi gündür?
18:32Şimdi bu da modun gün soruları oluyor bunlar.
18:35Ama bunları çözerken şöyle düşünmeli.
18:37Hafta kaç günde bir başa dönüyor?
18:407 günde bir başa dönüyor değil mi?
18:42O zaman şimdi bana 153 gün sonrasını soruyorsa 153'ü alırım 7'ye bölerim.
18:47Kaç gün kaç hafta yapıyor bulurum.
18:50İlk kere de 14.
18:5313 kalıyor.
18:551 kere 7 7.
18:566 kalıyor değil mi?
18:58Yani bakın 21 hafta artı 6 günmüş 153 gün dediğimiz şey.
19:04Şimdi bugün günlerden Cuma ise 21 hafta sonra yine Cuma'ya gelirsiniz.
19:10Bu tamam.
19:11Ama üzerine 6 gün daha eklerseniz Cuma'nın üzerine 6 gün ekleyin.
19:16Cumartesi, Pazar, Pazar, Salı, Çarşamba, Perşembe'ye gelir.
19:19Demek ki 153 gün sonrası aslında Perşembe'ymiş diyebileceğiz.
19:2812. soru bakın aynı soru gibi duruyor değil mi?
19:31Bugün günlerden Cuma ise 153. gün hangi gündür demiş.
19:35Ama burada bir kelime oyunu var.
19:37153. günü soruyor.
19:39O zaman ilk günü bugün kabul etmiş.
19:41Yani aslında 152 gün sonrasını soruyor demektir bu.
19:45İlk günü bugün kabul ettiyse 152 gün sonrasını soruyor.
19:50O yüzden 152 gün kaç gün kaç hafta yapıyor diye buna bakacağız.
19:547'ye böleceğiz hemen.
19:55İlk kere de 14, 12 oluyor.
19:581 kere 7, 7 kalan 5 oluyor.
20:01Yani bu sefer 21 hafta 5 gün oldu.
20:06Şimdi bugün günlerden Cuma ise tam 21 hafta sonrası gene Cuma'ya gelir zaten.
20:10Ama üzerine 5 gün daha eklersek Cuma artı 5.
20:15Bu sefer Cumartesi, Pazar, Pazar, Salı çarşambaya gelir.
20:20Demek ki çarşamba günü olacakmış efendim 153. gün.
20:27Bunlar biraz daha kısa işlemli daha rahat sorular gördüğünüz gibi.
20:32Bugün günlerden Salı ise 76 gün önce hangi gündür diye soruyor.
20:36O zaman ne yapıyoruz hemen hemen alıyoruz 76'yı alıp 7'ye bölüyoruz.
20:41Hatta şöyle diyeyim 7 kere 10, 70 kalan 6 oluyor değil mi?
20:46Yani 10 hafta 6 gün.
20:49Şimdi 76 gün öncesi soruluyorsa eğer tam 10 hafta geriye gitseniz gene Salı gününe gelirsiniz.
20:57Ama Salı gününden de 6 gün geriye doğru giderseniz Salı'dan 6 çıkın.
21:04Ne olur Salı'dan 6 çıksak?
21:06Pazartesi, Pazar, Cumartesi, Cuma, Perşembe, Çarşamba mı olur?
21:12O zaman Çarşamba.
21:15Mesela ben bu geri geri giderken zorlanıyorum arkadaşlar.
21:17Ben bunu karıştırırım derseniz eğer.
21:20Ha Salı'dan 6 çıkartmışsınız.
21:23Ha Salı'ya 1 eklemişsiniz.
21:25Siz aynı şeyi bulacaksınız değil mi?
21:27Hafta 7 gün değil mi sonuçta?
21:29Ha 6 geriye gitmişsiniz.
21:31Ha 1 ileri gitmişsiniz.
21:33Aynı zamanı bulmuş olacaksınız.
21:3914. soruda da şöyle soruyor.
21:424 günde bir nöbet tutan asker ilk nöbetini Perşembe günü tuttuğuna göre 18. nöbetini hangi gün tutar diye sormuş.
21:49Şimdi dostlar bu asker ilk nöbetini tutmuş zaten değil mi?
21:5417 nöbet daha tutması gerekiyor yani.
21:5717 nöbet daha tutacak ve 4 günde bir tutuyor.
22:02O zaman 17 ile 4'ü çarparsak efendim 68 gün sonrasını istemiş bizden.
22:08E peki o zaman 68 alalım 7'ye bölelim.
22:137 kere 9 63 kalan 5 oluyor değil mi?
22:17Yani 9 hafta 5 gün sonrasını mı sormuş?
22:21Şimdi bugün günlerden Perşembe ise 9 hafta sonra yine Perşembe.
22:27Ama üzerine 5 gün daha ekleyeceğim.
22:30Perşembe artı 5.
22:32O da ne olacak?
22:32Cuma, cumartesi, pazar, pazartesi, salı mı oluyor?
22:35Demek ki salı günü tutacakmış efendim 18. nöbetini bu arkadaş.
22:45Geldik dostlar bir de fonksiyonlara.
22:48Şimdi fonksiyon normalde çok çok çok kapsamlı bir konudur.
22:53Ancak hani bizim sınavımızda ortaya çıkan soru tarzı sınırlı.
22:58Bazı soru tipleri var bizim için önemli olan.
23:01Sadece onlar üzerinden gideceğiz.
23:03Yoksa biliyorsunuz hani üniversite hazırlanırken falan hatırlıyorsunuz.
23:06Fonksiyonun grafikleri şunları bunları.
23:08Bir ton safsatası var normalde.
23:10Ama onların hiçbirini kullanmayacağız bunun içerisinde.
23:15Pardon.
23:16Şimdi fonksiyon ne?
23:17Ona başlayalım.
23:19Fonksiyon bir kere dostlar fx'e sembolize ediliyor.
23:23Şimdi fx fonksiyonu herhangi bir tanım verir bize.
23:27Yani makinedir aslında.
23:28Matematiğin makinesi.
23:30Mesela fx fonksiyonu diyelim ki 3x artı 2 olsun.
23:34Bu fonksiyon.
23:35Bir işlemci bu.
23:36Siz burada f'e hangi değeri verirseniz,
23:38yani x'e hangi değeri verirseniz,
23:40diğer taraftaki x'e de aynı değeri verileceksiniz.
23:43Ve bunun bir sonucu olacak.
23:443 kere 3, 9, 9, 2 daha 11 diyeceksiniz mesela.
23:48Değil mi?
23:49Ya da ne bileyim ben,
23:50f eksi 1 bölü 3 değerini vereceğim.
23:52x gördüğüm yere eksi 1 bölü 3 yazacağım.
23:56O zaman 3'ler gidecek.
23:57Eksi 1 artı 2, 1 çıkacak gibi.
24:01Gördüğünüz gibi,
24:02hangi değeri verirseniz başka bir değer olarak karşımıza çıkıyor.
24:05Fonksiyon matematiğin aslında bir işlemcisi, makinesi yani.
24:11Bunu şey gibi düşünelim.
24:12Kıyma makinesi gibi düşünün.
24:14Eti atıyorsunuz içeriye bu fonksiyondan.
24:17Bır bır bır bır bır bır işlem görüyor.
24:18Başka bir sayı olarak dışarıya çıkıyor aslında fonksiyon.
24:21Şimdi fonksiyonun örnekleri neler?
24:25Hemen onlara bakalım.
24:2815. soruda şöyle diyor ki,
24:29f x fonksiyonu x kare artı 2x artı 3 olarak tanımlanmış.
24:35Buna göre diyor ki,
24:36f eksi 2 artı f 3 toplumu kaçtır diye sormuş.
24:39Şimdi ben buradan f eksi 2'yi bulurum.
24:42Nasıl bulurum?
24:42x görmeni eksi 2 yazarım.
24:45Eksi 2'nin karesi artı 2 çarpı eksi 2 artı 3.
24:50Eksi 2'nin karesi 4.
24:522 ile eksi 2'yi çarpıyorum.
24:54Eksi 4.
24:55Artı 3 oluyor.
24:56Eksi 4 artı 4'ü yiyor.
24:59O zaman 3 kalıyor değil mi birincinin sonucu?
25:02f 3'ü de bulalım.
25:03x gördüğümüz yere 3 yazıyoruz.
25:063'ün karesi artı 2 çarpı 3 artı 3 oluyor.
25:10Yani 3'ün karesi 9.
25:122 kere 3 6.
25:13Artı 3.
25:15Hepsini toplasak bu da 18 çıkıyor değil mi?
25:17E zaten bize ikisinin toplamını sormuş.
25:20O zaman f eksi 2 ile f 3'ün toplamı demek ki 18, 3 daha 21'miş arkadaşlarım.
25:29Cevabına 21 diyeceğiz ve bitecek soru.
25:3116. örneğe doğru gidelim isterseniz.
25:39Şimdi 16'da da şöyle demiş.
25:43Hemen geldim.
25:44f x fonksiyonu x küp artı a x artı 1 demiş.
25:49Burada bir a diye bilinmeyen var.
25:52f eksi 3 44 ise diyor f 3 kaçtır?
25:55Şimdi f eksi 3 dediğimiz şey nedir?
25:57Yani x gördüğümüz yere eksi 3 yazacağız.
25:59Yazmış adam x gördüğümüz yere eksi 3'ü.
26:03Eksi 3'ün küpü artı a çarpı eksi 3 artı 1.
26:07Ve bu işlemin sonucu 44 çıkmış değil mi?
26:10E o zaman biz buradan zaten a'nın ne olduğunu buluruz.
26:13Çünkü deriz ki eksi 3'ün küpü eksi 27.
26:17a ile eksi 3'ü çarptım.
26:18Eksi 3 a artı 1 eşitti 44.
26:21Yani eksi 3 a'yı diğer tarafa attım.
26:25Artı 3 a geçti.
26:27Eksi 27 artı 1 eksi 26.
26:29Ama 44'ü diğer tarafa atarsam eksi 44 geçer.
26:34Yani eksi 26 eksi 44 eksi 70 çıkıyor 3 a.
26:38Hatta a da eksi 70 bölü 3 çıkıyor.
26:42Değil mi bu durumda?
26:44Şimdi a'nın kaç olduğunu bulduk.
26:45Bakın yani bizim fonksiyonumuz aslında şuymuş.
26:48f x fonksiyonu.
26:49x küp eksi 70 bölü 3x artı 1'miş.
26:55a yerine yazdığımızda.
26:57Ama bize neyisi olmuş?
26:58Demiş ki f 3 kaç?
27:00x görünüyor 3 yazıyor yani.
27:03O zaman 3'ün küpü eksi 70 bölü 3 çarpı 3 artı 1.
27:10E şimdi 3'ün küpü 27.
27:11Şu 3'ler gitse eksi 70 artı 1 kalıyor değil mi?
27:16E 27 bir daha 28.
27:18Ama 28'den 70 çıkartırsak ne oluyor efendim?
27:23Eksi 42 mi kalıyor sonucu?
27:26Gördüğünüz gibi sadece aynı işlemi yaptık.
27:31Eee sadece bize bir bilinmeyen koymuştu.
27:33Önce onu bulup sonra istediği değeri yerine yazdık.
27:38Peki istediği değer burada olduğu gibi bir tam sayı değilse de x'li bir şeyse ne olur?
27:43Hiçbir şey olmaz.
27:44Bu sefer diyor ki x gördüğün yere x artı 2 yaz diyor.
27:48f x artı 2'yi bulmak için.
27:50Yazalım.
27:52x gördüğüm yere x artı 2 yazıyorum değil mi?
27:552 çarpı x artı 2'nin karesi eksi x artı 2 artı 1 olur bu.
28:01Peki hatta parantezleri açalım isterseniz.
28:062 çarpı şimdi tam kareyi nasıl açacağımızı biliyoruz.
28:11Birincinin karesi birinci ile ikincinin çarpımının iki katı artı ikincinin karesi.
28:17Yani 2'nin karesi 4 oluyor.
28:19Eksi x artı 2 artı 1.
28:23Hatta parantezle dağıtırız.
28:262 ile x kareyi çarptım 2 x kare.
28:292 ile 4 x'i çarptım 8 x.
28:312 ile 4'ü çarptık 8.
28:34Eksi ile x'i çarptım eksi x.
28:36Eksi ile 2'yi çarptım eksi 2 artı 1 oldu.
28:40Yani f x artı 2 dediğimiz şey şu oldu.
28:442 x kare dursun.
28:468 x'den 1 x çıksam 7 x.
28:498'den 2 çıktı mı 6 ama 6'ya 1 eklersem 7 oldu.
28:55Bakın birinciyi ancak bulduk.
28:58İkinciyi de bulalım.
29:00f x eksi 1'i bulacağız.
29:02Bu sefer de x görüntüleri x eksi 1 yazacağız.
29:052 çarpı x eksi 1'in karesi eksi x eksi 1 artı 1 oluyor.
29:12Yine parantez kare açacağım.
29:14Birincinin karesi eksi.
29:16Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı artı ikincinin karesi olacak.
29:22Eksi x eksi 1 artı 1.
29:26Hatta parantezleri dağıttığımızda şöyle oluyor.
29:292 ile x kareyi çarptım 2 x kare.
29:312 ile eksi 2'yi çarptım eksi 4 x.
29:342 ile 1'i çarptım 2.
29:35Eksi ile x'i çarptım eksi x.
29:39Eksi ile eksi'yi çarptım artı 1 artı 1 oldu.
29:43Yani bizim f x eksi 1 dediğimiz fonksiyonda 2 x kare eksi 4 x eksi 1 x eksi 5 x.
29:51E 2, 3, 4 toplamın eşit oldu değil mi?
29:57Bunu da buldum.
29:59Şimdi ama soru diyor ki bunları birbirinden çıkart.
30:02O zaman hemen çıkartalım.
30:052 x kare artı 7 x artı 7'den neleri çıkartıyoruz efendim?
30:092 x kare eksi 5 x artı 4'ü çıkartmamız gerekiyor.
30:14E parantezleri de dağıtırız.
30:19Eksi ile 2 x kareyi çarptım eksi 2 x kare.
30:22Eksi ile eksi'yi çarptım artı 5 x.
30:25Eksi ile artıyı çarptım eksi 4 kaldı.
30:28Böylelikle 2 x kareler birbirine 7.
30:317 x 5 x daha 12 x.
30:34Artı 7 eksi 4 artı 3 oldu.
30:37Yani işlemin sonucu 12 x artı 3'müş değerli arkadaşlarım.
30:46O zaman 18 de geliyor.
30:52Demiş ki f x bölü 3 artı 1 eşittir.
30:552 x eksi A biçiminde tanımlanmış bir fonksiyonumuz var.
30:59F 4'te 6 diyor.
31:01Yani şurayı 4 yaptığımız zaman bunun sonucu 6 mı çıkıyormuş?
31:05Peki burayı 4 yapan x'leri kaç?
31:09Yani x bölü 3 artı 1 4 olabiliyorsa.
31:13Artı 1'i diğer tarafa attım.
31:15x bölü 3 3'tür.
31:17İçler dışlar çarptım yaptığımızda x 9'dur değil mi?
31:20Demek ki x bölü 9 yazarsam burası 4 olacak.
31:23Hemen yazayım.
31:249 bölü 3 artı 1.
31:28Diğer tarafta x'in yerine 9 yazıyorum.
31:31Eksi A oluyor.
31:32Yani 9'u 3'e böldük.
31:343 bir daha 4.
31:35F 4 oldu.
31:36Eşittir.
31:3918 eksi A oldu.
31:42E biz şimdi F 4'ün 6 olduğunu biliyoruz.
31:456 eşittir 18 eksi A ise.
31:4818'den ne çıkarırsam 6 kalacak.
31:5018'den 12 çıkarırsam 6 kalacak.
31:53Yani A buradan 12'dir.
31:55Cevabına ulaşabiliyoruz arkadaşlarım.
31:57Efendim 19'uncu soru.
32:06Şimdi 19'da da şöyle diyor.
32:09Bir parçalı fonksiyon vermiş.
32:11F eksi 3'ü istiyor değil mi?
32:13Şimdi eksi 3'e bakıyorum.
32:15Eksi 3 2'den büyük değil.
32:162'ye eşit değil ama 2'den küçük bir sayı.
32:18O zaman şu fonksiyonu kullanarak bulacağım.
32:22x gördüğüm yere eksi 3 yazacağım.
32:23karesi artı 4 çarpı eksi 3 eksi 5.
32:29Eksi 3'ün karesi 9.
32:313 kere 9 27.
32:334'de eksi 3'ü çarptım.
32:35Eksi 12 eksi 5.
32:38E 27'den 12 çıkartırsak 15.
32:4015'den de 5 çıkartırsam 10 kalıyor.
32:43Yani birincinin sonucu 10 çıktı.
32:46Geldik dostlar ikinciye F 2'ye.
32:49E diyor ki soru 2'ye eşitse diyor.
32:51Bunu kullan 7'yi kullan.
32:53Eksi gördüğüm yer de yok ki 2 yazayım.
32:55O zaman bunun cevabı 7.
32:58Bir de kaldı şimdi F 4.
33:01E 4 sayısı 2'den büyük olduğuna göre
33:03x küp eksi 1'i kullanacağım değil mi?
33:06Yani x'i yine 4 yazacağım.
33:084'ün küpü eksi 1 olacak.
33:10Yani 4'ün küpü 64.
33:1264'den 1 çıksak 63 mi kalıyor?
33:16Burayı da 63 bulduk.
33:18Şimdi bulduklarımı yerine yazsam
33:20demek ki şöyle çıkacak.
33:21F x'i 3'ün yerine 10.
33:24F 2'nin yerine 7.
33:26F 4'ün yerine de 63 yazmalıymışım.
33:30Yani elimdeki şöyle oldu.
33:3210 artı 7 eksi 3 ile 63 çarpsak 189.
33:36Yani 17 eksi 189 oluyor.
33:4017'den de 189 çıkartırsak
33:42eksi 172 mi kalıyor sonucu?
33:47Dedik efendim 19'ün sorunun cevabına.
33:5020'inci soru da geliyor efendim.
33:5920'inci soru da f x demiş 12 bölü x eksi 3.
34:03g x x kare eksi 4 x artı 4 demiş.
34:072 f artı g eksi f çarpı g 1 değeri karşı diye soruyor.
34:12Yani aslında sorduğu şey şu bakın.
34:15Hepsinin 1'i ortak parantezini aldıysa
34:172 çarpı f 1 artı g 1 eksi f 1 çarpı g 1'dir.
34:23Yani bütün hepsinin 1 değeri vardı aslında burada.
34:27E f 1'i bulur muyum?
34:29Bulurum.
34:30x görmeli 1 yazarım.
34:3112 bölü 1 eksi 3.
34:33Yani 12 bölü eksi 2.
34:35O da eksi 6 çıkıyor.
34:37E g 1'i bulur muyum?
34:39Onu da bulurum.
34:41g'de x görmeli 1 yazacağım.
34:43Yani 1'in karesi eksi 4 çarpı 1 artı 4 olacak.
34:48E o zaman x 4 ile 1'i çarptı mı x 4 yapıyor.
34:51Ve x 4 ile artı 4 ile o zaman birbirini yiyecekler.
34:54Değil mi bunlar?
34:56Şunlar gitti.
34:58O zaman g 1 dediğimiz şey 1'in karesi 1 kaldı.
35:02Şimdi hepsini yerine yazıyorum bakın.
35:05f 1'in yerine eksi 6.
35:07g 1'in yerine 1.
35:09f 1'in yerine eksi 6.
35:12g 1'in yerine 1 yazmış oluyoruz.
35:152 ile eksi 6'yı çarptım.
35:16Eksi 12 artı 1.
35:18Eksi eksinin çarpımı artı 6.
35:216 ile 1'i çarpsam gene 6 oldu.
35:24O zaman 6 bir daha 7.
35:26Ama 7'den 12 çıkartırsak
35:28eksi 5 sonucuna ulaşmış oluyoruz sevgili arkadaşlarım.
Yorumlar