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Caracterización Tensodeformacional del Macizo Rocoso - Taller 3
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00:00Música
00:00Vamos a iniciar entonces el taller 3
00:10El taller 3 lo vamos a orientar brevemente a algunas aplicaciones con el círculo de Moore
00:17El círculo de Moore es un método gráfico, ya lo comentábamos en el aula
00:22Nos permite representar en forma gráfica, intuitiva, el estado de tensión que padece un punto de un sólido en un instante determinado
00:34Tiene validez, si bien fue una de las primeras formas de representar o resolver estos problemas
00:41Dado la aparente dificultad que tenían algunas aplicaciones numéricas o analíticas
00:48El círculo de Moore es bastante intuitivo a la hora de ver las tensiones
00:52Si que se adquiere su manejo más bien en la práctica
00:58Hay que tener en cuenta algunas consideraciones para poder aplicarlo
01:03Vamos a comentar algunas de ellas
01:05El círculo de Moore es una circunferencia que se representa en el plano de Moore
01:10Moore define este plano dado por tensiones
01:15Tensiones, es un plano en donde se representan tensiones
01:17Se presentan tensiones normales y tensiones tangenciales
01:21Son dos ejes que si bien son perpendiculares
01:24Hay que pensar que en el espacio real el ángulo entre ellos en realidad representa 180 grados
01:28La tensión en uno de los ejes se representa en las tensiones normales, en el eje horizontal
01:34Y hay que tener en cuenta que en ese eje se representan todos los esfuerzos normales
01:39Los esfuerzos normales en la realidad como lo hemos estado viendo están en planos ortogonales aplicados sobre ciertas caras
01:45Las caras que consideramos en ese cubo elemental a la hora de analizar la tensión en el esfuerzo
01:50A pesar de que espacialmente están separados en el plano se dibujan en el mismo eje
01:57Por eso mismo decimos que estas tensiones sigma x, sigma y, sigma z
02:00Que están formando ángulos entre sí de 90 grados
02:04Las estamos representando en realidad en un solo eje
02:07Y al representar un solo eje ya nos forman 90 grados
02:09El ángulo que se está formando es de 180 grados o 0 grados
02:14De esa manera también hay que tener en cuenta que los ángulos que se dibujan en el plano de Moore
02:18Tienen en realidad el doble que el valor que tienen en el espacio realmente
02:23Entonces la coordenada horizontal se utiliza para las tensiones normales
02:28Sigma x, sigma y, sigma z
02:29También se van a indicar acá los esfuerzos principales
02:34Sigma 1, sigma 2 y sigma 3
02:36Que son puntos característicos de las circunferencias o círculos de Moore
02:39Y en la ordenada o el eje vertical se van a representar todos los esfuerzos cortantes
02:43Tao xy, Tao xz y Tao y z
02:46Estamos hablando del círculo de Moore en dos dimensiones
02:50También nos va a servir para representar el esfuerzo cortante máximo
02:56Hay una regla convencional de signos que utilizó Moore
02:59Que se propone y que tenemos que tenerla en claro
03:01Para los esfuerzos cortantes
03:03Esa regla dice que los pares de esfuerzo cortante en sentido del movimiento de las agujas del reloj
03:08Van a ser positivos
03:09Y con eso se va a construir el círculo de Moore
03:11Veamos un primer ejemplo, un ejercicio relativamente sencillo
03:15Tenemos un cubo elemental y se pide obtener la magnitud y la dirección de los esfuerzos principales
03:21Para el estado de tensiones que representa esta figura
03:23Las tensiones están en kN por metro cuadrado
03:25Tenemos ese cubo que está formando con la horizontal 45 grados
03:30Se conocen las tensiones en esos planos
03:32Tenemos tensiones aplicadas en una de las caras de 600 kN por metro cuadrado
03:37Con su componente o su tensión en la cara opuesta
03:40Tenemos 600 acá y 600 acá
03:41En la otra cara tenemos 400, poco menor
03:44Y el esfuerzo de corte, las tensiones de corte son 200 kN por metro cuadrado
03:50Estas tensiones están giradas con respecto a la horizontal 45 grados
03:53Veamos como se resuelve
03:55Primero dibujamos el círculo de Moore
03:56Se conocen entonces, ya que se tienen estas dos tensiones
04:00Estas tres tensiones
04:01Se tienen dos tensiones normales
04:03Sigma X y Sigma Y de 400 y 600
04:05Y se tiene también el valor de tau X Y que vale 200
04:10Como se conocen estas tensiones ya se sabe o se tiene una idea de dos puntos que pertenecen al círculo de Moore
04:18Esos puntos serán S1 y S2 y sus coordenadas serán para el S1 400 en cuanto a la tensión normal
04:27Y 200 para la tensión tangencial
04:29El punto S2 será 600 la coordenada que tenga, 600 para la tensión y menos 200 para la tensión de corte
04:36Con el punto S1 y con el punto S2 podemos trazar ya el círculo
04:40Desde el punto S1 hasta el punto S2 trazamos una línea
04:43Y esa línea la unimos
04:45Primero de todo aquí tenemos representado el plano de Moore con Sigma N
04:48Las tensiones normales que están en kN por metro cuadrado
04:52Y las tensiones tangenciales también en kN por metro cuadrado
04:55Comenzamos entonces desde el principio
04:57Se unen los puntos S1 y S2
04:59Se unen con una recta
05:00La intersección de la recta con el eje de abscisa nos da el centro del círculo de Moore
05:04Como estos dos puntos pertenecen al círculo
05:07Con centro en este punto que está acá
05:09Y con radio en los dos puntos va a pasar por S1 y para pasar por S2
05:13Y trazamos el círculo
05:14El círculo de Moore o la circunferencia de Moore va a cortar al eje de las abscisas
05:19En los puntos dados o que representan las tensiones principales
05:22Sigma 1 y Sigma 2 o Sigma 3
05:25En este caso tenemos entonces Sigma 1 que vale 723,6
05:28Y Sigma 3 que vale 276,4
05:31Esto es algo que sale inmediatamente del análisis gráfico
05:35Aquí tenemos también el plano principal mayor
05:38Que va a estar dado por estas relaciones
05:40Tenemos S1, trazamos acá con 400
05:42Trazamos esta línea y tenemos el polo
05:44El plano principal menor será este
05:45Y el plano principal mayor será este que está acá
05:47Esos planos nos estarán dando las direcciones de las tensiones principales
05:53Mayor Sigma 1 y menor Sigma 2
05:55Aquí lo tenemos representados
05:57Plano principal menor y plano principal mayor
06:00Aquí estará actuando entonces Sigma 1 la mayor y Sigma 2 la mayor
06:04La menor
06:05El valor de ese ángulo recordemos es dos veces alfa
06:09Este valor de dos veces alfa será el valor que tenga el ángulo donde actúan estas tensiones
06:14Hay una forma analítica de resolver esto
06:17Nos han pedido entonces las tensiones principales
06:19Y las tensiones principales tanto la magnitud como la dirección la hemos encontrado
06:23Veamos ahora cuál es el cálculo analítico
06:25Se conocen entonces las tensiones en dos planos perpendiculares entre sí
06:28La abscisa del centro del círculo del amor va a ser esta
06:30600 más 400 sobre 2
06:32Gráficamente ya lo habíamos encontrado
06:35Será el punto 500 Kilo Newton por metro cuadrado
06:38Y el radio que va a ser Sigma 1 menos Sigma 3 partido sobre 2
06:41Este valor que tenemos acá es un valor que conocemos
06:44Porque conocemos estos datos que tenemos de entrada
06:48600 y 400
06:49Ese es el punto donde está el círculo
06:51El centro del círculo
06:52También ese centro del círculo se puede estimar en función de Sigma 1 y Sigma 3
06:57Que no los conocemos
06:58Y el radio también Sigma 1 menos Sigma 3 sobre 2
07:00Que tampoco los conocemos
07:02Olvidémonos de lo que hemos visto en el gráfico
07:04Estamos haciendo un cálculo analítico
07:05Los puntos S1 con coordenadas 400 y 200
07:08Y S2 con coordenadas 600 y menos 200
07:11Pertenecen al círculo
07:12Vamos a tomar por ejemplo el segundo de ellos
07:14S2
07:14Y verificamos esta ecuación
07:16Que es la ecuación del círculo
07:17El radio elevado al cuadrado
07:19Es igual a este valor
07:20Sigma menos la tensión del centro elevado al cuadrado
07:23Más tago al cuadrado
07:24600 menos 500 elevado al cuadrado
07:26Más menos 200 elevado al cuadrado
07:27El radio entonces va a ser 223,61 kN por metro cuadrado
07:32Con esto vamos a las ecuaciones anteriores
07:35Recordemos las ecuaciones anteriores
07:37Sigma 1 más Sigma 3 sobre 2
07:39Sigma 1 menos Sigma 3 sobre 2 igual a R
07:41Reemplazamos el valor de R acá
07:43Y lo que tenemos es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
07:46Se resuelve la ecuación de dos
07:48El sistema de ecuaciones con dos incógnitas
07:50Y se obtiene Sigma 1 y Sigma 3
07:52Que tienen estos valores que coinciden con los que hemos encontrado gráficamente
07:57¿Cómo hacemos ahora para encontrar la orientación de los planos principales?
08:01Ya hemos resuelto analíticamente la primera parte del problema
08:04Que era encontrar la magnitud de las tensiones principales
08:06Sigma 1 y Sigma 3
08:07Veamos ahora cuál es la orientación de los planos principales
08:10Definimos entonces a alfa
08:11Como el ángulo que forma el plano representado por S1 con el plano principal mayor
08:15En el plano de Mohr el ángulo central formado por estos dos puntos es igual a 2 alfa
08:19Y lo que vamos a verificar
08:21Ahora si recordemos la figura
08:22Lo que tenemos en la figura es que 2 alfa más beta es igual a 180 grados
08:26El seno de beta de la construcción gráfica es igual a 200 partido por 223,61
08:33Que es el radio del círculo de Mohr
08:35De aquí sacamos a beta que es igual a 63,43 grados
08:39De esta manera podemos ir a la ecuación anterior
08:41Sabemos que 2 alfa más beta es igual a 180 grados
08:45De aquí podemos despejar a alfa porque conocemos beta
08:47Alfa es igual a 58 grados con 29 minutos
08:51Esta será entonces la dirección que estamos buscando
08:53Que coincide con la que teníamos en el gráfico
08:57Recordemos el gráfico cuál era el valor de alfa
09:00La inclinación de estos planos
09:02Esa será la inclinación del ángulo principal mayor
09:06Para encontrar la del ángulo principal menor
09:08Simplemente sumar 90 grados a ese valor de alfa
09:11Estará a 90 grados
09:13Es decir, 148 grados con 29 minutos
09:16Y de esa forma se resuelve analíticamente este problema bastante simple
09:21Vamos a ver ahora otro ejercicio
09:23Vamos a ver ahora un ejercicio
09:26Vamos a trazar el círculo de Mohr para encontrar la forma que están relacionadas estas tensiones en un punto
09:34Y vamos a hacer un análisis de sensibilidad
09:36Viendo qué pasa si variamos alguna de estas tensiones
09:40En este problema vamos a ver algo similar a lo que vimos recién
09:43Pero vamos a resolverlo y vamos a ver qué pasa si se disminuye a un tercio la tensión tangencial
09:48Cómo varía no tanto las tensiones sino cómo varía en el círculo de Mohr
09:54En el plano de Mohr los círculos que vayamos a construir
09:59Tomamos un elemento biaxial de un esfuerzo biaxial como el de la figura
10:04Tiene una, están actuando tensiones
10:07Sigma x de 40.000 psi
10:09Si es una unidad de presión
10:11Sigma y de 20.000 psi
10:13Y tau x y de 10.000 psi
10:15En sentido contrario al de la amanecida del reloj
10:17Recordemos la notación que teníamos
10:19O la regla que mencionaba Mohr
10:22Sobre el sentido positivo o negativo de los esfuerzos de corte
10:26Se pide trazar los círculos de Mohr para determinar los esfuerzos principales
10:30La idea acá es ver cuáles son los esfuerzos principales
10:33Entonces tenemos ese elemento
10:34Y ese cubo actuando sigma y sigma x
10:36Los valores de tau x y y tau y x que son iguales
10:41La resolución, trazamos los ejes en el plano de Mohr
10:43Se identifican como sigma y como tau
10:45Se señala el esfuerzo dado sigma x
10:47Es la línea OA
10:49Ya lo vamos a ver en el gráfico
10:50Se trazan a escala a lo largo del eje de esfuerzo normal, el horizontal
10:53Y también en este ejemplo el valor de sigma x es un valor positivo
10:58También situamos en la línea, en este eje, en el segmento OB
11:03El esfuerzo sigma y también escala a lo largo del eje de esfuerzo normal
11:06Este esfuerzo también es un esfuerzo positivo
11:09Está tensionando una tracción
11:11Va a aparecer entonces la misma dirección que sigma x a lo largo del eje de sigma
11:15El par de esfuerzos de corte tau x y y lo que hace es crear un par
11:18Contra las agujas del reloj sobre el elemento
11:22Este par está equilibrado por el otro par
11:24Ambos esfuerzos cortantes tau x y y tau y son iguales y positivos
11:29Con la regla convencional de signos de esfuerzos
11:32Entonces en el círculo de Mohr
11:33Aquí tenemos identificados los segmentos OB
11:36Los segmentos OA
11:37Con sigma x, con sigma y
11:39Y rápidamente identificamos a tau x y y tau y y en los puntos C y puntos D
11:45También tenemos identificado ahí el ángulo dos veces phi
11:48Que es la inclinación que tiene en estas, el plano de inclinación
11:51Es phi pero lo que tenemos representado ahí es dos veces ese ángulo
11:54Porque es el círculo de Mohr
11:56Trazamos a partir de sigma x entonces la línea vertical
12:00Tenemos entonces tau, tenemos sigma
12:02Aquí tenemos entonces OB representado sigma y
12:06OA sigma x
12:08A partir de sigma y trazamos hacia arriba el valor de tau y x
12:13Se obtiene este punto el D
12:14A partir de A se traza también el tau x y
12:16Este valor entre C y D
12:18Esta distancia
12:19Entre C y D es un diámetro del círculo de Mohr
12:22En esta intersección, aquí en este punto
12:24Se toma como centro del círculo de Mohr
12:27Y lo que se hace es dibujar
12:28Estos son pasos similares a los que vimos anteriormente
12:30Con centro en este punto y radio en este
12:32Se dibuja el círculo de Mohr
12:34Dos de los tres esfuerzos normales principales
12:36Se van a encontrar entonces en las dos intersecciones
12:38Que este círculo de Mohr hace con el eje de fuerzas normales
12:41Cuando se traza el círculo de Mohr
12:43Lo que comentábamos
12:44Hay un punto acá que es P2
12:46Otro que es P1
12:47Y en relación al punto P3 que es O
12:50Tenemos los valores de las tensiones principales
12:53Esos valores van a ser según la escala
12:55Sigma 1 que está acá en P2
12:59Igual a 44,144
13:0144,44142 psi
13:05Y sigma 2 15,858 psi
13:09El esfuerzo cortante máximo nos lo va a dar
13:12El valor que está acá
13:14Que va a coincidir con el radio del círculo
13:16Y será este
13:17Tao 1,2
13:18El esfuerzo cortante máximo principal será
13:2214,142 psi
13:23Dado por esta previsión
13:25La de la tangente horizontal
13:26Desde la parte superior del círculo
13:28Con el eje de las Tao
13:29Este valor que está acá entonces
13:31Es el valor de la tensión principal
13:34Y recordemos los 14,142
13:37En este caso no hay ningún esfuerzo aplicado
13:40En la dirección de Z
13:40Entonces vamos a estar en un estado
13:42De esfuerzo en dos dimensiones
13:44Entonces el tercer esfuerzo principal
13:46Sigma 3 va a ser igual a 0
13:48Entonces estará localizado en el punto 0
13:50Que lo habíamos marcado antes como P3
13:54En el gráfico anterior
13:56Lo vemos acá arriba en la imagen
13:57Entonces quedan todavía dos círculos de Mohr por dibujar
14:00Los tres círculos de Mohr van a estar definidos por los diámetros
14:04Entonces Sigma 1 menos Sigma 3
14:05Este que está acá
14:07Sigma 1 menos Sigma 3
14:08Define este círculo de Mohr grande
14:10Sigma 1 menos Sigma 2
14:13Lo tenemos acá
14:14Define este otro círculo
14:16Y Sigma 2 Sigma 3
14:18Es este otro círculo que tenemos acá
14:20Que van a ser las líneas P1
14:21Dado por los puntos P1, P2 y P3
14:24Lo que tenemos acá entonces es
14:26Toda la superficie
14:29De los posibles estados de tensión
14:30Que se pueden dar en ese punto
14:32Con la configuración que se nos ha dado en el ejercicio
14:35Está sombreada
14:36Cualquier punto que esté fuera
14:38No será posible
14:39Solamente serán posibles los que están acá adentro
14:42Combinaciones de Tau XI y de Tau IX
14:49Llegamos líneas tangentes horizontales
14:51De la parte de los extremos superior e inferior
14:53De cada círculo de Mohr
14:53Hasta cruzar el eje del cortante vertical
14:56Y encontramos los valores de los esfuerzos cortantes principales
14:59Asociados para cada par de esfuerzos normales principales
15:02Entonces de esa manera vamos a tener
15:03Tau 1.3 va a ser 22.071
15:07Tau 1.2, 14.142
15:10Y Tau 2.3, 7.929
15:13Aquí lo tenemos
15:14Son estos valores que están acá
15:15Corresponden a los máximos
15:17Para cada uno de los círculos que hemos dibujado
15:21Aquí tenemos un Tau 2.3
15:23Dado entre las tensiones
15:25Sigma 2 y Sigma 3
15:25El valor de tensión será
15:27Justamente el que esté entre medio
15:30Sigma 2 más Sigma 3 sobre 2
15:32Y para ese valor se obtendrá el Tau máximo
15:35Que será 2.3
15:36Recordemos que para los casos en que se den
15:38En las direcciones principales
15:40Sigma 1, Sigma 2 y Sigma 3
15:41No hay esfuerzos tangenciales
15:44Entonces dado por esta situación
15:47En esta cara
15:48El máximo valor de Tau será 2.3
15:50Y Tau 2.3 vale 7.929
15:53El valor de Tau 1.2
15:55Estará entre las tensiones principales
15:58Sigma 1 y Sigma 2
15:59Para Sigma 1 el valor de Tau es 0
16:01Para Sigma 2 también es 0
16:03Porque son tensiones principales
16:04En el centro
16:05Para esta tensión
16:06Dada por Sigma 1 más Sigma 2 sobre 2
16:08Tendremos el valor máximo
16:09Para este círculo en esta cara
16:12Tau 1.2 será de 14.142
16:17Y el Tau 1.3
16:18Será el valor máximo de todos
16:20Corresponderá a un valor medio
16:23De Sigma 1 más Sigma 3 sobre 2
16:25Que estará por acá
16:25Y en ese caso
16:27Tau 1.3 vale 22.071
16:30Si
16:30Y no el valor 14.142
16:32Que se determinó anteriormente
16:34Siempre el círculo que está
16:36Entre los esfuerzos principales
16:37Mayor y menor
16:38El que determina el esfuerzo cortante máximo
16:40En el ejemplo anterior
16:41El esfuerzo principal igual a 0
16:42No era el menor de los 3
16:44Porque uno de los esfuerzos principales
16:46Era negativo
16:47En este caso
16:48En este ejemplo
16:49El esfuerzo principal igual a 0
16:50Es el menor
16:51Por lo tanto
16:52En el caso en que
16:53No se dibujen los 3 círculos
16:55Se hubiera llegado
16:57A un error
16:57A un error importante
16:59Al considerar el valor
17:00De Tau máximo
17:01Esto
17:02Tiene sentido
17:04A la hora de
17:05De realizar diseños
17:06En la medida en que
17:07Hay que determinar
17:10Cuáles son los
17:11Los posibles
17:11Valores que pueden tener
17:14Las tensiones
17:14Si no hubiésemos dibujado
17:15Los 3 círculos
17:16No hubiésemos quedado
17:16Con ese valor anterior
17:17De 14.000
17:18Y tal vez
17:19Hubiésemos estado
17:20En el límite
17:21De alguna
17:22De alguna tensión
17:24Característica
17:25De algún material
17:25De alguna roca
17:26Y sin darnos cuenta
17:28Que esa tensión
17:30Hubiese sido
17:31Es mayor
17:32La tensión posible
17:33Que se generaría
17:34Con esto terminamos
17:36La parte correspondiente
17:37Al taller 3
17:38Destinado a lo que es
17:39El círculo de amor
17:40Lo que es
17:43No hay
17:43Y
17:44Y
17:45No hay
17:46Vivió
17:47Por
18:04No hay
18:04No hay
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