- 22 saat önce
02-Sayılar 02
Kategori
📚
ÖğrenmeDöküm
00:30Şimdi arkadaşlarım birincisi bizim köklü sayı dediğimiz şey şu.
00:34Hani biz üstlü sayı tanımlarken hep şöyle tanımlıyorduk.
00:36Diyorduk ki A üzeri N gibi bir ifade bir üstlü sayıdır.
00:40Üst kadar tabanından yan yana çarpma anlamına gelir.
00:43Ve buradaki üstümüz yani N bir tam sayı.
00:46Ama bu üst her zaman tam sayı olmayabilir.
00:49Üst bazen kesirli sayıda yani rasyonel sayıda olabiliyor.
00:52Eğer sayının üstü rasyonelse biz bu sayıyı köklü sayı olarak yazarız.
00:57Şöyle yazarız tabanı yazdık kökü koyduk üzerine paydası kökün derecesi payı içeride üstünün derecesi olacak şekilde efendim her rasyonel üste sahip olan üstlü sayı köklü sayı biçiminde yazabiliyoruz.
01:12Mesela beş üzeri üç bölü dört sayısı.
01:16Şimdi beş üzeri üç bölü dört sayısını bakın şöyle yazmışız.
01:19Beşi yazdık.
01:20Kökü koyduk üzerine paydası kökün derecesi payı içeride üstünün derecesi olacak şekilde.
01:27Yani dördüncü dereceden kökte beş üzeri üç şeklinde yazabiliyoruz.
01:32Hatta biz biliyoruz ki beşin küpü de yüz yirmi beş.
01:35Yani dördüncü dereceden kökte yüz yirmi beş şeklinde yazabildik sayıyı.
01:39Ya da mesela demiş ki üç üzeri bir bölü iki sayısı.
01:43E bunu yazarken de üçü yazdık.
01:45Kökü koyduk üzerine iki kökün derecesi bir içeride üstünün derecesi olacak.
01:51Şimdi biz biliyoruz ki bir senin birinci kuvveti zaten kendisidir.
01:54Üçü yazarız.
01:56İki kökün derecesine yazmayız.
01:58Çünkü zaten kök derecesi yazmıyorsa ikidir.
02:00Yani hani adı üzerinde ya kare kök diyoruz biz buna.
02:03O yüzden kök derecesi yazmıyorsa biz onu hep iki kabul edeceğiz.
02:07İkinci dereceden kökte kabul edeceğiz.
02:09Şimdi mesela bu kuralla ilgili bile sorular çıkmış mı çıkmış ölsevimede.
02:15Mesela bunlar nelerdir?
02:17İlk sorumuzdan başlayalım.
02:19Yirmi beş üzeri x üzeri iki eşittir yüz yirmi beş çarpı dördüncü dereceden kökte beş diye bir soru vermiş.
02:24Şimdi biz buradaki yirmi beşin yüz yirmi beşin hepsinin beşin katı olduğunu biliyoruz değil mi?
02:30E desem ki o zaman yirmi beş sayısı beşin karesidir.
02:34Üzeri x üzeri iki.
02:37E yüz yirmi beş beşin küpüdür.
02:39Çarpı.
02:41E peki şu dördüncü dereceden kökte beşi de.
02:44Hani ben üstü sayı biçimde yazmak istersem.
02:47Şöyle yazamaz mıyım?
02:49Üstü yazmıyorsa bir değil mi?
02:50Ben bunu o zaman üstü sayıya çevirmek istediğimde şöyle çevireceğim.
02:54Beşi yazacağım.
02:55Tam tersi işlemi yapacağım.
02:56Yani diyeceğim ki bir bölü dört diyeceğim üstüne.
03:00Yani bu sayının yerine de o zaman beş üzeri bir bölü dört yazabiliyorum.
03:04Şimdi üstü sayı kuralı bize diyordu ki üstün üstüne üst varsa üstler çarpılır.
03:08E çarpalım.
03:10İki ile x'i çarptım iki x.
03:11İki x ile ikiyi çarparsam dört x oluyor.
03:13Diğer taraf tabanlar aynı çarpım halinde olduğuna göre üstleri toplanacak.
03:20Yani üç artı bir bölü dört diyeceğiz.
03:23O zaman bizim elimizdeki beş üzeri dört x eşittir.
03:26Beş üzeri dört körü üç on iki bir daha on üç bölü dört diyeceğiz.
03:33Şimdi artık şunu söyleyebiliriz.
03:35Tabanlar eş ise üstler de eşittir.
03:37Yani dört x sayısı on üç bölü dörde eşittir diyeceğiz.
03:41E buradan da içler dışlar çarpımı yapsak dört körü dört on altı x on üçe ve x'i yalnız bırakmak için her tarafı on altıya bölsek x sayısı on üç bölü on altıya eşittir diyebileceğiz arkadaşlarım.
03:55Gördüğünüz gibi hani burada ne yaptık?
03:56Köklü sayıyı üstü sayıya çevirerek aslında çözüm yapmış olduk.
04:01Peki bunun başka bir çözümü var mıydı?
04:03Vardı tabi.
04:04Mesela şöyle diyebiliriz.
04:06Onu da yapsak olurdu.
04:07Yirmi beşe dedik ki beşin karesi üzeri x üzeri iki dedik.
04:13Yüz yirmi beşe beşin küpü dedik.
04:15Ama diyelim ki benim bu köklü sayıyı üstüye çevirmek aklıma gelmedi.
04:19Yani bu dördüncü derecen kökte beş olarak kalsın.
04:21Şimdi üstün üstüne üst varsa üstler çarpılıyor.
04:24Biz bunu biliyoruz.
04:25İki ile x'i çarptık.
04:27İki x, iki x ile de ikiyi çarparsak beş üzeri dört x oldu.
04:31Eşittir.
04:31Beş üzeri üç çarpı dördüncü derecen kökte beşe.
04:35Şimdi dostlar bir eşitliğin iki tarafına da aynı işlem yapıldığı zaman eşitliğin bozulmadığını biliyoruz.
04:43O zaman biz burada şu dördüncü dereceden kökü yok etmek için her iki tarafın dördüncü dereceden kuvvetini alsaydık yine kökten kurtulmuş olurduk.
04:53Bakın yapalım.
04:54Üstün üstünde üst varsa üstler çarpılıyor.
04:56Dört ile dört x'i çarptık.
04:58On altı x oldu.
04:58Diğer taraf ne oldu?
05:01Parantezin üzerindeki dört parantezin içindeki her terimin dördüncü kuvveti olduğuna göre beş üzeri üçte dördü çarptım.
05:08On iki çarpı.
05:11Dört üzeri dördüncü dereceden kökte beş üzeri dört oluyor.
05:15E bu dörtler de o zaman sadeleşiyor.
05:18Yani beş olarak dışarıya çıkıyor elimizdeki.
05:20E o zaman diyeceğiz ki tabanlar aynı çarpım halindeyken üstler toplanıyor.
05:27Yani beş üzeri on üç oluyor.
05:30Tabanlar eşitse üstler de eşit diyoruz.
05:32Yani on altı x on üçe eşitse her tarafı on altıya böldüğümüzde x sayısını gene on üç bölü on altı bulmamız mümkün.
05:40Yani her iki tarafın aynı dereceden kuvvetini alarak kökü de yok edebilir miyiz?
05:43Ederiz.
05:45Gelelim efendim benzer bir örneğe.
05:47İkinci örneğimize geçelim.
05:48Şimdi ikinci örneğimizde gördüğünüz gibi dördüncü dereceden kökte üç çarpı beşinci dereceden kökte dokuz çarpı onuncu dereceden kökte yirmi yedi diye sayıları vermiş.
06:00Ama kök içindeki üç, dokuz, yirmi yedi hepsi üçün katı.
06:04O zaman ben önce onları kat olarak yazayım.
06:07Bu üçün birinci kuvveti zaten üç dediğimiz şey.
06:10E dokuz desek bu üçün karesi.
06:13E yirmi yedi desek bu da üçün küpü oluyor.
06:16Eşittir üç üzeri x bölü y.
06:18Değil mi?
06:20E o zaman şimdi ben bunların hepsini üstlüğe çevirmek istersem şöyle çevireceğim.
06:24Üç üzeri bir bölü dört diyeceğim buna.
06:27E diğerine üç üzeri iki bölü beş diyeceğim.
06:32Buna da üç üzeri üç bölü on diyeceğim.
06:35Eşittir.
06:36Üç üzeri x bölü y'ye.
06:38Şimdi tabanlar aynı çarpım halindeyken üstler toplanıyor.
06:42Bunu biliyoruz.
06:43O zaman üstlerini toplayacağız.
06:44Yani bir bölü dört, iki bölü beş ve bir bölü onu toplamam gerekiyor.
06:50E bunları toplarsak eğer paydaları eşitleyebiliriz.
06:53Yirmi de eşitleriz.
06:55Bunu beşle, bunu dörtle, bunu da ikiyle çarparsam bütün paydalar o zaman yirmi de eşitlenmiş olacak.
07:02Bu durumda üç üzeri beş kere bir beş artı dört kere iki sekiz artı iki kere bir iki bölü yirmi diyeceğiz.
07:11Öyle değil mi?
07:13Yani elimizdeki üç üzeri x bölü y.
07:15Y eşit.
07:16Yani üç üzeri iki sekiz daha on beş daha on beş bölü yirmi.
07:22Üç üzeri x bölü y'ye eşit olacak.
07:25Hatta bu on beş bölü yirmi de sadeleşir mi dersek?
07:27Sadeleşir.
07:29Beşe böldük.
07:30Üç, beşe böldük.
07:31Dört deriz.
07:33O zaman tabanlar eşitse üstler de eşit deriz.
07:36Dolayısıyla üç bölü dört, x bölü y'ye eşit.
07:39E bu eşitliğe göre o zaman x artı y'ye toplamanın en küçük değeri x üçken y de dörttür.
07:45Yani toplamları yedidir diyebiliriz bu durumda.
07:48Şimdi gelelim efendim bir sonraki örneğimize ve kuralımıza.
07:57Şimdi kuralımız şu.
07:59Kural diyor ki bize bir köklü sayının eğer kök derecesiyle üst derecesi birbirine eşit ise
08:05bunlar birbirini götürür sayı dışarıya çıkar diyor.
08:09Ama diyor sayı şöyle çıkıyor.
08:11Eğer bu birbirini götüren derece tek sayıysa sayı dışarıya aynen çıkıyor.
08:19Ama çift sayıysa dışarıya mutlak değerde çıkıyor.
08:25Şimdi biz diyeceksiniz ki ya biz mutlak değeri görmedik ki nereden bilelim böyle çıkıyor.
08:29Hani nasıl işlem yapacağız.
08:31Bunu da şöyle düşüneceğiz dostlar yani.
08:33Mutlak değerde çıkması sayının şu anlama gelir.
08:35Sayı negatifse bile her zaman dışarıya pozitif çıkacak anlamına geliyor.
08:40Şimdi bunları bir örnek üzerinden pekiştirelim bu bulduğumuz kuralı.
08:45Şimdi birincisi küp kök altmış dört demişim.
08:48Altmış dört sayısı neyin küpüdür deseler dördün küpüdür.
08:52Eksi altmış dörtte eksi dördün küpü oluyor.
08:55Bakın kök derecesini üst derecesini eşitledim.
08:58Bunun zaten eşit.
08:59Beşinci derecenin kökte eksi iki üzeri beş.
09:01E üçüncünün de eşit.
09:03Eksi beş üzeri dört değil mi?
09:05Şimdi kök dereceleri üst dereceleri birbirini yiyecekler.
09:08Yani mesela şu üçler birbirini yiyecek.
09:10Ama üç tek sayı olduğuna göre içerideki dışarıya aynen çıkacak.
09:15Eksi dört diye çıkmış oldu.
09:17Tamam beşler de birbirini götürürsün.
09:19Bunlar da eşit.
09:20Beş de tek sayı olduğuna göre içerideki dışarıya yine aynen çıkacak.
09:25Eksi iki olarak.
09:25Ama üçüncüye gelirsek dörtler birbirini götürüyor.
09:29Ama dört çift sayı olduğu için içerideki dışarıya mutlak değer de çıkmış oluyor dostlar.
09:36Yani o zaman elimizdeki şöyle oldu.
09:38Eksi dört.
09:39Artı eksinin çarpımı eksi iki.
09:42Mutlak değerdeki eksi beş dışarıya beş olarak çıkacaktır.
09:46Dedik ki yani mutlak değerdeki sayı negatif bile olsa dışarıya her zaman pozitif çıkacak.
09:51Yani elimizdeki ne oldu?
09:52Eksi dört eksi iki.
09:54Eksi altı artı beş.
09:55Eksi beş oldu.
09:56Eksi altıyla da beşi topladığımız zaman eksi bir bulmuş olduk efendim işlemin sonucuna.
10:04Bir örnek daha gelsin buna benzeyen.
10:07Hemen geldi.
10:09Dördüncü örneğimiz hazır efendim.
10:11Şimdi diyor ki burada da bunlar birbirini yesinler bitirsinler.
10:15Zaten bakın kök dereceleri eşit verilmiş.
10:17Yani üçler birbirini yiyecek yine ama
10:19üç tek sayı olduğuna göre içerideki dışarıya aynen çıkacak.
10:23Değil mi?
10:23Yani eksi yedi olarak atacağız bunu dışarıya.
10:26Eksi.
10:28İken iki en.
10:29Şimdi en herhangi bir sayıdır ama iki ile çarparsanız iki en ifadesi kesin çift sayıdır değil mi?
10:36E bunlar birbirini yiyince o zaman bu eksi dokuz mutlak değerde dışarıya çıkacak demektir.
10:41Bu da tamam artı.
10:43Sekizler de birbirini yiyor.
10:45Sekiz çift sayı olduğuna göre içerideki dışarıya yine mutlak değerde çıkmış oluyor.
10:51Ve mutlak değerdeki bir ifade her zaman pozitif sayıya dönüşeceği için elimizdeki şöyle oluyor aslında.
10:57Beş çarpı eksi yedi eksi.
10:59Bu mutlak değerdeki eksi dokuz mutlak değerden artı dokuz olarak çıkacak.
11:03Mutlak değerdeki eksi iki dışarıya artı iki olarak çıkacak.
11:07Yani sonucumuz şöyle olacak.
11:09Beş ile eksi yedi'yi çarptık eksi otuz beş.
11:12Eksi ile artıyı çarptık eksi dokuz.
11:14Üçte ikiyi çarptık altı oldu.
11:17E bunları toplarsak eksi otuz beş eksi dokuz eksi kırk dört yapıyor.
11:21Eksi kırk dört artı altı eksi otuz sekiz çıkartacak işlemin sonucunu arkadaşlarım.
11:31Gelelim gelelim o zaman bir başka kurala.
11:35Şimdi bir başka kuralımız üçüncü kuralımız çok sık çıkan bir soru tipi olmamakla birlikte köklü sayının şöyle bir özelliği var.
11:42Şimdi denir ki çift kuvvetteki bir kökün içerisine eğer negatif bir sayı yazılırsa bu ifade tanımsız olur deniyor.
11:51Ama bakın kök derecesinin çift kuvvet olması gerekiyor tanımsız olabilmesi için.
11:55Yani mesela örnek veriyorum onuncu dereceden kökte eksi beş gibi bir ifade verildiğinde kuvvet çiftse içerideki sayıda negatifse o zaman bu ifade tanımsız bir ifadedir dememiz gerekiyor.
12:10Hatta mutlaka hatırlarsınız mesela kök içinde eksi bir ifadesi karmaşık sayılarda gösterilir.
12:16Hani i, i kare, i küp falan diye gösterilir ama o bizim ifratımızın dışarısında kalıyor.
12:21Şimdi mesela bu bilgiyle ilgili bize soru nasıl gelir?
12:24Aynen bakın beşinci soruda olduğu gibi bir soru beklenebilir.
12:28Diyor ki dördüncü dereceden kök içinde üç x eksi on iki, küp kök x kare artı x artı yedi, artı kök derecesi yazmıyorsa ikiydi biliyorsunuz.
12:37İkinci dereceden kökte dört eksi x gibi bir ifade verilmiş.
12:41Diyor ki bu ifade real sayılarda tanımlıysa diyor bu işlemin sonucu kaçtır?
12:45Şimdi bu ifadenin real sayılarda tanımlı olabilmesi için çift kuvvetteki köklerin içinin negatif olmaması gerekiyor değil mi?
12:53Yani mesela şu dördüncü ajan kökün içerisinde.
12:57Bunun içindeki sayının negatif olmaması lazım.
13:00Peki negatif olmaması demek ne demek?
13:02Yani bunun içindeki sayı ya sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük bir sayı olacak demektir.
13:07Hatta x on iki diğer tarafı atarsak artı on iki geçer.
13:12Ve her tarafı üçe bölersek eğer x büyük eşittir dört eşitsizliğini buluruz.
13:18Yani x sayısı dörde eşit ya da dörtten büyük olacak diyor bize.
13:23Hemen yanındakine geçtim.
13:24Yanındaki küp değil mi tek sayı?
13:27E tek kuvveti olduğuna göre bunu tanımsız yapan bir şey yok.
13:30Sadece çift kuvvetlerin içi negatifse tanımsız olacak.
13:33O yüzden bunu atlıyorum.
13:35Bir yanındakine geçtim.
13:36İkinci ajan kökün içinde bu da çift kuvvet.
13:39O zaman bunun içindeki sayının da sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olması lazım.
13:44Hatta eksi x'i diğer tarafa atsak bu da artı x olarak geçecek.
13:48Buradan da neyi buluyoruz?
13:49x sayısı dörde eşit ya da dörtten küçük çıkacak.
13:53Şimdi o zaman iki tane koşul elde ettik biz değil mi?
13:56Birinci koşulumuz şu.
13:57Şu sayı doğrumuz olsun.
13:58Şurası dört noktası olsun.
13:59Şimdi birinci arkadaş diyor ki x dörde eşittir ya da dörtten büyüktür diyor.
14:05İkinci diyor ki yok olmaz diyor x dörde eşit ya da dörtten küçüktür diyor.
14:10O zaman biz bu x'e kaç verelim de hepsi tanımlı olsun?
14:14Hangi değeri verelim?
14:15Değil mi?
14:16Dört verelim.
14:16Çünkü dört verirsek ikisi de kabul eder bunu.
14:20O zaman demek ki burada biz x'in yerine dörtten başka bir sayı zaten veremiyormuşuz.
14:25x gördüğüm yere şimdi bu köklü sayıda dört yazacağım.
14:28Dördüncü ejen kökte üç çarpı dört eksi on iki artı küp kök dördün karesi artı dört artı yedi artı kök içinde dört eksi dört olacak.
14:42Yani elimizdeki dördüncü ejen kökte üç kere dört on iki, on iki'den on iki çıksak sıfır.
14:49Diğeri küp kök dördün karesi on altı.
14:53On altı dört daha yirmi, yedi daha yirmi yedi oluyor.
14:58E diğeri dörtten dört çıksak gene kök sıfır oluyor değil mi?
15:01Şimdi sıfırın herhangi bir kuvveti sıfır olduğuna göre herhangi bir kökü de gene sıfıra eşittir diyebiliriz.
15:08Bunlar o yüzden sıfıra eşitler.
15:10Küp kök yirmi yedi kaldı elimizde.
15:12E biz yirmi yedinin de üçün küpü olduğunu biliyoruz değil mi?
15:16E kök dereceleri üst dereceleri birbirini yese içerideki sayı dışarıya aynen çıkacaktır.
15:22Dolayısıyla işlemin sonucu üçtür diyebileceğiz arkadaşlarım.
15:28Biraz gördüğümüz gibi biraz teorik bilgi isteyen bir soru.
15:31Şimdi bunun benzeri hemen gelsin altıncı soruda.
15:35Şimdi sorunun hani bu çözümü yapmamız gerektiği yeri şuradan anlıyoruz.
15:41Soruda diyor ki bize real sayılarda tanımlı.
15:44Bu cümleyi duyduğumuz anda real sayılarda tanımlı olabilmesi için çift kuvvetteki köklerin içinin negatif olmaması gerekiyor.
15:51Kuralını mutlaka hatırlamamız lazım.
15:54Şimdi birincisine baktık.
15:56Sekizinci dereceden kökte altı eksi x.
15:58O zaman biz dedik ki demek ki bunun içindeki sayı yani altı eksi x'in negatifi olmaması lazım.
16:04O zaman sıfıra eşit ya da sıfıdan büyük bir sayı olmalı.
16:07Hatta eksi x'i bu tarafa atarsak artı x geçer.
16:10Yani x'in altıya eşit ya da altıdan büyük bir sayı olması gerekiyor dedik.
16:15Hemen yanındakine geçtik.
16:17Dördüncü kuvvet bu da çift.
16:19O zaman bunun içindeki sayının da yani x artı birin de sıfıra eşit ya da sıfıdan büyük olması gerekiyor değil mi?
16:25Artı biri diğer tarafa atsak hatta x'in eksi bire eşit ya da eksi birden büyük olması gerekiyor.
16:31Bu da tamam.
16:33Yanındakine geçersek ama beş tek kuvveti olduğuna göre bunu tanımsız yapacak bir şey yok.
16:37O zaman elimizde iki tane koşul var.
16:40Biri diyor ki ilk sayısı eksi bire eşit ya da eksi birden büyüktür.
16:44Öbürü diyor ki altıya eşit ya da altıdan küçüktür diyor.
16:48E şimdi burada x'in alabileceği kaç tane tam sayı değeri vardır diye sorsalar
16:51eksi birin kendisi dahil.
16:54Eksi bir, sıfır, bir, iki, üç, dört, beş, altı da dahil.
17:00Bu değerleri alabiliyor.
17:02Yani alabileceği kaç tane değer vardır diye sorsalar deriz ki sekiz tane farklı tam sayı değeri vardır x'in alabileceği deriz.
17:10Anlaşabildik mi?
17:10O zaman hemen ilerleyelim bakalım.
17:19Dördüncü kuralı gelsin.
17:21Köklü sayının.
17:22Şimdi bu kural aslında üstlü sayıya çok benzer bir kuraldır.
17:26Üstlü sayıda bir kural vardı hatırladınız mı?
17:28İki üstlü sayının tabanları farklı ama üstleri aynıysa biz bunları ortak üst parantezine alıp çarpabiliyorduk çarpım halindeyse.
17:37Aynı şey köklü sayı içinde geçerli.
17:40Yani kök dereceli aynı, tabanları farklı ve çarpım halindelerse biz bu sayıları gördüğümüz gibi ortak köke alıp çarpabiliyoruz.
17:49Mesela bunun örneğini nasıl vermiş?
17:51Küp kök iki yüz elli bölü yedi çarpı küp kök yedi bölü iki.
17:55E kök dereceli eşit ve çarpım halinde olduklarına göre biz bunları ortak köke alıp çarpabiliriz diyoruz.
18:02Bu durumda yediler gidiyor.
18:04İki yüz elli de ikiye bölsek yüz yirmi beş oluyor.
18:07Biz biliyoruz ki yüz yirmi beş sayısı beşin küpüdür.
18:10O zaman kök derecesiyle üst derecesiyle birbirini yer ve sayı dışarıya beş olarak çıkar diyoruz.
18:17Şimdi bununla ilgili örnekler neler?
18:19Yani bu kuralı işletebileceğimiz örnekler neler daha doğrusu?
18:22Hemen yedinci örnekten başlayalım.
18:25Şimdi kök yetmiş iki artı üç çarpı kök otuz iki eksi iki çarpı kök elli işleminin sonucu kaç diye soruyor.
18:33Kök içindeki sayılara bakıyorum.
18:34Mesela yetmiş iki, otuz iki, elli falan bunların hepsi bir sayının katı falan değil.
18:40Yani kuvvet şeklinde yazamıyorum.
18:41Mesela yetmiş iki işte üçün beşinci kuvvetleri falan diyemiyorum.
18:44O zaman ne yapacağım?
18:45O zaman şunu yapacağım.
18:47Kök içindeki sayılarının hepsine bakacağım.
18:49Yetmiş iki, otuz iki, elli.
18:51Hepsi ikiye tam bölünüyor mu?
18:53Şimdi buradakilerin hepsi ikiye tam bölünüyor.
18:55Ama hepsi ikiye bölünmüyorsa hepsi üçe bölünüyor mu?
18:58Hepsi beşe bölünüyor mu?
19:00Bunları kontrol edeceğim.
19:01Hepsini bölebileceğim sayı bulacağım yani.
19:03Şimdi buradakilerin hepsi ikiye bölünüyor gördüğümüz gibi.
19:06Yani yetmiş ikiyi ikiye bölerek yazsam, kök otuz altı çarpı kök iki şeklinde yazarım.
19:13E otuz ikiyi ikiye bölerek yazsam, bunu da o zaman kök on altı çarpı kök iki şeklinde yazarım.
19:20E elli ikiye bölerek yazsam, bunu da kök yirmi beş çarpı kök iki şeklinde tekrar ayırabilirim.
19:26Ayırabilirim, değil mi?
19:28E şimdi artık işlemleri biraz hızlandırabiliriz herhalde.
19:31Otuz altının kare kökü.
19:33E otuz altı altının karesi olduğuna göre, demek ki otuz altının kare kökü altıdır diyebilirim.
19:38Üç çarpı, on altının kare kökü.
19:42E on altı dördün karesi olduğuna göre, o zaman bu da dışarıya dört olarak çıkacak.
19:48Kök yirmi beş, yirmi beş beşin karesi olduğuna göre, bu da dışarıya o zaman beş olarak çıkacak, değil mi?
19:54Yani elimizdeki altı kök iki artı, üç kere dört, on iki kök iki, eksi, iki kere beş, on kök iki oluyor.
20:03Şimdi ister kök iki parantezini alın, isterseniz bunu şöyle söyleyebilirsiniz.
20:07Altı tane kök ikiye, on iki tane kök ikiye eklersem, on sekiz tane kök iki oluyor.
20:13On sekiz tane kök ikiten de on tane kök iki çıkartırsam, elimde sekiz tane kök iki kalıyor deyip, cevabına sekiz kök iki diyebileceğiz arkadaşlarım.
20:23Yani burada ne yaptık?
20:24Sadece bu sefer sayıları ayrıştırarak yazdık.
20:28Böylelikle kare kökü alınabilen sayılar dışarıya tam sayı olarak çıktılar.
20:34Bakınız benzer sorusu gelsin.
20:36Sekizinci örnek.
20:38Şimdi kırk sekiz, yetmiş beş, üç, yüz sekiz.
20:41Şimdi bu seferin hepsini kaça bölebilirim diye düşünüyorum.
20:44Hepsi ikiye bölünmüyor, yetmiş beş bölünmüyor.
20:46Ama hepsi üçe bölünüyor mu?
20:48Bölünüyorlar.
20:49Şimdi üçe bölerek yazsam şöyle olacak.
20:52Kırk sekiz sayısı mesela on altı çarpı üç.
20:54Yirmi beş sayısı yirmi beş çarpı üç artı kök üç bölü beşinci derecen kökten yüz sekiz sayısı da otuz altı çarpı üç oluyor herhalde değil mi?
21:07Yani bunları ayrıştırdığımızı düşünürsek şöyle olacak.
21:10Kök on altı çarpı kök üç artı kök yirmi beş çarpı kök üç artı kök üç bölü beş çarpı kök otuz altı çarpı kök üç oluyor.
21:22Şimdi dışarıya çıkabilenleri çıkartalım.
21:25On altının kare kökü, on altı dördün karesi olduğuna göre demek ki bu dışarıya dört olarak çıkacak.
21:33Yirmi beş beşin karesi olduğuna göre kök yirmi beş de dışarıya beş olarak çıkar.
21:38Bu da tamam.
21:40Gerisini yazdım.
21:41Bir de şu aşağıda otuz altı var.
21:43Otuz altı altının karesi olduğuna göre bu dışarıya altı olarak çıkacak.
21:47Yani bizim sayı dört kök üç artı dört kere beş yirmi kök üç artı bir kök üç bölü altı kere beş otuz kök üç oldu.
22:00Şimdi yukarıyı toplayalım.
22:02Dört tane kök üçe yirmi tane kök üç eklersem yirmi dört tane kök üç oluyor.
22:06Hatta bir tane daha kök üç eklersem yirmi beş tane kök üç oluyor.
22:10Bölü otuz kök üç.
22:13O zaman kök üçler sadeleşir.
22:14Hatta yirmi beş ile otuz da sadeleşir.
22:18Beşe böldük.
22:19Beş.
22:20Beşe böldük.
22:21Altı olur.
22:21Yani işlemin sonucu beş bölü altıdır deyip bitirebiliriz arkadaşlarım bu soruyu da.
22:28Ve efendim bir kural daha geldi.
22:32Bu kuralın da aynısı hatırlayınız efendim üstlü sayılarda var.
22:36Üstlü sayılardaki kuralımız şuydu.
22:38Bir üstlü sayının üstünün üzerinde üst varsa eğer üstler çarpılır diyorduk.
22:42Köklü sayı için de aynı şey geçerli.
22:45Kökün üzerine kök varsa kök dereceleri çarpılıyor gördüğümüz gibi.
22:50Yani mesela aşağıdaki örnekte köklerin üzerine bir iki bir üç var.
22:55O zaman ne yapıyoruz?
22:55Kökün üzerine kök var diyoruz.
22:57İkili üçü çarpıyoruz.
22:58Altıncı dereceden kökte altmış dört çıkıyor.
23:01Altmış dört de ikinin altıncı kuvveti.
23:04Altılar gitti.
23:05Sayı dışarıya mutlak değerde çıkmış olsa bile mutlak değerde ki iki yine ikiye eşit olacaktır dostlar.
23:12Şimdi bunu kullanarak soruları çözelim bakalım.
23:18Geldik o zaman dokuzuncu örneğimize.
23:22Ne demiş efendim?
23:22Demiş ki dördüncü dereceden kökte akare çarpı köka eşittir otuz iki diyor.
23:29Şimdi burada kök üstünde kök var demeye çok isterdim ama arada bir tane akare var.
23:33Önce bu akareyi içeriye atmam lazım.
23:38Peki akareyi içeriye nasıl atarım?
23:40Yani bu köklü senin içine nasıl atarım?
23:42Kökün derecesi yaz mülüsü iki de ya.
23:45Gireceği kökün derecesiyle kendi üstünün derecesini çarparsak o zaman içeriye atabiliriz.
23:50Yani iki ile ikiyi çarpacağım.
23:53Diyeceğim ki a üzeri dört olarak girsin bu arkadaş içeriye.
23:59Şimdi işte kökün üzerinde kök var.
24:02Yani dört ile ikiyi çarpacağım.
24:04Sekizinci dereceden kökte diyeceğim.
24:06A üzeri dört ile a'yı çarptığımızda üstleri toplanacak.
24:10A üzeri beş olacak.
24:11Bu da otuz ikiye.
24:13Yani ikinin beşinci kuvvetini eşittir diyeceğiz değil mi?
24:16Şimdi bundan sonra ne yapalım peki?
24:19Bundan sonra şöyle yapabiliriz.
24:20İster bu sayıyı üstü sayıya çevirip çözelim.
24:24İstersek şunu yapalım.
24:26Sekizinci dereceden kökü yok etmek için ben her tarafın sekizinci dereceden kuvvetini alacağım diyebilirsiniz.
24:32Şu sekizler gider.
24:34O zaman a üzeri beş dediğimiz şey iki üzeri sekiz kere beş kırka eşit olur.
24:39Hatta beşli de kırkı sadeleştirirsem a o zaman iki üzeri sekize eşit çıkmış.
24:45Olur arkadaşlarım.
24:47Şimdi bu bir çözüm.
24:48Evet bu kuralı kullanarak yaptığımız bir çözüm ama biraz uzun bir çözüm.
24:53Biz şimdi onun yerine bu sayıyı şöyle çözsek olur mu?
24:58Şimdi dördüncü dereceden kökte a kare çarpı kök a eşittir.
25:03İkinin beşinci kuvveti.
25:04Yani otuz ikiye eşittir dedik değil mi?
25:06Şimdi ben burada mesela bu soruları çözerken şöyle bir yöntem uyguluyorum.
25:11Yok etmem gereken kökülerin dereceleri nelerdir?
25:15Bakın bir dördüncü dereceden var.
25:17Bir de iki var değil mi?
25:18Diyorum ki dörtle ikiyi çarpayım sekiz.
25:21Her iki tarafın sekizinci dereceden kuvvetini alayım diyorum.
25:26O zaman bu şöyle oluyor.
25:27Şu dörtle sekiz sadeleşiyor önce.
25:30Üstlerinde iki kalıyor.
25:31Yani a kare çarpı kök a üzeri iki kaldı elimizde.
25:36Diğer tarafta iki üzeri sekiz kere beş kırk oldu.
25:39Şimdi iki üstlerine bir daha dağıtacağım.
25:41Bu iki hem a karenin karesi yani a üzeri iki kere iki dört oluyor.
25:46Hem de kök a'nın karesi oluyor ki kök a'nın karesini aldığınız zaman kökle üst birbirine eşit olduğu için sayı dışarıya çıkacak.
25:54Yani a olarak çıkacak.
25:56Eşittir iki üzeri kırk diyeceğiz.
25:58E o zaman tabanlar aynı çarpma anlıyorken üstler toplanıyordu.
26:02Yani a üzeri beş iki üzeri kırka eşitti.
26:04E biz beşle de kırkı sadeleştirdik.
26:06Sekiz kaldı.
26:07Yani a dediğimiz şey iki üzeri sekizdir diyebiliriz dostlar.
26:12Yani böyle çözmek bence daha garanti daha hızlı bir çözümü beraberine getiriyor.
26:19Şimdi buna benzer mesela bakınız onuncu soruya geçelim birlikte.
26:24Ne demiş efendim?
26:25Beşinci dereceden ve dördüncü dereceden kökler var.
26:28O zaman biz bunları yok etmek için beşte dördü çarpıyoruz yirmi.
26:32Diyoruz ki her tarafın yirminci dereceden kuvvetini alalım diye başlıyoruz işleme.
26:39Şimdi birinci eşitlikte şöyle oluyor.
26:41Beşte yirmi sadeleşse üstlerinde dört kalıyor.
26:44A çarpı dördüncü dereceden kökte a üzeri dört.
26:48İkincide dörtle yirmi sadeleşse a çarpı beşinci dereceden kökte a üzeri beş.
26:55Eşittir iki üzeri on bir çarpı yirmi.
26:58Yani iki yüz yirmi eşit değil mi?
27:00Şimdi bu dördü tekrar üzerlerine dağıtalım.
27:03Çünkü dört hem a'nın dördüncü kuvveti oluyor.
27:06Hem de dördüncü dereceden kökte a'nın dördüncü kuvveti oluyor ki o zaman kökler birbirini yer.
27:12Yani a olarak dışarıya çıkar bu sayı.
27:15İkinci parantezi de açıyorum.
27:17Beş hem a'nın beşinci kuvveti hem de beşinci dereceden kökte a'nın beşinci kuvveti ki yine kökler birbirini yedi.
27:25Yani bu içerideki de dışarıya a olarak çıktı.
27:28Eşittir iki üzeri iki yüz yirmiye.
27:31E biz şimdi şunu biliyoruz.
27:33Tabanları aynı çarpma halindeyken üstleri toplanıyor.
27:36Yani a üzeri dört beş daha dokuz bir daha on bir daha on bir oldu.
27:42Eşittir iki üzeri iki yüz yirmi.
27:44Hatta on birle de iki yüz yirmiyi sadeleştirirsek ne kalacak?
27:48Yirmi kalacak.
27:49O zaman a sayısı iki üzeri yirmiye eşittir sonucuna ulaşabileceğiz sevgili arkadaşlarım.
27:58Onuncu sorumuz da böyleydi efendim.
28:01Şimdi bir kuralımız daha var.
28:04Bu kural iki kare farkı kuralı.
28:07Şimdi iki kare farkı kuralı normalde bir özdeşik kuralıdır.
28:10Ama köklü sayı içerisinde de kullanıldığı için köklü sayıda da biz bu kuralı göreceğiz efendim.
28:15Şimdi kural neymiş?
28:16a'nın karesi ile b'nin karesinin farkı.
28:19Yani iki tane kareli terimin farkı şöyle de gösterilebiliyor.
28:24Bir a eksi b yani bir birinciden ikinciyi çıkartacağız.
28:27Bir de birinciyle ikinciyi toplayacağız.
28:29Bunların çarpımı şeklinde gösterilebiliyor.
28:31Yani mesela bize örnek veriyorum.
28:34x kare eksi seksen bir dedi diyelim ki.
28:37Biz biliyoruz ki x kare eksi'nin karesi.
28:40Seksen bir ile dokuzun karesi.
28:42Yani iki tane kareli terimin farkı oldu.
28:43E bunun özdeşi de o zaman bir birbirinden çıkartacağım bir de birbiriyle toplayacağım şeklinde gösterilebilir.
28:51Yani x eksi dokuz x artı dokuz şeklinde gösterilebiliyordu.
28:56Şimdi efendim gelelim bununla ilgili örneklere.
28:59Mesela on birinci sorumuz şöyle gelmiş.
29:03Beşinci derecen kökte iki ifadenin çarpımı var.
29:06Şimdi biz önceki kuralda şöyle bir şey gördük.
29:10Kök dereceleri eşit ve çarpımı halindelerse eğer biz bunları ortak köke alıp çarpabiliriz diyorduk.
29:16Yani dört kökü üç eksi altı çarpı dört kökü üç artı altı şeklinde gösterebilirim.
29:24E peki bu parantezin içindeki ifade.
29:25Bir eksili bir artılı olduğuna göre o zaman iki kare farkı olmadı mı bu da?
29:32Yani ben bunu o zaman şöyle yazamaz mıyım?
29:35Birincinin karesi eksi ikincinin karesi şeklinde yazabilirim değil mi?
29:40Yani şöyle olur.
29:42Beşinci derecen kökte dördün karesi on altı, kökü üçün karesi üç eksi altının karesi otuz altı oluyor.
29:51Yani bu da beşinci derecen kökte on altı ile üçü çarptık kırk sekiz eksi otuz altı.
29:57E kırk sekizden otuz altı çıktık on iki kaldı.
30:00Ve on iki sayısı hiçbir şeyin beşinci kuvveti olmadığına göre o zaman sonuç da böyle kaldı.
30:06Yani beşinci derecen kökte on iki olarak sonucunu bulmuş olduk arkadaşlar.
30:10Gelelim efendim bir sonraki örneğimize.
30:17Kök beş eksi bir üzeri on çarpı kök beş artı bir üzeri on bir demiş.
30:22Ah bunun üstte eşit olsaydı mesela ikisi de on olsaydı ortak üste alabiliyorduk değil mi?
30:27Ama biri on bir.
30:28O zaman o on biri şöyle parçalayabilir miyim?
30:32Kök beş eksi bir üzeri on çarpı bu sayıyı kök beş artı bir üzeri on çarpı kök beş artı bir.
30:40Olarak iki parça ayırsam.
30:44Çünkü nasıl çabanların çarpım halindeyken üstlerini toplardım on bir olurdu.
30:49Ama ben ayırdım.
30:50Ayırmamdaki amaç ne?
30:52Yandaki ile üstlerini aynı yapabilmek.
30:55Üstlerini aynı yaparsam çünkü çarpım halinde olduklarına göre ortak üste alabilirim.
30:59Alayım hatta kök beş eksi bir kök beş artı bir oluyor ortak üste.
31:08İçerisi o zaman iki kare farkı oldu değil mi?
31:11Yani biz bunu şöyle yazarız.
31:13Birincinin karesi eksi ikincinin karesi şeklinde yazabiliriz.
31:18Dolayısıyla kök beşin karesi beş çıkar.
31:21Beşten bir çıkartırsak dört.
31:25Üzeri on çarpı kök beş artı bir kalır.
31:29İşlemin sonucu efendim.
31:31En fazla olur parantez dağıtabilirsiniz ama
31:33Ölseme şıklarını genellikle böyle bir soruda parantezin dağıtılmış halini istemeyecek bizden.
31:39Tam da bu şekilde isteyecek cevabını.
31:46Ve efendim yedinci kuralımız geliyor.
31:50Eşlenek kuralı.
31:52Şimdi eşlenek kuralının mantığı şu arkadaşlarım.
31:56Diyor ki rasyonel bir ifade verildiği zaman
31:58mesela on bölü kök ikiye.
32:00Bu ifade verildiği zaman diyor
32:02bir kesrin paydası hiçbir zaman köklü sayı olarak kalmamalı.
32:07Biz bunu öyle bir sayıla genişletmeliyiz ki
32:10bunu payda kökten kurtulsun.
32:13İşte paydayı kökten kurtaracak değere
32:15bu ifadenin eşleniği adı veriliyor.
32:18Peki kök iki gibi bir ifadenin eşleniği nedir diye sorsalar
32:21yine kendisidir.
32:23Yani kök ağının eşleniği yine kök ağ.
32:25Ama kök ağ eksi b sayısının eşleniği ise
32:28iki kare farkına göre
32:30ortasındaki işareti ters olanıdır.
32:33Benzer şekilde kök ağ artı b'nin eşleniği de
32:36kök ağ eksi b olacak.
32:37Yine ortasındaki işareti ters olanı olacak.
32:40O zaman biz bu kök ikinin eşleniği yine kök ikidir diyebiliriz.
32:45O zaman yapalım.
32:45Şimdi onla kök ikiyi çarpsam on kök iki oluyor.
32:50Peki kök ikiyle kök ikiyi çarptığımız zaman
32:52şöyle olur değil mi?
32:54Kök ikinin karesi olur.
32:56Ki o zaman kökle kare birbirini yer.
32:59İki olarak dışarıya çıkar.
33:01Ve gördüğümüz gibi paydayı tam sayı yapabildik.
33:04İkiyle de on sardesse
33:05beş kök iki sonucunu elde etmiş olacağız sevgili arkadaşlarım.
33:14Gördüğümüz gibi hani paydayı ne yaptık?
33:16Kökten kurtarmış olduk eşlenek sayesinde.
33:19Şimdi bunu örnekler üzerinden pekiştirelim.
33:23On üçüncü örnek efendim.
33:25On iki bölü kök üç demiş.
33:27Şimdi bu kök üçün eşleniği nedir diye sorsalar
33:30nedir acaba?
33:31Doğru söylediniz.
33:34Kök üç.
33:34Yine kendisi.
33:35Peki kök üç eksi birinin eşleniği
33:37iki kare farkına göre ortasındaki işareti ters olanıydı.
33:42Yani kök üç artı birdi bunun eşleniği de.
33:45O zaman şimdi işlemi yapabiliriz.
33:47On ikiyle kök üçü çarptık.
33:48On iki kök üç.
33:50Kök üçle kök üçü çarptım.
33:52Kök üçün karesi oldu.
33:55Eksi.
33:56Dört ile kök üç artı biri çarpacağım.
34:00Bölü.
34:00Aşağısı da kök üç eksi bir çarpı kök üç artı bir oluyor değil mi?
34:08E şimdi işleme devam edeyim.
34:10On iki kök üç bölü.
34:12Kök üçün karesini aldığımızda kökle kare birbirini yiyor.
34:15Üç çıkıyor.
34:17Eksi dört çarpı kök üç artı bir.
34:20E bunun paydası da o zaman iki kare farkı oldu.
34:23Yani birincinin karesi eksi ikincinin karesi oldu.
34:27Hatta kökle kare de birbirini yese, üçten bir çıkarsak paydası iki mi kaldı?
34:33Bu sağdaki kesrin.
34:34Paydası iki.
34:38E o zaman artık şunu yapayım.
34:40Üç ile on ikisi adres ise dört kök üç.
34:43E iki ile dört sade edilse eksi iki çarpı kök üç artı bir kaldı.
34:48Hatta parantezi de alsak.
34:52Eksi iki ile kök üçü çarptım.
34:54Eksi iki kök üç.
34:56Eksi iki ile biri çarptım.
34:59Eksi iki oldu.
35:01Ve bu da neye eşit oldu dostlar?
35:02Dört tane kök üçten iki tane kök üç çıkartırsam iki tane kök üç eksi ikiye eşit oldu o zaman sonucu.
35:10Denebilir dostlarım.
35:13Eşlenek dediğimiz gibi paydayı tam sayı yapan değerdi.
35:17Değerdi.
35:19On dördüncü soru gene bir eşlenek sorusu.
35:22Kök on dört bölü kök on dört eksi kök on üç eksi kök on üç bölü kök on dört artı kök on üç.
35:33Hemen girişelim o zaman değil mi soruya?
35:36Şimdi birincinin eşleniği kök on dört eksi kök on üçün yani eşleniği ortasındaki işareti ters olanıydı.
35:43Kök on dört artı kök on üç o zaman.
35:45E bunun eşleniği de ortasındaki işareti ters olanı.
35:49O zaman bu da kök on dört eksi kök on üç olacak eşlenek değil mi?
35:53Aslında paydalar da eşlenmiş oluyor.
35:54Şimdi o zaman kök on dört ile kök on dört artı kök on üçü çarpacağım eksi.
36:03Kök on üç ile kök on dört artı eksi pardon kök on üçü çarpacağım.
36:08Ve bizim ortak paydamız şu oluyor.
36:11Kök on dört eksi kök on üç çarpı kök on dört artı kök on üç oluyor.
36:17Şimdi yukarıdan başlayalım parantezleri dağıtmaya dostlar.
36:23Kök on dört ile kök on dördü çarparsam kök on dördün karesi yani on dört çıkacak.
36:30Kök on dört ile kök on üçü çarparsam kök üçüne on dört çarpı on üç diyeyim buna.
36:35Birazdan çarparız.
36:38Eksi kök on üç ile kök on dördü çarpsam eksi kök on dört çarpı on üç olacak.
36:43Bu da tamam.
36:45Eksi kök on üç ile eksik kök on üçü çarparsam eksil eksilin çarpımı artı kök on üç ile kök on üçü çarpsam kök on üçün karesi yani on üç çıkmış olacak.
36:56Böylelikle bakın yukarıda şunlar birbirini yediler.
37:00Aşağı gelelim.
37:01E aşağısı da iki kare farkı oldu değil mi?
37:03Yani birincinin karesi eksi ikincinin karesi oldu.
37:09E şunu da biliyoruz kökle kareler birbirini yediler değil mi?
37:13O zaman aşağıda on dört eksi on üç kaldı.
37:16E yukarıda ne kaldı?
37:18On dört artı on üç kaldı.
37:21Yani yukarısı yirmi yediyken aşağısı on dörtten on üç çıksak bir oluyor ki biz senin bire bölümü hep kendisidir deyip cevabına yirmi yediyi yapıştırabiliyoruz arkadaşlarım.
37:33Evet efendim şimdi gelelim yeni konu başlığımıza yeni bölümümüze.
37:42Hemen başlayacağız.
37:45İzlediğiniz için teşekkür ederim.
İlk yorumu siz yapın