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OBA 2025 - QUESTÃO 3 - PROVA NÍVEL 4

Questão 3) (1 ponto) A Terceira Lei de Kepler afirma que o quadrado do período P de revolução de
um planeta de massa m ao redor do Sol é diretamente proporcional ao cubo de sua distância r do
planeta ao Sol, segundo a equação:

Como a massa de qualquer planeta do Sistema Solar é muito menor
do que a massa do Sol (mplaneta ..MSol), ela pode ser desprezada
na equação. Além disso, se o período P for medido em anos
terrestres e a distância r ao Sol for medida em Unidades
Astronômicas (UA), que é a distância média da Terra ao Sol, então
essa equação ficará simplesmente:

Suponha que o recém descoberto Planeta OBA esteja a uma
distância ao Sol 100 vezes maior do que a distância da Terra ao
Sol, como mostrado na figura a seguir, fora de escala.
Sendo assim, assinale a opção que traz o período de revolução do Planeta OBA em torno do Sol.
a) ( ) 100 anos. Registre aqui as contas da resolução da Questão 3.
b) ( ) 316 anos.
c) ( ) 1.000 anos.
d) ( ) 3.162 anos.
e) ( ) 10.000 anos.

Neste vídeo, resolvemos passo a passo a Questão 3 da OBA (Olímpiada Brasileira de Astronomia e Astronáutica) - Nível 4, prova destinada aos alunos do 1º ao 3º ano do ensino médio.

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Transcrição
00:00Bem, pessoal, vamos resolver agora a questão 3 da prova de 2025, a prova da UBA, nível 4.
00:09Então, vamos resolver a questão.
00:14A questão diz o seguinte, a terceira lei de Kepp afirma que o quadrado do período de revolução de um planeta de massa m ao redor do Sol
00:23é diretamente proporcional ao cubo de sua distância r do planeta, segundo a equação.
00:28Aí ele dá a equação aqui.
00:31Como a massa de qualquer planeta no sistema solar é muito menor do que a massa do Sol,
00:36ou seja, planeta muito menor que a massa do Sol, ela pode ser desprezada na equação.
00:41Além disso, se o período T for medida em anos terrestres e a distância r ao redor do Sol for medida em unidades astronômicas,
00:51que é a distância média da Terra ao Sol, então essa equação ficará simplesmente p² igual a r ao cubo.
01:04Suponha que o recém-descoberto planeta UBA esteja a uma distância ao Sol 100 vezes maior do que a distância da Terra ao Sol,
01:13como mostrado na figura a seguir fora de escala.
01:17Sendo assim, assinale a opção que traz o período de revolução no planeta UBA em torno do Sol.
01:25Ele está dizendo que tem um planeta que foi descoberto, está supondo aqui, chamado UBA,
01:31que está a 100 unidades astronômicas do Sol.
01:34Uma unidade astronômica, pessoal, é a distância Terra ao Sol.
01:37Ele está dizendo que esse planeta está a 100 unidades astronômicas.
01:41Então vamos lá, ele deu a fórmula de Kepler aqui, onde se a gente for olhar para a fórmula mais antiga,
01:52tudo isso aqui é o famoso, pode ser igual a isso aqui, né?
01:56É o K vezes o R ao cubo.
02:00Toda essa expressão aqui é o K, certo?
02:04Em unidade astronômica, o K é igual a 1.
02:07Se a gente for olhar em unidade astronômica, eu vou botar a distância em unidade astronômica,
02:13o K é igual a 1.
02:14Beleza?
02:15É o que ele está dizendo aqui, por isso que só sobrou o R ao cubo.
02:19Agora vamos lá calcular o que ele está dizendo.
02:24Então, nesse caso aqui, a gente vai utilizar a segunda fórmula, né?
02:28Porque ele está dando em unidade astronômica e aqui o período em anos.
02:37Então, se está em unidade astronômica aqui em anos, o K vai ser igual a 1.
02:41Então, usando essa fórmula que ele deu, que o período ao quadrado é igual ao K,
02:48igual a 1,
02:49igual a 1 vezes o R ao cubo, ou seja, R ao cubo.
03:00Assim, o período, se a gente for fazer aqui,
03:03tirar a raiz quadrada disso,
03:05então, a gente tem que o período é a raiz de R à terceira, correto?
03:11Agora é fácil, né, a gente encontrar, porque
03:15basta a gente encontrar, o R foi dado quem?
03:20O R aqui, na questão, foi dado que foi 100 unidade astronômica.
03:25Foi o do planeta Uba.
03:29Certo?
03:31Então, basta a gente só substituir aqui na fórmula de Keper.
03:35Em vez de colocar o R, coloca o 100.
03:37100 elevado a quanto?
03:39100 elevado a 3.
03:41Beleza?
03:43E aí, agora, é só uma questão de matemática.
03:46Lembrando que a raiz quadrada aqui tem sempre um 2, né?
03:49Então, fazendo essa conta,
03:52a gente pode encontrar que
03:54a gente pode deixar em termos de 10.
04:04Se a gente deixar em termos de 10,
04:0710, faz isso aqui, ó.
04:0910 elevado a 2 dá 100,
04:11e isso aqui elevado a 3.
04:14Correto?
04:18Então, o que a gente pode fazer
04:20é que, como vai ser dividido,
04:25isso aqui vai dar,
04:27é o mesmo que 10 elevado a 6.
04:31Correto?
04:32Se a gente colocou aqui 10 elevado a 2,
04:34que vai dar o 100,
04:35e agora 2 vezes 3 vai dar 6.
04:39Só que, quando você tira a raiz disso,
04:42você vai cortar o expoente.
04:44Você vai cortar o 2 daqui,
04:45dividido por 2 aqui.
04:48Você vai tirar a raiz disso,
04:49então, você vai ficar aqui 10 a 3.
04:51O que a gente poderia fazer,
04:54ou seja,
04:55tirando a raiz disso, dá 10 a 3.
04:57Correto?
04:58E 10 a 3 é o quê?
04:591.000 anos,
05:02que aqui vai estar em anos.
05:07Então,
05:08esse é o período de 1.000 anos.
05:12Então, a resposta correta aqui
05:14para essa questão é a letra C.
05:171.000 anos.
05:20Então, é isso, pessoal.
05:22Nessa questão aqui,
05:23a gente resolveu ela.
05:25É a terceira questão
05:27da prova da UBA,
05:28nível 4,
05:30referente ao ensino médio,
05:31de 2025.
05:33É isso, pessoal.
05:34Até o próximo vídeo.
05:35E aí
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