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00:00On rigole, on rigole, mais dites-vous qu'il existe une unique mesure positive définie sur les borréliens, invariant par translation et valant 1 sur l'hypercubunité.
00:07Oui, oui, je parle bien de la mesure de Lebeg. Allez, bouge page, je t'explique tout ce charabia.
00:11Premier point, la mesure de Lebeg est une mesure qui est définie sur les borréliens et qui est à valeur dans les réels positifs.
00:16Une mesure, c'est une application qui est définie sur un espace mesurable, c'est-à-dire un ensemble muni d'une tribu sur cet ensemble.
00:22Et ici, on parle de l'espace topologique classique Rn muni de la tribu borrélienne, c'est-à-dire la tribu qui est engendrée par les ouverts de Rn.
00:30Et la mesure vérifie ces deux propriétés. La mesure de vide vaut 0 et la mesure d'une union disjointe d'ensemble est égale à la somme éventuellement infinie de la mesure de chacun de ces ensembles.
00:40La propriété d'invariance par translation quant à elle signifie que si je prends n'importe quel vecteur de Rn et n'importe quel borélien,
00:46la mesure de A plus B, donc je prends tous les éléments de B, je leur ajoute A, ça me forme un ensemble.
00:51La mesure de cet ensemble-là est tout simplement égale à la mesure de B.
00:54Ceci est valide pour tout A et pour tout B. C'est ça l'invariance par translation.
00:59Et enfin, la mesure de l'hypercube unité vaut 1.
01:02Ce que j'appelle l'hypercube unité, c'est tout simplement le produit cartésien de l'intervalle 0,1 par lui-même, n fois.
01:08Promets-moi que tu n'oublieras surtout pas ça. Bisous !