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ÉducationTranscription
00:00 On va procéder à la correction de l'exercice 1, c'est un sujet d'entraînement.
00:06 Ce sont des exercices sur les variables aléatoires.
00:09 Trois exercices.
00:10 Le premier, c'est vraiment application directe du cours.
00:13 Le deuxième, c'est un exercice de mise en situation.
00:16 Et le troisième, c'était le sujet du devoir commun de l'année 2023.
00:20 Dans cette vidéo, on va corriger l'exercice 1 pour voir si le cours est appris.
00:26 On considère une variable aléatoire grand X dont on a la loi de probabilité incomplète ci-dessous.
00:33 Une variable aléatoire grand X a X i, ce sont les valeurs prises par la variable aléatoire grand X.
00:40 Cette variable aléatoire prend les valeurs -2, 0, 1 et 10.
00:45 Et la probabilité que grand X soit égal à X i, c'est la probabilité associée à chaque valeur que prend la variable aléatoire grand X.
00:54 On vous dit "Question 1"
00:56 Quelle est la probabilité que grand X, notre variable aléatoire, prenne la valeur -2 ?
01:01 On regarde la probabilité que grand X soit égal à -2.
01:05 Là, X i vaut -2.
01:07 Et la probabilité associée à l'année en dessous, c'est 0,5.
01:11 Donc, "Question 1"
01:12 La probabilité que grand X soit égal à -2 est de 0,5.
01:20 Ensuite, on vous dit "Quelle est la probabilité que la variable aléatoire grand X soit égal à 10 ? Justifiez"
01:26 C'est la case qu'il y a ici.
01:28 On a toutes les valeurs prises par X.
01:31 Toutes les valeurs prises par X sont -2, 0, 1 et 10.
01:34 Et en dessous, on a toutes les probabilités.
01:36 Et on sait que lorsqu'on additionne toutes les probabilités, on doit toujours obtenir 1.
01:42 "Question 2"
01:44 Il fallait écrire "Question 2"
01:46 Ce que j'attends sur le copiant, c'est que la probabilité que grand X soit égal à -2
01:51 + la probabilité que grand X prenne la valeur 0
01:54 + la probabilité que grand X prenne la valeur 1
01:57 + la probabilité que grand X prenne la valeur 10
02:00 Ça, ça doit être égal à 1.
02:02 Parce que là, on a toutes les valeurs prises par la variable aléatoire grand X.
02:06 Donc, ça signifie que 0,5 + 0,15 + 0,10
02:12 + la probabilité que grand X soit égal à 10 est égal à 1.
02:17 Si j'additionne tout ça, 0,5 + 0,15 + 0,10 ça donne 0,75
02:23 + la probabilité que grand X soit égal à 10, c'est 1.
02:27 Et donc, pour une soustraction, -0,75 à gauche, -0,75 à droite.
02:31 Donc, la probabilité que grand X soit égal à 10, c'est 1 - 0,75
02:36 Donc, la probabilité que grand X prenne la valeur 10, c'est égal à 0,25.
02:41 Et là, on a tout détaillé. Parfait !
02:44 Donc, la case ici, c'était 0,25.
02:48 Crotte, j'ai fait une petite erreur. Non, non, pardon.
03:00 La P2X = 1, c'était 0,20.
03:03 Donc là, ça donne 0,85. 1 - 0,85. Et donc, 0,15.
03:10 Attention, là, je me suis planté.
03:12 Donc, il ne faut pas aller trop vite.
03:14 Donc, la probabilité que grand X soit égal à 10, c'était 0,15.
03:18 On vérifie. 0,15 + 0,15 = 0,30. 0,30 + 0,20 = 0,50.
03:23 Et 0,50 + 0,50, ça donne bien.
03:25 Donc, voilà pour la question 1 et la question 2.
03:28 Ensuite, question 3.
03:32 On nous demande de déterminer la probabilité que grand X soit strictement plus grand que 0.
03:38 Donc, quelle est la probabilité que grand X prenne des valeurs strictement plus grandes que 0 ?
03:42 Donc, question 3.
03:43 La probabilité que grand X prenne des valeurs plus grandes que 0.
03:47 Quelles sont les valeurs plus grandes que 0 que X prend ?
03:51 Donc, si X prend des valeurs strictement positives,
03:54 les seules valeurs qui sont strictement positives, c'est 1 et 10.
03:58 Donc, la probabilité que grand X soit strictement plus grand que 0,
04:01 c'est la probabilité que grand X soit égal à 1,
04:04 plus la probabilité que grand X prenne la valeur 10.
04:07 Là, 0 on ne prend pas, parce que ce n'est pas supérieur ou égal,
04:10 c'est strictement plus grand que 0.
04:12 Donc, c'est la probabilité que grand X soit égal à 1,
04:14 plus la probabilité que grand X soit égal à 10.
04:16 Ce qui donne donc 0,20 + 0,15.
04:20 Ce qui donne donc 0,35.
04:24 Donc, ça signifie que la probabilité que la valeur prise par X soit strictement plus grande que 0,
04:29 est donc de 0,35.
04:31 Ok.
04:33 Question 4.
04:34 Calculez l'espérance de X notée de X.
04:37 Donc, l'espérance, c'est la valeur moyenne prise par X.
04:41 Donc, si on regarde, les valeurs prises par X,
04:43 ce sont là, dans cette ligne ici, les valeurs prises par X.
04:46 Donc, c'est -2, 0, 1 et 10.
04:48 Donc là, on a vu 0,15.
04:50 Et si on regarde à vue d'œil,
04:53 la valeur -2, une probabilité de 0,50,
04:55 c'est-à-dire dans 50% des cas, on obtient la valeur -2.
05:00 Dans 15% des cas, on obtient la valeur 0.
05:03 Dans 20% des cas, on obtient la valeur 1.
05:05 Et dans 15% des cas, on obtient la valeur 10.
05:08 Donc, si on fait la moyenne,
05:10 c'est-à-dire qu'on fait plein de fois l'expérience aléatoire,
05:13 et on regarde la moyenne,
05:15 la valeur moyenne obtenue,
05:17 on constate que dans 50% des cas, ce sera -2.
05:20 Là, on est à peu près à 20%.
05:22 Donc, on constate,
05:24 je pense que la valeur moyenne prise par toutes les valeurs,
05:27 va être assez proche de 0.
05:30 Bon, allez, 10, donc 15% des cas,
05:33 mais comme dans 50% des cas, j'obtiens -2,
05:36 je m'attends à une valeur moyenne assez proche de 0.
05:40 Alors, on va calculer l'espérance,
05:43 donc la valeur moyenne,
05:45 donc propriété du cours,
05:47 l'espérance, 2 de x,
05:49 c'est donc égal,
05:51 on prend la première colonne,
05:53 on effectue -2 fois sa probabilité,
05:55 x 0,5, donc c'est -2 x 0,5,
05:58 plus,
06:00 votre valeur 0,
06:02 fois sa probabilité 0,15,
06:04 donc +0 x 0,15,
06:06 plus,
06:08 1 x 0,20,
06:11 et plus, la valeur prise,
06:15 10 x 0,15.
06:17 Ce qui donne donc -2 x 1,
06:23 donc ça donne 1 + 0,
06:25 plus 0,20,
06:28 plus,
06:30 pardon, -2 x 0,5, c'est -20,
06:33 plus 10 x 0,15,
06:35 1,5,
06:37 et ce qui donne donc -1 + 1,5,
06:40 0,5, donc ce qui donne 0,70.
06:43 Donc attention, l'espérance,
06:45 ce n'est pas une probabilité.
06:47 Attention, ce n'est pas une probabilité,
06:49 c'est la valeur moyenne,
06:51 donc c'est-à-dire qu'en moyenne,
06:53 si on prend au nombre de fois cette expérience aléatoire,
06:55 la valeur qui sortira,
06:57 la valeur moyenne qui va sortir,
06:59 ça va être une valeur de 0,7.
07:01 Donc c'est cohérent qu'on trouve une valeur ici.
07:04 Donc ça signifie qu'en moyenne,
07:07 bon allez, je vais réécrire autrement,
07:18 la valeur moyenne
07:21 prise par la variabilatoire grand X
07:26 est 0,70.
07:28 Donc attention, ce n'est pas une probabilité,
07:30 c'est une valeur moyenne.
07:32 Donc la valeur moyenne prise par grand X est 0,70.
07:34 Ok.
07:36 Ensuite, question 5.
07:38 On vous demande de calculer la variance de X,
07:40 noté V(X),
07:42 puis en déduire la valeur de l'écart type.
07:44 Donc la variance,
07:46 c'est l'écart des valeurs prises
07:48 par rapport à la moyenne.
07:50 Donc c'est l'écart par rapport à la moyenne.
07:52 Plus la variance est grande,
07:54 plus les valeurs sont dispersées par rapport à la moyenne.
07:56 Et plus la variance est petite,
07:59 et plus les valeurs prises par X
08:01 seront autour de la moyenne.
08:03 Alors la variance, on y va,
08:05 c'est l'écart par rapport à la moyenne.
08:07 La variance de X,
08:09 on prend la première valeur prise,
08:11 donc c'est -2,
08:13 et on soustrait l'espérance.
08:15 Donc c'est -2 moins,
08:17 et c'est l'espérance de X.
08:19 La variance, c'est l'écart au carré
08:21 par rapport à l'espérance, donc -
08:23 et l'espérance,
08:25 c'est 0, donc -0,70.
08:28 Le tout au carré,
08:32 donc la variance, c'est l'écart par rapport au carré,
08:34 fois, et la probabilité de la valeur -2,
08:36 0,5.
08:38 Ensuite, plus,
08:40 parenthèse, on prend la deuxième valeur,
08:42 donc la deuxième valeur, c'est 0,
08:44 et on soustrait -
08:46 et je soustrais l'espérance, qui est de 0,70,
08:48 donc -0,70,
08:50 au carré,
08:52 multiplié par la probabilité de la valeur 0,
08:54 0,15.
08:56 Plus, on ouvre une parenthèse,
09:00 on prend la troisième valeur prise par X,
09:02 donc c'est 1,
09:04 auquel on soustrait l'espérance,
09:06 donc l'espérance, c'est 0,70,
09:08 le tout au carré,
09:10 multiplié par la probabilité,
09:12 0,20.
09:14 Et enfin, on termine, si ça veut bien,
09:16 par plus,
09:18 on prend la dernière valeur prise par X,
09:20 c'est 10,
09:22 donc 10, auquel on soustrait la valeur moyenne,
09:24 l'espérance, donc 0,70,
09:26 le tout au carré,
09:28 fois, on multiplie par 0,15.
09:30 Bon, au contrôle, vous me détaillez,
09:32 voilà, on écrit tout ça,
09:34 et on a,
09:36 on a,
09:38 on a,
09:40 on a,
09:42 voilà, on écrit tout ça,
09:44 et ensuite on prend la calculatrice,
09:46 et je pense que ça va être une valeur rapprochée,
09:48 bon, on va voir, pour l'instant je ne mets pas signe égal,
09:50 on prend tout ça, et on tape tout ça
09:52 à la calculatrice.
09:54 Donc, hop, c'est parti, donc il faut bien
09:56 mettre les parenthèses, le tout au carré,
09:58 et normalement il n'y aura aucun souci.
10:00 Donc j'essaie de vous montrer, hop,
10:02 donc on va mettre en grand écran,
10:04 c'est parti,
10:06 calcul, et ça, je vais le mettre
10:08 en petit, là,
10:10 et ça, en petit,
10:12 ici,
10:14 voilà, hop, je vais un peu
10:16 dézoomer, et comme ça,
10:18 on va pouvoir bien voir.
10:20 Donc c'est parti, donc parenthèse,
10:22 tac, donc on va mettre
10:24 comme ça au contrôle, donc -2,
10:26 -0,
10:28 70,
10:30 donc sur la calculatrice c'est un point, la virgule,
10:32 hop, attention,
10:34 le tout au carré,
10:38 hop, multiplié
10:40 par 0.5,
10:44 0.5+,
10:46 ensuite parenthèse,
10:48 0-0.70,
10:52 hop, le tout
10:54 au carré,
10:56 multiplié par
10:58 0.15,
11:00 il faut vraiment y aller doucement,
11:02 sans faire de fautes,
11:04 + parenthèse,
11:06 1-0.70,
11:10 le tout au carré,
11:14 tac,
11:16 multiplié par
11:18 0.20,
11:22 + parenthèse,
11:26 10-0.70,
11:30 le tout au carré,
11:32 multiplié par,
11:34 attention c'est en bas,
11:36 par 0.15,
11:38 donc il faut bien taper,
11:40 tranquillement, et hop,
11:42 ah bah ça tombe juste,
11:44 la variance exacte c'est donc
11:46 16.71,
11:50 et voilà,
11:56 donc la variance, c'est ce nombre là,
11:58 et on vous demande ensuite
12:00 en déduire la valeur de l'écart type,
12:02 donc l'écart type,
12:04 c'est la définition du cours,
12:06 donc c'est sigma de x,
12:08 c'est égal, il faut connaître,
12:10 c'est la racine carrée de la variance,
12:12 donc c'est la racine carrée de 16.71,
12:16 donc ça c'est la valeur exacte,
12:18 si on vous demande la valeur exacte,
12:20 c'est ça, valeur exacte,
12:22 et si on veut une valeur approchée,
12:24 allez on va dire une valeur approchée
12:26 au dixième près,
12:28 donc environ,
12:30 rapproché au dixième près,
12:32 là c'était pas demandé à combien,
12:34 donc l'écart type, on s'arrête là,
12:36 c'est ça la valeur exacte,
12:38 et si on vous demande une valeur approchée au dixième près,
12:40 on y va, calculatrice,
12:42 donc racine carrée de 16.71,
12:46 et comme on veut au dixième près,
12:50 dixième c'est un chiffre après la virgule,
12:52 donc 4,0, mais après le 0 j'ai un 8,
12:54 donc j'ai un 1,0 supérieur,
12:56 donc c'est environ 4,1 au dixième près,
12:58 donc environ 4,1 au dixième près.
13:04 Et on passe à la question 6,
13:18 on vous dit, on considère une variable aléatoire Y,
13:22 et la variable aléatoire Y,
13:24 elle est définie de la façon suivante,
13:26 la variable aléatoire X + 8,
13:28 on vous demande de calculer l'espérance et la variance de Y,
13:31 en utilisant les propriétés du cours,
13:33 alors on a vu deux propriétés dans le cours,
13:35 il y a la linéarité de l'espérance,
13:37 linéarité de l'espérance,
13:41 donc ça signifie l'inégarité de l'espérance,
13:45 si A est un nombre réel,
13:47 et B est un nombre réel,
13:49 alors on a que l'espérance de A,
13:52 fois une variable aléatoire X + B,
13:55 l'espérance de AX + B,
13:59 on l'a vu dans le cours, c'est A fois l'espérance de X,
14:03 plus le petit B.
14:05 Et il y a la propriété de la variance,
14:08 bon, qui n'a pas de nom,
14:10 la propriété de la variance, c'est que la variance de AX + B,
14:14 c'est donc égal à A² fois la variance de X.
14:19 Donc ici, on veut l'espérance et la variance de Y,
14:24 donc sur une copie, on y va doucement,
14:26 on veut l'espérance de Y,
14:28 donc l'espérance de la variable aléatoire Y,
14:30 c'est égal à l'espérance,
14:32 et Y, on va doucement,
14:34 Y c'est égal à -5X + 8,
14:36 donc c'est -5 fois la variable aléatoire X + 8.
14:40 Et donc si on applique la propriété de l'inégarité de l'espérance,
14:44 on identifie le A, c'est ce qui multiplie X,
14:47 c'est -5, plus, j'ai bien le plus,
14:49 c'est le B, c'est 8,
14:51 donc là, le B ici, c'est 8.
14:53 Donc A, c'est -5, B c'est 8,
14:55 donc par l'inégarité de l'espérance,
14:57 l'espérance de -5X + 8,
14:59 ça va être donc -5 fois l'espérance de X,
15:03 plus le B vaut 8, plus 8.
15:06 Ce qui donne donc -5 fois,
15:10 alors là, attention à ne pas confondre grand X à un fois,
15:13 donc là, attention, ça c'est un fois,
15:15 et l'espérance de X, on l'a déjà calculé,
15:19 l'espérance de Y va avoir un bouton,
15:21 ensuite c'était 0.70,
15:22 donc ça donne -5 fois 0.70 + 8,
15:26 ce qui donne -3.5 + 8,
15:30 et ce qui donne donc 4.5.
15:32 Donc l'espérance de la variable aléatoire Y,
15:34 c'est donc 4.5.
15:36 Et ensuite, on va vous demander la variance de Y,
15:42 donc la variance de Y,
15:44 hop, je veux la variance de Y,
15:46 donc c'est la variance de Y,
15:48 on y va doucement,
15:50 c'est égal à -5 grand X + 8,
15:52 -5 grand X + 8,
15:54 et donc d'après la propriété de la variance,
15:57 la variance de AX + B, c'est A² fois la variance de X.
16:00 Donc là le A, c'est -5, le B c'est 8,
16:03 on voit bien qu'il n'intervient pas après,
16:05 donc là le A vaut -5,
16:06 donc attention, A², ça va être -5²,
16:09 donc attention, c'est -5,
16:11 attention, le tout au carré A vaut -5,
16:13 donc A², c'est -5,
16:15 le tout au carré fois la variance de X,
16:19 et -5², -5 fois -5,
16:21 ça donne donc 25 fois la variance de X.
16:25 Or la variance de X, on l'a calculée,
16:28 on a trouvé d'après la question 5,
16:30 que c'était 16,71,
16:32 donc finalement la variance de Y,
16:34 c'est 25 fois 16,71,
16:39 là je prends la calculatrice,
16:41 25 fois 16,71,
16:47 ce qui donne 417,75,
16:50 donc 417, c'est égal à 417,75.
16:54 Et voilà.
16:56 Donc il y a deux propriétés à connaître,
16:59 l'innérité de l'espérance et la propriété de la variance.
17:02 A plus.
17:03 Aurevoir.
17:03 [Bruit de bouche]