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00:00Pourrais-tu faire une vidéo sur le théorème du point fixe ? Je ne comprends jamais rien.
00:03Alors on va expliquer ça. Le théorème du point fixe, voici l'énoncé.
00:06Et on va déjà préciser qu'il est utilisé pour pouvoir déterminer une limite.
00:11Donc attention, le but n'est pas de prouver une convergence.
00:14La convergence de la suite est déjà connue.
00:17Et ensuite, après ça, vous obtenez une info sur la limite.
00:20Et cette info vous permettra de la déterminer.
00:22Donc voici l'énoncé. Merci lycée adulte pour le site.
00:25Soit un, une suite définie par une relation un plus 1 est égale f de un qui converge vers l.
00:30Donc on sait que un converge vers l.
00:32Si la fonction associée f est continue en l, ou de manière générale continue sur son ensemble de définition,
00:38alors la limite de la suite l est solution de l'équation f de x égale x.
00:43L'information sur le fait que l est solution de cette équation qui va permettre de le calculer,
00:46puisque généralement, il n'y aura pas énormément de valeurs qui vont vérifier ce truc.
00:50Et en fait, une solution de ce type d'équation, c'est ça qu'on appelle un point fixe de la fonction f.
00:55Il se peut que la fonction f ait plusieurs points fixes.
00:57Et dans ce cas, le théorème à lui seul ne permet pas de trancher.
01:00Il dit juste que l est une solution, et donc que l est parmi les points fixes de f,
01:05et donc il faut trouver un autre critère qui permet de déterminer l et d'éliminer les autres points fixes.
01:10Mais en tout cas, ça réduit vachement les possibilités.
01:12Exemple d'application avec l'exercice 2 qui était initialement prévu en Amérique du Nord dans le sujet 2.
01:17Partie A, question 2d.
01:19Déterminer en justifiant la limite de la suite un.
01:21Donc c'est un classique de ce genre de questions.
01:23Vous voyez qu'ici, à la question B, on a déjà montré que Un est convergente.
01:27Et bien sûr, Un est défini par la relation de récurrence Un plus 1 est égale une certaine fonction de Un, donc racine de Un.
01:34Donc voici la réponse à la question sous forme rédigée de manière optimale.
01:37Je t'invite à bien la screen, et donc on la commente.
01:40Un converge d'après la question 2B, on note sa limite L.
01:43C'est ce qu'on a démontré ici.
01:45De plus, pour toute n appartenant à n, Un plus 1 est égale racine de Un, et la fonction qui a x associé racine de x est continue sur R d'après le cours.
01:54Donc, d'après le théorème du point fixe, on a que L est égale à racine de L.
01:58L est égale à f de L, f étant la fonction racine.
02:02On résout cette équation, mais je suis allé un peu vite.
02:04On peut élever au carré, donc ça nous fait L est égale L carré.
02:06Je passe du côté, je factorise et j'obtiens L égale 0 ou L égale 1.
02:09Et on a donc L est égale 1 ou L est égale à 0.
02:13Or, d'après la question 2A, j'ai que Un est supérieur ou égal à 1 pour toute n anti-naturelle.
02:18C'est ce qu'on a démontré ici par récurrence.
02:21Donc, nécessairement, L est différente de 0, et ainsi, on a que la limite de Un quand n travers plus l'infini est égale à 1.
02:27Voilà, je te laisse à nouveau regarder la correction.
02:30N'hésite pas à poser tes questions en commentaire si jamais tu en as.
02:32Bisous !