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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 16/05/2025

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Personnes
Transcription
00:00Mais qu'est-ce que ça peut bien vouloir dire le théorème de point fixe ?
00:03Le bac est dans quelques jours, sois efficace, ne scrolle pas, reste jusqu'au bout de la vidéo, like et enregistre.
00:10Je t'explique l'énoncé du théorème et un exemple sur les sujets qui sont tombés récemment.
00:14Tout d'abord, ça signifie quoi un point fixe ?
00:17Eh bien pour ça, on va commencer par considérer une fonction qui va de R dans R,
00:21c'est-à-dire qu'elle prend des valeurs réelles et renvoie des valeurs réelles,
00:24mais ça peut être un autre ensemble ici, son ensemble de définition,
00:27et un X, elle associe son image f de X.
00:29Un point fixe de f, c'est une valeur X qui vérifie que f de X est égal à X.
00:34Autrement dit, X est laissé invariant par la fonction, c'est pour ça qu'on parle de point fixe.
00:40Quand on applique f sur X, X ne bouge pas et reste X.
00:44L'ensemble des valeurs qui sont laissées invariantes, c'est l'ensemble des points fixes de la fonction.
00:48Ok, c'est bon, on est parti pour l'énoncé maintenant.
00:51Donc, que doit vérifier l'énoncé pour qu'on puisse appliquer le théorème du point fixe ?
00:56Premièrement, on doit avoir une suite qui est définie par une relation de récurrence avec cette fonction.
01:02Évidemment, la relation est vérifiée pour tout N dans N.
01:04Le premier terme U0 ou U1, ça dépend, vous sera donné dans l'énoncé,
01:08mais peu importe, il faut que la suite soit définie par cette relation de récurrence.
01:12Le deuxième point, c'est que la fonction qui intervient dans la relation de récurrence,
01:16ici pour construire le terme suivant de la suite, elle doit être continue.
01:21Comment vous savez qu'une fonction est continue ?
01:23Alors, à ce stade de l'énoncé, vous avez peut-être déjà démontré,
01:26ou alors l'énoncé a admis, que la fonction est dérivable.
01:29Si elle est dérivable, vous pouvez dire,
01:30elle est continue car dérivable d'après la question ou d'après l'énoncé.
01:34Sinon, pour justifier la continuité, vous pouvez utiliser le théorème de cours qui vous dit que
01:38toute fonction qui est fabriquée à partir d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et de composition,
01:45d'exponentiel, logarithme, polynôme, et sinus et cosinus,
01:50toutes les fonctions qui sont faites à partir de ces opérations et donc à partir des ingrédients de base que j'ai cités,
01:55ce sont des fonctions qui sont toujours continues partout où elles sont définies.
01:59Donc, une fois que vous avez l'ensemble de définition,
02:02si vous l'avez trouvé vous-même ou si l'énoncé vous l'avez donné,
02:05vous pouvez utiliser ce théorème de cours pour dire que la fonction est continue sur l'ensemble de définition.
02:11Et un point important, c'est beaucoup plus pratique que f soit continue sur tout l'ensemble où elle est définie,
02:16ce qui en terminale sera toujours le cas.
02:18Parce qu'en vrai, dans les hypothèses, il faudrait que f soit continue sur un ensemble
02:22qui contient la limite potentielle de cette suite.
02:25Mais en gros, si les valeurs de la suite sont toutes dans un ensemble
02:29et que f est continue sur un intervalle fermé qui contient l'ensemble,
02:34qui contient toutes les valeurs de la suite, c'est bon.
02:36Vous verrez dans l'exemple.
02:38Et enfin, troisième point important, la suite UN converge vers L.
02:41Très important, le théorème du plan fixe ne vous permet pas de démontrer que la suite UN converge.
02:46Vous devez déjà savoir ou avoir démontré à une question précédente que la suite UN converge.
02:51Et une fois que la suite UN converge, vous pouvez utiliser le théorème du point fixe.
02:55Et l'une des conditions, c'est que UN converge.
02:58Donc si elle converge, il y a bien un réel L tel qu'elle converge vers L.
03:02Et bien la conclusion de ce théorème, c'est que si ces conditions sont réunies,
03:06alors L est solution de l'équation f de x égale x.
03:10Autrement dit, L est nécessairement un point fixe de notre fonction f.
03:16Autrement dit, f de L est égal à L.
03:18Alors attention, on est juste en train de dire que L est une solution de cette équation.
03:24C'est-à-dire que parmi tous les gens qui vérifient ça, la limite est dedans.
03:27Mais ça ne veut pas dire qu'il n'y a que la limite qui va vérifier ça pour la fonction.
03:31Il peut très bien y avoir d'autres points fixes.
03:34Et du coup, si on vous demande de déterminer la limite,
03:36il va falloir faire un raisonnement pour exclure les autres points fixes
03:40et être capable de démontrer que c'est celui que vous voulez qui est bien la limite de notre suite.
03:45On verra ça dans l'exemple après, mais souvent, ça va jouer sur le signe,
03:49sur des appartenances d'intervalle.
03:51Et à partir de ce genre de détails, vous allez pouvoir dire
03:53« Ben non, en fait, cette valeur point fixe-là n'est pas possible pour la limite. »
03:57Ok, on est bon ? Je te laisse regarder dans l'ensemble une dernière fois et on passe à la pratique.
04:01Avec le sujet Amérique du Nord, jour 2, exercice 3, question 4 et question 5.
04:08La question 4 disait en déduisant que la suite UN est convergente.
04:12Et bien d'après la question 3, on a démontré que pour toute n, on l'a démontré par récurrence,
04:16UN est inférieur strict à UN plus 1, ce qui signifie que UN est strictement décroissante,
04:21mais qu'en plus, UN est supérieur strict à 0 et inférieur strict à 1.
04:25Autrement dit, ceci.
04:26Ce qui signifie que UN est décroissante, si elle est strictement décroissante,
04:31elle est bien décroissante, et minorée.
04:35C'est la partie ici qui nous intéresse.
04:37Et on rédige bien comme il faut.
04:39D'après 3, UN est décroissante et minorée.
04:42Donc, d'après le théorème de convergence monotone, UN converge.
04:47Voilà, c'est là qu'on montre la convergence.
04:48Assez souvent, ça va être la convergence monotone qui va vous permettre de l'établir.
04:52Et maintenant, ce qui nous intéresse un petit peu plus, la question 5.
04:55déterminer la limite L de la suite UN.
04:59Comment on fait ?
04:59Eh bien, on va vérifier une à une les hypothèses, et on va les donner.
05:03Et donc, on commence par dire UN, entre parenthèses, parce qu'on parle de la suite,
05:06est défini par la relation de récurrence.
05:09UN plus 1 est égal à G de UN pour tout N dans N.
05:13Deuxième point, G est défini et continue sur 0,1.
05:16C'est bien l'ensemble qu'on vous avait introduit dans l'énoncé.
05:19car c'est un polynôme.
05:22Et enfin, le dernier point, UN converge d'après la question 4.
05:26Et par 3, sa limite est dans 0,1 fermé.
05:30Car UN appartient à 0,1 ouvert.
05:32S'il appartient à 0,1 ouvert, il appartient fortiori à 0,1 fermé.
05:36Pour tout N entier naturel.
05:38On peut conclure, on introduit juste le petit L pour la notation de la limite.
05:42Donc, soit L, la limite de UN quand N est envers plus infini.
05:45D'après le théorème du point fixe, on a que G de L est égal à L.
05:51Soit que 2L moins L carré est égal à L.
05:54On continue en précisant qu'on va résoudre cette équation.
05:56Donc, c'est parti, on attaque.
05:58Donc, on revient à l'écriture avec des X, ça sera plus simple.
06:00G de X égale X.
06:01Et donc, l'équation devient 2X moins X carré est égal à X.
06:041G de X égale X.
06:05Je passe tout du côté droit, ce qui me donne 0 est égal à X carré moins X.
06:09Plutôt que de faire delta, on peut voir immédiatement la factorisation X facteur de X moins 1.
06:14Sinon, vous pouvez faire delta, pas de souci.
06:16Mais ça fait quand même un petit peu plus frais de voir la factorisation.
06:19Et là, on voit dans cette factorisation directe les solutions.
06:23X est égal à 0 ou X est égal à 1.
06:25Or, L, c'est un point fixe de G.
06:27Donc, L est égal à 0 ou L est égal à 1.
06:31Le théorème ne nous permet pas en soi de dire plus.
06:33On sait juste que L, c'est l'un des deux.
06:35Mais nous, on va pouvoir trancher car on sait d'après la question 3 que UN est strictement croissante.
06:41Désolé pour l'erreur d'avant.
06:43Et en plus d'être strictement croissante, elle commence à 1,5 et croît strictement.
06:48Donc, il est impossible qu'elle converge vers 0.
06:51Par déduction, on sait qu'elle va converger vers 1.
06:54Donc, on peut le rédiger comme ça.
06:55Pour toute n dans une étoile, UN est strictement supérieur à U0 qui est égal à 1,5 qui est strictement positif.
07:02Et de plus, la suite UN est strictement croissante.
07:06Donc, L est égal à 0 est impossible.
07:09Il vient que L est égal à 1 et que la limite de UN est égale à 1.
07:13CQFD, check mes autres vidéos dans la description sur mon profil pour t'aider à préparer ton bac de maths au mieux.
07:18Force à toi, la bise !

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