00:00 J'espère que les deux premières énigmes mathématiques vous ont plu.
00:02 Voici la troisième qui s'intitule "Hercule contre l'hydre".
00:05 Dans le mythe traditionnel grec, Hercule se bat contre l'hydre de Lerne.
00:11 Cet hydre a une caractéristique, c'est que quand on lui coupe une tête, les têtes repoussent.
00:15 Alors dans le mythe, Hercule se fait aider par son neveu pour brûler les têtes une à une
00:20 au fur et à mesure qu'Hercule les coupe pour qu'elles ne puissent pas repousser.
00:23 Mais on va changer un petit peu l'histoire pour en faire une énigme mathématique.
00:27 On va proposer deux règles qui régissent la manière dont les têtes repoussent ou pas.
00:31 La première, c'est quand on est dans le cas d'une tête qui est directement raccrochée au corps,
00:35 au tronc si l'on peut dire, de l'hydre. Dans ce cas, la tête ne repousse pas.
00:40 Ça c'est facile. La deuxième est un peu plus complexe.
00:43 On se situe dans le cas où une tête est accrochée non pas au corps mais à un nœud.
00:48 Si Hercule coupe une tête accrochée à un nœud, alors le nœud en question se duplique immédiatement.
00:56 Ce qui fait que ça fait beaucoup plus de têtes.
00:58 On a l'impression qu'à mesure qu'Hercule va couper les têtes, il va en apparaître une infinité.
01:04 Et qu'en somme, Hercule n'arrivera jamais à couper toutes les têtes de l'hydre.
01:08 Et pourtant, Hercule va y parvenir.
01:11 Avez-vous une bonne méthode pour aider Hercule ?
01:14 Alors, est-ce que vous avez la réponse ?
01:22 Alors la réponse a été donnée, de même que l'énoncé que je vous ai présentée,
01:26 par deux mathématiciens, Laurie Kirby et Jeff Paris en 1982.
01:30 Ce que Paris et Kirby arrivent à montrer mathématiquement, c'est que, en gros,
01:36 je vous le simplifie parce qu'évidemment ça se base sur des calculs assez complexes
01:40 qui fait apparaître la notion d'infini,
01:41 quelle que soit la manière dont Hercule coupe les têtes,
01:45 il va finir par arriver à couper toutes les têtes.
01:49 C'est-à-dire qu'il va gagner contre l'hydre sans avoir besoin d'une stratégie particulière.
01:54 Il peut y aller complètement au hasard et couper au hasard les têtes les unes après les autres.
01:58 Cela est dû au fait que, évidemment, lorsque Hercule coupe une tête accrochée au tronc,
02:02 elle ne repousse pas. Ça c'est banal.
02:04 Mais lorsqu'Hercule coupe une tête accrochée à un nœud, elle se duplique.
02:08 Et là, on a l'impression qu'il va y avoir une infinité de têtes qui vont pousser.
02:11 Et c'est vrai que pendant un certain temps, il va y avoir de plus en plus de têtes
02:14 quand Hercule va s'attaquer à cette arborescence des têtes accrochées à des nœuds.
02:19 Ce phénomène est tout simplement dû au fait que, quand l'hydre se réplique,
02:22 elle gagne en horizontalité, mais elle perd en verticalité.
02:27 C'est ça l'astuce. Et en perdant en verticalité, toutes les têtes qui sont de plus en plus nombreuses
02:31 pendant un certain temps vont devenir des têtes qui vont se raccrocher de plus en plus au tronc de l'hydre.
02:37 Et donc vont être des têtes qui vont finir, quand on les coupera, par ne pas se répliquer.
02:41 Sauf que derrière cette petite astuce d'apparence anodine,
02:43 il y a quelque chose de très intéressant dans l'article de Paris et Kirby.
02:46 C'est une illustration du théorème d'incomplétude de Gödel.
02:51 Le théorème d'incomplétude de Gödel dit, à gros traits, que dans la théorie arithmétique,
02:56 il y a certains résultats arithmétiques qui ne sont pas démontrables
03:00 dans le cadre de cette même théorie arithmétique.
03:02 C'est exactement ce qui se passe là.
03:04 L'hydre a un nombre de têtes fini, c'est un certain nombre entier,
03:08 donc on est vraiment dans l'arithmétique, il n'y a pas d'infini dans l'histoire,
03:11 on est purement dans de l'arithmétique simple avec des chiffres entiers et finis.
03:15 Sauf que pour arriver à démontrer le résultat selon lequel Hercule finira toujours par vaincre l'hydre,
03:21 il faut introduire la notion d'infini qui fait sortir de la théorie arithmétique.
03:25 Si vous voulez en savoir un petit peu plus sur cette notion de théorème de Gödel
03:29 et sur la manière dont fonctionne précisément cette victoire d'Hercule contre l'hydre,
03:35 je vous invite à aller consulter "21 énigmes pour comprendre enfin les maths"
03:39 que j'ai eu le plaisir d'écrire avec Thierry Mogener.
03:42 [Musique]
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