00:00 J'espère que les trois premières énigmes vous ont plu.
00:02 Voici la quatrième qui s'appelle "Un monde où tout le monde gagne".
00:05 Alors voici une élection avec quatre candidats à BCD
00:08 et douze électeurs numérotés tout bêtement de 1 à 12.
00:11 Chacun vote pour le candidat qu'il préfère.
00:14 C'est assez banal.
00:15 Dans ce cas, il paraît clair que c'est le candidat D qui doit gagner puisqu'il a 6 voix sur 12.
00:20 Premier énigme, est-il possible à votre avis
00:24 de changer la règle électorale pour faire en sorte que le candidat C gagne ?
00:30 Il faut essayer de penser à la manière dont se passent les élections législatives en France.
00:34 Deuxième énigme, et puis après je vous donnerai la réponse à la première et la deuxième.
00:39 Maintenant, on complexifie les choses.
00:40 On ne demande plus aux électeurs de voter pour une personne
00:44 mais on leur demande de classer l'ensemble des candidats par ordre de préférence.
00:48 Par exemple, le premier électeur préfère D en première position
00:52 puis ensuite en deuxième position il préfère A et ainsi de suite.
00:56 Avec cette information plus riche sur les préférences des électeurs quant à leur candidat,
01:00 est-ce que vous pouvez imaginer une règle électorale qui fasse gagner B
01:05 puis une règle électorale similaire, mais pas tout à fait identique, qui fasse gagner A ?
01:10 Et si vous réussissez à faire ça, vous aurez réussi à faire gagner tous les candidats,
01:14 les quatre candidats A, B, C, D, avec une même expression des préférences de la part des électeurs.
01:21 Ce qui montre bien que parfois on peut faire gagner qui on veut,
01:26 il suffit de choisir la bonne règle électorale.
01:30 Pour arriver à faire gagner B et puis pour arriver à faire gagner A,
01:35 il faut essayer de penser à la manière dont le concours de l'Eurovision fonctionne.
01:39 Alors, est-ce que vous avez trouvé ?
01:46 Pour la première question et pour faire donc gagner le candidat C,
01:49 il faut penser, je vous l'ai dit, aux législatives.
01:52 Législatives, comment elles fonctionnent ?
01:53 Elles ne fonctionnent pas en mettant tout dans le même sac.
01:57 Elles fonctionnent en divisant les votes par circonscriptions.
02:00 Et bien c'est exactement ce qu'on va essayer de faire.
02:03 Faire trois circonscriptions qui permettent d'optimiser la performance du candidat C,
02:08 qu'on veut faire gagner à tout prix,
02:10 et de faire sous-performer le candidat D dans le même temps.
02:13 Le premier groupe va être composé des électeurs 1, 3, 5, 6.
02:17 Ces quatre électeurs votent tous pour D.
02:20 Donc, dans ce groupe-là, le groupe jaune, D va gagner avec 100% des votes.
02:26 En faisant ça, on va réduire l'impact de D sur les deux autres groupes.
02:31 Le deuxième groupe est composé des électeurs 2, 4, 8, 9.
02:34 C'est le groupe rouge, dans lequel deux électeurs votent pour le candidat C,
02:38 et le candidat D, lui, n'obtient qu'une seule voix.
02:40 Donc le candidat C gagne avec une majorité pile poil 50%.
02:45 Et puis le troisième groupe, ici en vert, est composé des électeurs 7, 10, 11, 12.
02:51 Il a les mêmes caractéristiques que le précédent,
02:53 deux électeurs qui votent pour le candidat C, et un seul qui vote pour D.
02:58 Donc, là encore, le candidat C gagne l'élection.
03:02 Ainsi, on a deux groupes où le candidat C gagne avec 50%,
03:07 vraiment le minimum nécessaire pour gagner,
03:10 et un seul groupe où gagne le candidat D, par contre lui, il gagne avec 100%.
03:14 En faisant comme ça, on a fait surperformer C et sousperformer D.
03:19 Et comme ça, on arrive à faire gagner C grâce à ce qu'on pourrait ici appeler un charcutage électoral.
03:24 Alors maintenant, comment on va faire gagner le candidat B avec l'information complémentaire
03:28 dont on fait voter sur toute la liste des candidats, chaque électeur ?
03:32 Je vous ai dit qu'il fallait penser à l'Eurovision.
03:33 Ça marche comment l'Eurovision ?
03:35 Vous pourriez penser aussi au ballon d'or, par exemple, qui a un fonctionnement très similaire.
03:38 C'est ce qu'on appelle, en fait, en théorie du vote, la méthode de Borda,
03:41 qui consiste à distribuer des points en fonction du classement qu'obtiennent les candidats.
03:46 Faisons très simple. On va donner 4 points à celui qui arrive en tête,
03:51 3 points à celui qui arrive en deuxième position, 2 points à celui qui arrive en troisième,
03:54 et un seul petit point à celui qui arrive en dernier dans la liste de chaque électeur.
03:59 Ce qui signifie que pour l'électeur 1, par exemple, le candidat D gagne 4 points.
04:04 Il ne gagne en revanche que 2 points grâce à l'électeur numéro 2.
04:08 Il gagne à nouveau 4 points grâce à l'électeur numéro 3.
04:11 Il ne gagne qu'un point grâce à l'électeur numéro 4, et ainsi de suite.
04:14 On fait l'addition de tout ça, et puis on voit un peu ce que ça donne.
04:17 Et si on fait cette répartition des points 4, 3, 2, 1,
04:21 qui est vraiment celle de l'Eurovision s'il n'y avait que 4 pays,
04:23 on remarque que A obtient 26 points, il arrive bon dernier.
04:26 C et D obtiennent 31 points, ils sont deuxième ex aequo,
04:29 et B arrive premier avec 32 points.
04:32 Maintenant, comment on va faire pour essayer de faire gagner A ?
04:35 Ce qu'on remarque, c'est que A n'est presque jamais en dernière position.
04:38 Une seule fois. C'est vraiment pas beaucoup.
04:40 Donc, on va essayer de donner le moins de points possible,
04:43 mais vraiment pas beaucoup du tout, à la dernière position,
04:46 et puis essayer de répartir les autres de façon intelligente.
04:49 Ce qu'on peut commencer par faire, c'est déjà donner 0 points
04:52 quand on arrive en dernière position.
04:53 Et puis, on va essayer de gonfler les notes des places un peu plus hautes,
04:58 comme ça on va essayer de faire sortir du lot le candidat A.
05:01 On va mettre par exemple 10 points pour une première position,
05:04 9 pour une deuxième, 8 pour une troisième, et donc 0 pour la quatrième place.
05:09 Et là, on s'aperçoit que A gagne à son tour.
05:12 Il obtient en effet 91 points, juste devant B, qui en compte 90.
05:19 Et voilà comment, au final, on a réussi à faire gagner nos 4 candidats,
05:22 alors qu'on n'a jamais fait changer l'opinion de nos électeurs.
05:26 Voilà comment on peut être très malin en mathématiques électorales
05:29 et faire gagner à peu près n'importe qui dans certaines situations.
05:33 [Musique]
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