00:00 J'espère que vous avez apprécié la première énigme mathématique.
00:02 Voici la deuxième qui s'intitule les tirs au but paradoxaux.
00:05 Imaginez qu'on soit en finale de coupe du monde,
00:08 toute ressemblance avec des faits réels serait purement fortuite,
00:11 et que la finale se décide aux tirs au but.
00:13 Les cinq premiers tireurs ont déjà fait ce qu'il fallait,
00:16 on est à égalité, on est donc à la mort subite.
00:19 L'entraîneur va désigner un joueur pour tirer le sixième tir au but.
00:24 Grâce à ses analystes statistiques, il sait qu'il possède deux joueurs
00:27 qui ont de bonnes probabilités de réussite dans cet exercice.
00:31 Le premier joueur, qu'on va appeler Antoine tout à fait au hasard,
00:35 a un taux de réussite de 82% dans l'exercice.
00:39 Le deuxième joueur, qu'on va appeler Kylian, tout à fait au hasard à nouveau,
00:43 a un taux de réussite de 85% dans le même exercice.
00:48 Il paraît évident que l'entraîneur va donc choisir Kylian.
00:51 Néanmoins, l'entraîneur a des statisticiens qui font un travail assez précis,
00:56 et ils ont regardé non seulement la probabilité de succès
01:00 durant 200 tirs au but de chacun des deux joueurs,
01:03 mais ils ont aussi regardé la probabilité de succès
01:06 face à des gardiens spécialistes de l'exercice
01:08 et face à des gardiens non spécialistes de l'exercice.
01:12 Or, on s'aperçoit d'une chose un peu étrange.
01:14 Face à des gardiens spécialistes des tirs au but,
01:17 Antoine a une probabilité de succès de 77% contre 70% pour Kylian.
01:22 Ainsi, Antoine a une probabilité de succès aux tirs au but supérieure à celle de Kylian
01:27 face aux gardiens spécialistes.
01:28 Face à des gardiens non spécialistes,
01:30 Antoine a une probabilité de succès de 96% contre 90% pour Kylian.
01:36 En d'autres termes, là encore, Antoine a une probabilité de succès plus grande que Kylian.
01:41 Et pourtant, en moyenne, il résulte que bizarrement,
01:44 Kylian a une probabilité de succès supérieure à celle d'Antoine.
01:48 Comment est-ce possible ?
01:50 [SILENCE]
01:54 Alors, est-ce que vous avez trouvé la solution ?
01:57 La solution s'appelle tout simplement le paradoxe de Simpson.
02:00 Il ne s'agit bien sûr pas des Simpsons, la célèbre série télévisée,
02:03 mais de Edward Simpson, un statisticien qui a démontré ce paradoxe en 1951.
02:08 L'idée avec les probabilités et les statistiques,
02:11 c'est de comprendre comment elles ont été construites.
02:13 Sans ça, on ne sait pas trop les interpréter.
02:15 Antoine et Kylian ont tous deux fait deux cents tirs au but face à des gardiens.
02:20 Antoine a tenté 150 tirs au but face à des gardiens spécialistes,
02:24 là où Kylian n'en a tenté que 50 contre ce type de gardien.
02:27 À l'inverse, Antoine a tenté 50 tirs au but contre des gardiens non spécialistes,
02:32 et, à l'inverse, Kylian en a fait 150 contre des non spécialistes.
02:37 Tout ça, ça fait quoi ?
02:38 Eh bien, ça fait qu'en tirant contre des spécialistes,
02:41 on a forcément une probabilité de succès un peu plus faible que contre des non spécialistes.
02:46 En d'autres termes, en n'ayant pas fait tirer le même nombre de tirs au but
02:50 face à des gardiens spécialistes et non spécialistes par Antoine et Kylian,
02:54 eh bien, on a en quelque sorte plombé la moyenne d'Antoine,
02:58 tandis qu'on gonflait la moyenne de Kylian.
03:01 Au final, certes, l'un et l'autre ont tiré le même nombre de tirs au but,
03:04 mais pas dans les mêmes conditions.
03:06 C'est ce qui fait que quand on calcule la probabilité moyenne de réussite de l'un et de l'autre,
03:11 eh bien, on obtient un effet contradictoire.
03:12 Alors que Antoine est meilleur dans chacune des catégories,
03:15 il résulte moins bon en moyenne.
03:18 Si vous voulez en savoir plus sur ce genre de paradoxes,
03:20 vous pouvez consulter 21 énigmes pour comprendre enfin les maths,
03:23 que j'ai eu le plaisir de co-signer avec Thierry Maugenet.
03:26 [Musique]
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