- há 3 meses
#VET&GEO | VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA: PRODUTO DE VETORES
📌 *Nesta aula:* Estudamos a Propriedade VI do Produto Vetorial, que afirma: o vetor resultante de $\vec{u} \times \vec{v}$ é ortogonal (perpendicular) simultaneamente a $\vec{u}$ e a $\vec{v}$.
Para provar isso, utilizamos o Produto Escalar: mostramos que $\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0$, utilizando a propriedade dos determinantes com linhas repetidas.
Conteúdo
*Teoria:* A condição de ortogonalidade ($\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$).
*Demonstração:* O produto misto com dois vetores iguais resulta em um determinante com linhas iguais, que é sempre ZERO.
*Exemplo Prático:* Vetores: $\vec{u} = (3, 2, -4)$ e $\vec{v} = (2, -2, 1)$.
*Cálculo do Produto Vetorial:* Resultado $\vec{w} = (-6, -11, -10)$.Prova Real: Verificamos que $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$ e $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$.
Capítulos:
00:00 - A Propriedade da Ortogonalidade Simultânea
01:30 - Demonstração Teórica (Produto Escalar Misto)
07:40 - Por que o determinante zera? (Linhas Iguais)
10:50- Exemplo Numérico: Calculando $\vec{u} \times \vec{v}$
14:15 - A Prova Real (Verificando se deu zero)
Referências:
Steinbruch, A. e Winterle, P.. Geometria Analítica. 2 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 1987.
Winterle, P.. Vetores e Geometria Analítica. Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2000.
Boulos, P. e Camargo, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2004.
Miranda, D. e Iwaki, E.. Geometria Analítica. UFABC - Universidade Federal do ABC, Santo André, 2010. Disponível em: http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda .
Playlist do Curso: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXCYykPoJIQAH3lvOl4G2734Y8d9jcMVC
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📌 *Nesta aula:* Estudamos a Propriedade VI do Produto Vetorial, que afirma: o vetor resultante de $\vec{u} \times \vec{v}$ é ortogonal (perpendicular) simultaneamente a $\vec{u}$ e a $\vec{v}$.
Para provar isso, utilizamos o Produto Escalar: mostramos que $\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0$, utilizando a propriedade dos determinantes com linhas repetidas.
Conteúdo
*Teoria:* A condição de ortogonalidade ($\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$).
*Demonstração:* O produto misto com dois vetores iguais resulta em um determinante com linhas iguais, que é sempre ZERO.
*Exemplo Prático:* Vetores: $\vec{u} = (3, 2, -4)$ e $\vec{v} = (2, -2, 1)$.
*Cálculo do Produto Vetorial:* Resultado $\vec{w} = (-6, -11, -10)$.Prova Real: Verificamos que $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$ e $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$.
Capítulos:
00:00 - A Propriedade da Ortogonalidade Simultânea
01:30 - Demonstração Teórica (Produto Escalar Misto)
07:40 - Por que o determinante zera? (Linhas Iguais)
10:50- Exemplo Numérico: Calculando $\vec{u} \times \vec{v}$
14:15 - A Prova Real (Verificando se deu zero)
Referências:
Steinbruch, A. e Winterle, P.. Geometria Analítica. 2 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 1987.
Winterle, P.. Vetores e Geometria Analítica. Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2000.
Boulos, P. e Camargo, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2004.
Miranda, D. e Iwaki, E.. Geometria Analítica. UFABC - Universidade Federal do ABC, Santo André, 2010. Disponível em: http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda .
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Categoria
📚
AprendizadoTranscrição
00:00Então, pessoal, nessa aula vamos ver a sexta propriedade do produto vetorial.
00:06Nessa sexta propriedade, ela diz o seguinte,
00:09o vetorial V é ortogonal simultaneamente aos vetores U e V.
00:13Então, afirma que o vetor U com V, ou seja, vetorial,
00:19é simultaneamente ortogonal aos vetores U e V.
00:23Esse produto de vetores aqui vai resultar em outro vetor e eles são ortogonais a U e V.
00:28Então, vamos ver se isso é verdade, né?
00:32Vimos que o produto escalar diz que,
00:49ou seja, é muito importante isso aqui,
00:51se tivermos U e W,
01:05eles são iguais a zero
01:07se U for ortogonal a W.
01:15Isso aqui é o que acontece no produto escalar.
01:17Ou seja, se isso acontece, então
01:22nós temos que U vetorial W,
01:34U vetorial, a soma é, nesse caso aqui, de U,
01:38mais vetorial V.
01:44É a mesma coisa de V vetorial escalar, no caso, né?
01:54Aqui, na verdade, é tipo assim,
01:55aqui eu tenho um escalar de U com U vetorial V,
01:59que é a mesma coisa de vetorial de V com U vetorial V, certo?
02:10Isso vai ser igual a zero.
02:13Ou seja, se isso acontecer, né?
02:15Ou seja, se U vetorial W for igual a zero,
02:20ou seja, U ortogonal a W.
02:21Nesse caso aqui, eu estou chamando de W
02:24como se fosse o vetorial de U mais V,
02:27como sendo W, entendeu?
02:28Então, se eu tenho U vetorial W é igual a zero,
02:34e aqui V vetorial W é igual a zero.
02:36Ou seja, tanto o vetor U,
02:37tanto o vetor V vai ser igual a zero
02:40se eu tiver isso aqui.
02:42Nesse caso aqui, é o nosso, é o W, né?
02:46O vetorial V.
02:48Então, ou seja, no produto escalar,
02:50é igual a zero se eles forem ortogonais.
02:53Beleza?
02:58Pois o vetorial V é ortogonal simultaneamente
03:19aos vetores U e V.
03:30Ou seja, nesse caso aqui, de fato, isso acontece, né?
03:35Aqui nós temos esse cálculo, né?
03:38De U vetorial V, que a gente já fez antes, né?
03:42E dá isso aqui.
03:43Só que utilizando isso, como aqui eu tenho um vetorial V
03:46e aí eu multiplico pelo produto escalar,
03:48o produto escalar vai ser quem?
03:50De um vetor pelo outro.
03:51Vai ser sempre a primeira componente de um vetor
03:54vezes a primeira componente do outro vetor.
03:57Então, se esse aqui é o resultado de U, V,
04:00Então, se eu multiplico isso, no caso U vetorial,
04:04é U escalar tudo isso,
04:06que é escalar vetorial U, V,
04:09que no caso aqui vamos chamar, por exemplo, se fosse W,
04:13é como se eu tivesse U vetorial W, certo?
04:17Se eu tenho isso, então vai sobrar apenas esses valores,
04:21não vai sobrar essa componente I, JK.
04:23Então, no final das contas, se eu tiver,
04:25se eu pegar o vetorial de U com V
04:29e fazer isso escalar de U com isso, né?
04:33Então, eu vou resultar isso aqui, né?
04:35Isso é um desses aqui, eu já resolvi a matriz aqui, né?
04:38Aqui multipliquei Y, a primeira componente.
04:40Componente Y pela componente Y,
04:42aqui, componente Z pela componente Z.
04:46Então, só finalizando aqui,
04:49vamos ter, se eu multiplicar aqui, né?
04:51Z, X1, Y1, Z2,
04:56menos X1, Z1, Y2, certo?
05:03Aqui vai ser quem?
05:04Menos Y1, X1, Z2,
05:09menos Y1, Z,
05:14no caso aqui, Z1, X2,
05:17mais Z1, X1, Y2,
05:24menos Z1, Y1 e X2.
05:30Fazendo isso, pessoal, o que nós temos aqui,
05:32a gente pode cancelar esse aqui,
05:36com qual?
05:37Com esse, né?
05:38Nós temos a mesma coisa,
05:40X1, Y1 e Z2.
05:43Nós podemos cancelar
05:46esse aqui,
05:50com quem?
05:51Ó, X1.
05:54Nós temos isso aqui, né?
05:56Z1 e Y2.
05:58E podemos cancelar também,
06:00agora o que sobrou foi esse,
06:02é, cadê?
06:11A gente, sobrou esse e esse, né?
06:15Aqui é positivo, né?
06:17Ó, porque aqui tem um menos daqui,
06:18então aqui é positivo, né?
06:20Aqui, ó, aqui tem um menos daqui,
06:22então aqui é positivo.
06:22A gente pode cancelar esse com esse,
06:25que é a mesma coisa,
06:26Z1, né?
06:28Y1,
06:29e aqui também temos
06:30Z1, Y1 e X2.
06:31Então, a gente pode cancelar.
06:33Tudo isso vai ser quem?
06:34Igual a zero.
06:36Então, de fato, né?
06:38O produto, é,
06:41escalar,
06:42é, entre U e W,
06:45que W aqui é o vetorial V,
06:47é igual a zero, né?
06:49Se eles forem, é,
06:51ortogonais.
06:52Ou então, nesse caso aqui,
06:54são iguais a zero.
06:55Porque nesse caso aqui,
06:57significa o quê?
06:58Ó, se o vetorial V,
06:59eles são ortogonais
07:01a U e V,
07:04significa, se eu multiplicar por U,
07:07ele será igual a zero, né?
07:08Porque o produto escalar de um vetor
07:09ortogonal ao outro vai ser igual a zero.
07:11Mesma coisa se eu multiplicar por V,
07:13por isso está aquela propriedade anterior, né?
07:15Se esses aqui são ortogonais a eles próprios, né?
07:18Tanto,
07:18o vetorial V,
07:19ele é ortogonal,
07:20como diz aqui a propriedade,
07:21ou seja,
07:22o vetorial V,
07:24é ortogonal ao vetor U e V.
07:26Então, se eu multiplicar por U,
07:27ele é ortogonal a U,
07:28esse produto.
07:30Então, vai ser igual a zero.
07:31Também é ortogonal a V.
07:32Então, o produto escalar entre V
07:34e esse produto de vetores
07:36é igual a zero, entendeu?
07:37Pela propriedade do produto escalar.
07:39Então, de fato, né?
07:41Aqui vimos que é igual a zero,
07:43fazendo com U.
07:45Isto é, pessoal.
07:46Nós temos o produto escalar de U,
07:49com o produto, né?
07:50Que é o vetorial V,
07:53onde isso aqui é ortogonal ao próprio U, né?
07:58Se a gente for montar esse vetor aqui,
08:00o que vamos ter?
08:04Vamos ter isso aqui, pessoal.
08:05Ó.
08:07X1,
08:08Y1,
08:10Z1.
08:12Aqui,
08:14é o próprio U, né?
08:17É...
08:17X1,
08:20Z1.
08:21E aqui vai ser o 2,
08:23Y2 e Z2.
08:26Como tem linhas repetidas,
08:27vai ser igual a zero, né?
08:29Por conta que tem linhas repetidas.
08:34Ou seja,
08:34duas linhas repetidas aqui, ó.
08:40E aí
08:41só traduzindo aqui em termos de matriz, né?
08:53Podemos fazer também isso aqui para...
08:58Analogamente,
08:59temos aqui fazendo isso para V,
09:01utilizando o vetor V,
09:03escalar o vetorial V.
09:05Fazendo isso,
09:06a gente encontra o mesmo resultado, né?
09:09Onde é que se cancelam
09:10e a gente encontra o que é igual a zero.
09:13Vocês podem dar um print aí
09:15e verificar as contas.
09:16Ou seja,
09:17dá a mesma coisa.
09:19Então,
09:19sempre que eu estou multiplicando,
09:21estou fazendo o vetor escalar
09:23de U com V,
09:25sendo que
09:25a gente sabe que o produto vetorial
09:27de U com V,
09:28eles são ortogonais a U e a V.
09:30E se eu usar o próprio V
09:33e colocar escalar,
09:34a gente sabe que o produto escalar
09:36com um vetor ortogonal
09:37vai ser igual a zero, né?
09:39Então, por isso
09:39que vai ser igual a zero aqui.
09:42Certo?
09:44De modos que temos isso aqui, né?
09:47Ou seja,
09:47se a gente for montar
09:48em termos matricial,
09:49vamos ter que,
09:51nesse caso aqui,
09:52o primeiro vetor é V, né?
09:54Montando a matriz.
09:56O segundo vetor
09:57é o vetor U.
09:58E o terceiro vetor
10:00é o vetor V.
10:01Ou seja,
10:01no final das contas
10:02temos duas linhas, né?
10:04Que é iguais aqui.
10:06Se duas linhas é iguais
10:07nas propriedades determinantes,
10:09é igual a zero.
10:11Certo?
10:12Ou seja,
10:13o determinante.
10:14Logo,
10:17de fato,
10:22o vetorial V
10:25é ortogonais.
10:28diagonal
10:29simultaneamente
10:35aos
10:38vetores
10:42U e V.
10:46Certo?
10:48Eu vou fazer um exemplo, pessoal,
10:49para vocês entenderem a ideia.
10:52Dado o exemplo aqui,
10:54então vamos resolver, né?
10:56Esse exemplo,
10:57o pronto vetorial dos vetores U,
10:59e aí ele dá o vetor V,
11:02e aí vamos calcular isso,
11:04U,
11:05vetorial V,
11:06vamos montar a matriz aqui,
11:08vai ser
11:08I,
11:10J,
11:11K,
11:12tudo vetor, né?
11:13quem é U?
11:17É 3,
11:182,
11:20e menos 4.
11:21Quem é V?
11:232,
11:24menos 2,
11:25e 1.
11:27Certo?
11:27resolvendo a matriz,
11:29né?
11:29Quebrando em matriz menor,
11:30ele vai ser 2,
11:324,
11:33menos 2,
11:34e 1.
11:35Tudo isso aí,
11:36menos,
11:38quem é J?
11:393,
11:41é,
11:41menos 4,
11:432,
11:45e 1.
11:46Multiplicado com o vetor J,
11:48mais,
11:50quem?
11:50O K,
11:51né?
11:52Vai ser 3,
11:532,
11:552,
11:56e menos 2.
11:57Tudo isso é K.
11:58Certo?
11:59Eu tô montando rapidinho aqui,
12:00porque nas aulas anteriores,
12:01eu já ensinei como,
12:03é,
12:04decompor essa matriz 3 por 3,
12:06por matriz 2 por 2,
12:08né?
12:09Resolvendo isso aqui,
12:10vamos ter quem?
12:11Ó,
12:12vamos ter isso aqui, né?
12:142 vezes 1,
12:16menos,
12:18menos 4,
12:19por menos 2,
12:21tudo isso aí,
12:23menos,
12:253,
12:26vezes 1,
12:28menos,
12:294,
12:30por 2,
12:31tudo isso é J,
12:33mais,
12:35é,
12:363,
12:37por menos 2,
12:39menos,
12:392,
12:40por 2,
12:41tudo isso é K.
12:43Aqui temos quem?
12:442,
12:46é,
12:47menos,
12:47por menos,
12:48dá mais,
12:48então,
12:492 vezes 4,
12:51aqui vai dar 8,
12:52com menos,
12:52vai ser menos 8,
12:54certo?
12:55Tudo isso aí,
12:57aqui vai ser 3 vezes 1,
12:59vai ser 3,
13:00e aqui,
13:01menos 8,
13:02só que menos 8,
13:04com 3,
13:05vai ser,
13:05só que aqui tem o menos,
13:06né?
13:06Vai ser 3,
13:07e aqui,
13:08menos 8,
13:09certo?
13:10No caso aqui,
13:12é,
13:12no caso aqui,
13:15é,
13:15menos 4,
13:17né?
13:17Olha,
13:17aqui tem o menos aqui,
13:19certo?
13:20Então,
13:20aqui,
13:21na verdade,
13:21vai ser,
13:22mais 8,
13:24né?
13:24Vai ser menos,
13:25com menos,
13:26aqui,
13:27com menos vai dar mais,
13:28então,
13:28vai ser 8,
13:298J,
13:31mais,
13:32aqui,
13:33menos 6,
13:35com,
13:35menos 4,
13:36tudo isso,
13:38K.
13:39Então,
13:39isso aqui,
13:39vai dar quem?
13:40Vai dar,
13:42menos 6I,
13:44aqui,
13:44vai dar,
13:45menos 11J,
13:49e aqui,
13:50vai dar,
13:50menos 10K.
13:53Então,
13:53aqui está,
13:55os vetores,
13:56né?
13:57Que a gente encontrou,
13:59para o vetorial V.
14:02Como?
14:04Agora,
14:04vamos fazer o seguinte,
14:05pessoal,
14:05vamos fazer,
14:08é,
14:10esse produto,
14:11né?
14:15Verificando,
14:15vamos fazer esse produto,
14:17né?
14:17Do que a gente encontrou,
14:18que aqui é,
14:19o vetorial V,
14:22que é igual a isso,
14:23certo?
14:24Então,
14:24fazendo,
14:26o vetorial V,
14:30escalar,
14:30com U,
14:32vamos ver quanto dá,
14:34pessoal.
14:34esse vetor é quem?
14:37Que a gente encontrou,
14:38é esse vetor aqui,
14:39né?
14:40Então,
14:40vai ser 6,
14:43o vetorial de alguma coisa,
14:44com o vetor,
14:45vai ser sempre a primeira componente,
14:46então,
14:46vai ser menos 6,
14:47quem é o vetor U?
14:49O vetor U é 3,
14:51mais,
14:54menos 11,
14:55quem é a componente Y do vetor?
14:582,
15:00e aqui,
15:02é,
15:02mais,
15:03menos 10,
15:05quem é a segunda?
15:06Vai ser menos 4,
15:08certo?
15:09Então,
15:10se a gente fizer essa conta aqui,
15:11vai ser,
15:12vai ser menos 18,
15:14aqui,
15:16é,
15:17menos,
15:18é,
15:20menos quanto aqui?
15:22Do,
15:22menos 22,
15:24e aqui,
15:2510 vezes 4,
15:26que aqui,
15:27menos com menos,
15:28mais 40,
15:28né?
15:29Então,
15:30vamos ter quem?
15:30Menos 18 com 22,
15:31menos 40,
15:33com mais 40,
15:35isso dá igual a quanto?
15:36Essa?
15:36Igual a zero.
15:37e fazendo
15:39esse produto
15:41que a gente encontrou
15:42de U vetorial
15:43V,
15:47é,
15:47escalar com o vetor V,
15:49vai dar quanto?
15:50Mesma coisa,
15:51né?
15:51A gente aqui vai dar
15:52menos 6,
15:53quem é V agora?
15:55V é 2,
15:57né?
15:58É,
15:58mais,
15:59menos 11,
16:01certo?
16:02V vai ser
16:03igual a menos 2,
16:05nessa parte Y,
16:06mais,
16:08menos 10,
16:10né?
16:11E V vai ser
16:121.
16:14Então,
16:14vamos calcular isso aqui,
16:16vai ser
16:16menos 12,
16:18mais,
16:19mais com menos aqui,
16:21vai ser
16:21mais 22,
16:25que tem menos com menos,
16:26né?
16:28Enfim,
16:29vai ser 22,
16:31que é mais,
16:32e aqui,
16:35menos 10.
16:38Então,
16:38vamos ter,
16:40é,
16:43vamos ter aqui,
16:43ó,
16:44menos 22,
16:45com mais 22,
16:48vai ser igual a quanto,
16:48pessoal?
16:49Igual a zero.
16:51Logo,
16:52o vetor,
16:56o vetorial V,
17:02é ortogonal,
17:07simultaneamente,
17:12aos,
17:16vetores,
17:22vetores,
17:23U e V.
17:26Então,
17:26pessoal,
17:27aqui vimos no exemplo,
17:27né?
17:28Que a gente calculou
17:29o vetorial V,
17:31e vimos que,
17:32como o produto,
17:33né?
17:33Como esse produto,
17:34o vetorial V,
17:36ele vai ser sempre
17:37ortogonal
17:37a U e a V,
17:40o vetor que deu.
17:42Então,
17:42se eu fizer escalar com U,
17:44se ele é ortogonal,
17:45sempre a U e a V,
17:46ele vai dar zero,
17:47né?
17:48Porque a condição de escalar
17:49é o quê?
17:51O escalar V
17:53vai ser igual a zero,
17:56quando eu tenho
17:57o ângulo de 90 graus,
17:59então,
18:00tipo assim,
18:01U é ortogonal a V.
18:03Tem essa condição,
18:04né?
18:05Se isso acontece,
18:07que eu vou ter sempre,
18:07que é zero.
18:10Então,
18:10como esse aqui
18:11sempre vai ser
18:11ortogonal ao próprio
18:12vetor que já nele
18:13contém U e V,
18:15então,
18:15o resultado disso
18:16vai ser esse vetor
18:17que vai ser ortogonal
18:18ao próprio vetor U,
18:19que é o próprio vetor V.
18:20Se eu fizer escalar com U,
18:21vai dar zero.
18:22Se eu fizer com V,
18:23também vai dar zero.
18:24Foi mostrado nesse exemplo aqui.
18:26Então,
18:27é isso, pessoal.
18:28Aqui vimos essa propriedade,
18:30né?
18:30Que o vetorial V
18:32é ortogonal
18:33simultaneamente
18:33aos vetores U
18:34e aos vetores V.
18:36Então,
18:36fica atento
18:37da próxima aula,
18:39a próxima propriedade.
18:41Certo?
18:41E aí,
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