00:00Bem, pessoal, dando continuidade às aulas das propriedades do produto vetorial,
00:05então essa aluna é a propriedade seguinte,
00:08U é diferente de zero, o vetor V também é diferente de zero.
00:13E se θ é o ângulo dos vetores U e V, então temos o seguinte,
00:19temos que U é vetorial V, módulo disso é igual a módulo de U, módulo de V, seno de θ,
00:41certo?
00:46Então, temos essa fórmula aqui, que U vetorial V é módulo de U vezes módulo de V e seno de
00:54θ.
00:55Então, vamos ver se realmente isso é verdade.
00:58De fato, pela identidade de Lagrange,
01:16ou seja, que foi a propriedade anterior que a gente calculou, certo?
01:25Propriedade 8, é só vocês votarem na aula anterior para vocês verem a propriedade 8, né?
01:31Nós temos isso aqui, na propriedade 8 foi mostrado isso aqui,
01:36que o módulo de V, o produto vetorial de U com V ao quadrado é igual ao módulo de U
01:48ao quadrado
01:49vezes o módulo de V ao quadrado, menos quem?
01:54Menos o escalar V, tudo isso ao quadrado.
01:58Isso foi a propriedade de Lagrange, né?
02:00A gente mostrou.
02:02Tendo em vista que temos que o vetor escalar de U com V é dado dessa forma aqui,
02:16é módulo de U e módulo de V e cosseno de θ, né?
02:20A gente já viu isso nas aulas anteriores.
02:23Então, temos o seguinte.
02:25Vamos ter isso aqui.
02:31Que o módulo de U ao quadrado vezes o módulo de V ao quadrado vai ser igual a quem?
02:39Se nós temos que o vetor, o produto escalar de U com V é isso,
02:43então vamos ter módulo de U vezes o módulo de V cosseno de θ.
02:51Tudo isso ao quadrado, certo?
02:53Então, continuando aqui a conta, tudo isso ao quadrado aqui, né?
03:02Isso aqui vai dar quem?
03:04Vai dar cital quadrado, então vai ser módulo de U ao quadrado, módulo de V ao quadrado
03:13e cosseno de θ ao quadrado, certo?
03:21Então, vamos lá.
03:22Continuando, a gente repete aqui novamente, né?
03:27Módulo de U ao quadrado vezes o módulo de V ao quadrado
03:30e aqui a gente pode colocar em evidência fazer isso aqui.
03:35Se a gente fizer isso, é a mesma coisa, né?
03:40Porque se a gente multiplica aqui por 1, vai dar esse primeiro termo.
03:44Se a gente multiplica por cosseno, vai dar esse segundo termo,
03:47menos o módulo de V ao quadrado vezes o módulo de V ao quadrado vezes o módulo de θ ao
03:50quadrado.
03:51Só coloquei em evidência aqui, certo?
03:53Por outro lado, como temos isso aqui, que cosseno de θ ao quadrado vai ser seno de θ ao quadrado,
04:05né?
04:10Porque a gente viu essa identidade aqui, que seno de θ mais cosseno de θ ao quadrado vai ser igual
04:19a 1.
04:20Então, a gente consegue escrever a partir disso.
04:31Logo, vamos ter o seguinte, pessoal.
04:34Vamos ter isso aqui, né?
04:37Que o vetorial V ao quadrado, módulo disso, né?
04:46Vai ser igual a módulo de U ao quadrado vezes o módulo de V ao quadrado.
04:54Tudo isso multiplicado ao seno de θ, né?
04:58Ao quadrado.
04:59Porque a gente substituiu quem é 1 menos cosseno ao quadrado por isso aqui.
05:04Então, a gente consegue escrever dessa forma.
05:07Logo, né?
05:13Então, a gente tem isso aqui.
05:16Se a gente fizer isso, a gente pode reescrever isso dessa forma.
05:19A gente pode dizer que módulo do produto vetorial de U com V,
05:25tudo isso é ao quadrado aqui, e a gente tira a raiz de ambos os lados.
05:31Fazendo a raiz de ambos os lados, a gente vai ter isso aqui.
05:34Que vai ser módulo de V ao quadrado e seno de θ ao quadrado.
05:43Tudo isso tirado da raiz.
05:44Porque o que a gente faz de um lado da operação da igualdade da equação,
05:47a gente faz do outro.
05:48Então, tirado a raiz, eu consigo determinar o quê?
05:52Eu corto o grau aqui, né?
05:54Eu vou cortar isso aqui com o grau aqui,
05:56e eu vou cortar o 2 aqui também com os graus aqui, entendeu?
06:00Então, vai restar quem?
06:02Vai restar isso aqui, né?
06:03Vai ser módulo de U de vetorial de U por V vai ser igual ao módulo de U
06:13multiplicado ao módulo de V, tudo isso seno de θ, certo?
06:19Então, o quadrado se eu cortar é a equação.
06:23E isso aqui era o que queríamos mostrar, né?
06:26Ou seja, que o ângulo teta é o ângulo entre os vetores U e V e pode ser dado dessa
06:37forma, né?
06:38Ou seja, o produto vetorial U por V, no caso, o módulo disso é igual ao módulo de U, módulo
06:45de V,
06:46vezes o seno do teta, certo?
06:48Ou seja, o seno do ângulo.
06:49Então, essa propriedade diz isso, pessoal.
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