#VET&GEO | VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA: PRODUTO DE VETORES
📌 *Nesta aula:* Estudamos a Propriedade IX do Produto Vetorial. Esta fórmula é essencial porque nos permite calcular o tamanho (módulo) do vetor resultante sabendo apenas o tamanho dos vetores originais e o ângulo entre eles.
A demonstração parte da Identidade de Lagrange e utiliza a relação fundamental da trigonometria ($\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$).
Conteúdo
*A Fórmula:* $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin\theta$.
*Passo 1 (Ponto de Partida):* Usamos a Identidade de Lagrange: $|\vec{u} \times \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2$.
*Passo 2 (Substituição):* Trocamos o produto escalar pela fórmula com cosseno ($\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$).
*Passo 3 (Trigonometria):* Colocamos as normas em evidência e usamos a identidade $1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$.
*Conclusão:* Ao extrair a raiz quadrada, chegamos à fórmula final que depende do seno.
Capítulos:
00:00 - A Fórmula do Módulo com Seno
01:00 - Relembrando a Identidade de Lagrange
02:00 - Substituindo o Produto Escalar (Cosseno)
04:00 - A Relação Fundamental ($1 - \cos^2 = \sin^2$)
04:30 - Resultado Final e Interpretação
Referências:
Steinbruch, A. e Winterle, P.. Geometria Analítica. 2 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 1987.
Winterle, P.. Vetores e Geometria Analítica. Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2000.
Boulos, P. e Camargo, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2004.
Miranda, D. e Iwaki, E.. Geometria Analítica. UFABC - Universidade Federal do ABC, Santo André, 2010. Disponível em: http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda .
Playlist do Curso: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXCYykPoJIQAH3lvOl4G2734Y8d9jcMVC
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