- há 2 meses
#VET&GEO | VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA: PRODUTO DE VETORES
📌 *Nesta aula:* Demonstramos a Propriedade VIII do Produto Vetorial, famosa como Identidade de Lagrange. Esta igualdade fundamental relaciona a norma do produto vetorial com as normas dos vetores e o seu produto escalar. A demonstração é puramente algébrica: abrimos as contas termo a termo para provar que o lado esquerdo da equação é idêntico ao lado direito.
Conteúdo
*O Enunciado:* $|\vec{u} \times \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2$.
*Passo 1:* Calculamos o quadrado da norma do produto vetorial (expandindo as componentes $x, y, z$).
*Passo 2:* Calculamos o produto das normas ao quadrado menos o quadrado do produto escalar.
*Álgebra:* Utilizamos produtos notáveis, como o quadrado da soma de três termos $(a+b+c)^2$, para expandir e simplificar as expressões.Conclusão: Verificamos que os termos se cancelam ou se equivalem, provando a Identidade de Lagrange.
Capítulos:
00:00 - Introdução: A Identidade de Lagrange
03:20 - Desenvolvendo o Lado Esquerdo ($|\vec{u} \times \vec{v}|^2$)
05:07 - Desenvolvendo o Lado Direito ($|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2$)
12:00 - A "Mágica" da Álgebra: Cancelando os termos
19:40 - Conclusão e Fórmula Final
Referências:
Steinbruch, A. e Winterle, P.. Geometria Analítica. 2 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 1987.
Winterle, P.. Vetores e Geometria Analítica. Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2000.
Boulos, P. e Camargo, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2004.
Miranda, D. e Iwaki, E.. Geometria Analítica. UFABC - Universidade Federal do ABC, Santo André, 2010. Disponível em: http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda .
Playlist do Curso: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXCYykPoJIQAH3lvOl4G2734Y8d9jcMVC
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📌 *Nesta aula:* Demonstramos a Propriedade VIII do Produto Vetorial, famosa como Identidade de Lagrange. Esta igualdade fundamental relaciona a norma do produto vetorial com as normas dos vetores e o seu produto escalar. A demonstração é puramente algébrica: abrimos as contas termo a termo para provar que o lado esquerdo da equação é idêntico ao lado direito.
Conteúdo
*O Enunciado:* $|\vec{u} \times \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2$.
*Passo 1:* Calculamos o quadrado da norma do produto vetorial (expandindo as componentes $x, y, z$).
*Passo 2:* Calculamos o produto das normas ao quadrado menos o quadrado do produto escalar.
*Álgebra:* Utilizamos produtos notáveis, como o quadrado da soma de três termos $(a+b+c)^2$, para expandir e simplificar as expressões.Conclusão: Verificamos que os termos se cancelam ou se equivalem, provando a Identidade de Lagrange.
Capítulos:
00:00 - Introdução: A Identidade de Lagrange
03:20 - Desenvolvendo o Lado Esquerdo ($|\vec{u} \times \vec{v}|^2$)
05:07 - Desenvolvendo o Lado Direito ($|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2$)
12:00 - A "Mágica" da Álgebra: Cancelando os termos
19:40 - Conclusão e Fórmula Final
Referências:
Steinbruch, A. e Winterle, P.. Geometria Analítica. 2 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 1987.
Winterle, P.. Vetores e Geometria Analítica. Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2000.
Boulos, P. e Camargo, I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed., Editora Pearson Makron Books, São Paulo, 2004.
Miranda, D. e Iwaki, E.. Geometria Analítica. UFABC - Universidade Federal do ABC, Santo André, 2010. Disponível em: http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda .
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Categoria
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AprendizadoTranscrição
00:01Olá pessoal, seja bem-vindo, dando continuidade aqui, nesta aula vamos falar da propriedade 8
00:07do produto vetorial, que é essa propriedade aqui, onde diz que o vetorial U com V, o módulo disso ao
00:14quadrado,
00:14é igual ao módulo de U ao quadrado, mais o módulo vezes o módulo de V ao quadrado, menos o
00:20escalar V ao quadrado.
00:22Então, vamos verificar se realmente isso é verdade, né pessoal? Então, vamos lá.
00:29De fato, se a gente for fazer isso aqui, se a gente for mudar U com V, vai ser quem
00:39aqui? Vai ser I, J e K, certo?
00:46Onde é que o U a gente vai chamar de X1, Y1 e Z1, e V a gente vai chamar
00:54de X2, Y2 e Z2, certo?
01:02Só para diferenciar de V1.
01:07Então, a gente pode montar essa matriz como sendo Y1, Z1, Y2, Z2 multiplicado a I, menos a parte aqui
01:22de Y, né?
01:23que é X1, Z1, X2 e Z2 multiplicado a J, mais a parte referente a Z, que é X1, Y1,
01:39X2, Y2 multiplicado a K, certo?
01:45Então, tudo isso vai dar igual a quem? Se a gente for fazer essa operação aqui, vai dar Y1 vezes
01:52Z2 menos Z1 vezes Y2.
01:58Tudo isso multiplicado a I, menos quem? X1 com Z2, menos Z1 com X2, né?
02:12Z1 com X2 multiplicado a J, mais quem? X1 com Y2, menos Y1 com X2.
02:25Z1 com X2, tudo isso multiplicado a K, certo?
02:31Só que vimos o seguinte, pessoal, como vimos isso aqui, que o módulo de U é igual a escalar de
02:48U por U, né?
02:49Dentro, a raiz disso, né?
02:51Ou então, se a gente for fazer o módulo ao quadrado de U, a gente vai levar isso aqui ao
02:57quadrado, aqui vai cortar a raiz, então vai ficar a escalar de U com U.
03:01Tem essas duas formas.
03:05Certo?
03:07Se a gente faz isso, a gente consegue reescrever, já que aqui a gente obteve quem?
03:14U escalar V, é igual a isso.
03:18E se a gente faz o módulo disso aí?
03:21Fazer o módulo de U escalar V.
03:27Se a gente faz o módulo, vai ser quem?
03:30Escalar U com U, né?
03:32Nesse caso aqui, vai ser escalar do vetorial U por V, né?
03:39Então, basicamente, vai sumir as componentes, né?
03:43E vai sair o vetor, vai ficar isso aqui.
03:46Vai ficar X1, Z2, menos Z1, Y2, tudo isso ao quadrado, né?
03:57Porque eu multiplico a primeira componente pela primeira componente, vai sobrar só isso, né?
04:02E vai sair o termo de vetor.
04:05E a segunda também vai ficar, nesse caso aqui é o quadrado, né?
04:13Porque eu já vou botar o sinal aqui pra dentro, vou colocar, multiplicar aqui e multiplicar aqui.
04:19Isso aqui vai ficar menos e aqui vai ficar mais.
04:22Então, vou fazer assim e isso vai ficar ao quadrado.
04:25Então, vai ser X1.
04:32No caso aqui é Z2, né?
04:37Z2.
04:48Z2, mais Z1, X2, tudo isso ao quadrado, mais X1, Y2, Y1, X2, tudo isso ao quadrado.
05:07Então, isso aqui é o módulo, né?
05:09O módulo a gente obtém que é essa resposta aqui, certo?
05:15O módulo disso aqui.
05:19Por outro lado, por outro lado, o que temos?
05:33A gente tem isso aqui, né?
05:35A gente tem que o módulo de U ao quadrado vai ser quem?
05:40Vai ser U escalar U, que vai ser X1, Y1 e Z1.
05:57O módulo de U, que vai ser o módulo de U, que vai ser x1 ao quadrado, mais Y1 ao
06:05quadrado, mais Z1 ao quadrado, né?
06:07E a gente vai obter isso aqui.
06:09Isso aqui vai ser o módulo de U.
06:12E o módulo de V, analogamente, né?
06:14Onde a gente vai fazer para U, a gente faz para V.
06:19Então, vamos ter isso aqui.
06:20O módulo de V ao quadrado vai ser V vetorial V, no caso escalar V, né?
06:27Então, vai dar X2 ao quadrado, mais Y2 ao quadrado, mais Z2 ao quadrado, que é o que deu aqui
06:34também, e aqui, né?
06:37Tipo assim, a ideia, né?
06:38Aqui o primeiro, a primeira componente ao quadrado, aqui o X2 ao quadrado, né?
06:43Ele vai multiplicar por ele mesmo, né?
06:45E a gente viu que no produto escalar, só sobra a parte que você multiplica o vetor por ele mesmo.
06:52Por exemplo, só multiplica, quando você multiplica I por I, isso vai dar, no produto escalar, vai dar 1.
07:01E quando você multiplica com um vetor diferente, vai dar sempre 0, né?
07:05Ou seja, se você multiplica I por J, por exemplo, vai dar 0.
07:15Então, a gente tem isso aqui, né?
07:17Por isso que vai sobrar só a primeira componente, como o vetor multiplicado por ele vai dar 1, porque ele
07:23é unitário, né?
07:25Então, vai ficar só a componente e não vai ficar em vetor, vai ficar números, né? Números reais.
07:32Enfim, juntando aqui, a gente tem que U...
07:41Vou botar outra cor.
07:48O módulo disso ao quadrado vezes V ao quadrado, né?
07:53O módulo de V ao quadrado vai dar quem?
07:55Vai dar isso aqui, X1 ao quadrado mais Y1 ao quadrado mais Z1 ao quadrado.
08:04Tudo isso multiplicado com X2 ao quadrado mais Y2 ao quadrado mais Z2 ao quadrado, certo?
08:13E vimos também que o módulo de V, o módulo não, é o plano de escalar de U com V,
08:23vai ser quem?
08:25Vai ser X1 com X2 mais Y1 com Y2 mais Z1 com Z2, certo?
08:38E se isso aqui tiver o quadrado, vai ser isso aqui, né?
08:41Então, vai ser o escalar V ao quadrado, vai ser quem?
08:48Vai ser isso aqui, né?
08:50Que a gente acabou de ver, que é X1, X2 mais Y1, Y2 mais Z1 e Z2.
09:01Tudo isso ao quadrado, certo?
09:05Então, vamos lá.
09:08Logo, o que vamos ter?
09:15Vamos ter...
09:21Somando tudo, né?
09:24Vamos montar essa equação aqui, para a gente verificar.
09:28A gente já fez o módulo ao quadrado, que foi isso aqui.
09:34Aqui é o quadrado.
09:41Se não estava dentro da raiz, né?
09:43Então, se a gente colocasse aqui, teria que ter uma raiz.
09:45Então, aqui é o quadrado.
09:47O que mais?
09:48E a gente vai juntar.
09:50A gente já fez esse termo aqui e já fez esse termo.
09:52Então, a gente só vai igualar aqui, reescrever, né?
09:55Só para ficar clara a ideia.
09:57Vai ficar isso aqui.
10:03Logo, vai ficar Y1 com Z2.
10:09Z1 com Y2 ao quadrado, mais menos X1, Z2, mais Z1 com X2, tudo isso ao quadrado,
10:31mais X1 com Y2, menos Y1 com X2, tudo isso ao quadrado.
10:43Isso aqui é igual...
10:44Isso aqui é a parte do módulo, né?
10:46O módulo ao quadrado, que é isso aqui.
10:49Certo?
10:50Ou seja, a gente só reescreveu aqui abaixo.
10:54Mas é a mesma coisa isso aqui.
10:57Logo, isso aqui vai ser igual a quem?
11:00A gente calculou aqui isso aqui, né?
11:03Vai ser...
11:05Isso vai ser igual a quem?
11:06Vai ser igual a X1 ao quadrado, mais Y1 ao quadrado, mais Z1 ao quadrado,
11:14tudo isso multiplicado por X2 ao quadrado, mais Y2 ao quadrado, mais Z2 ao quadrado, né?
11:26Menos quem?
11:27O produto escalar que a gente acabou de fazer aqui ao quadrado, né?
11:32Então, vai ser X1 com X2 mais Y1 com Y2 mais Z1 com Z2, tudo isso ao quadrado.
11:42Certo?
11:44E aí, eu vou fazer o seguinte, eu vou chamar isso aqui de 1, esse termo, eu vou chamar esse
11:52termo de 2, eu vou chamar esse termo de 3, eu vou chamar esse termo aqui de 4, esse de
12:005, só para facilitar, esse aqui de 6.
12:04E aí, pessoal, eu só reescrevi cada termo, abri as contas.
12:08O termo 1 é isso aqui, certo?
12:11Ou seja, o quadrado do primeiro, que vai ser esse termo aqui ao quadrado.
12:18Depois, a parte referente ao segundo, que nesse caso aqui, eu esqueci de colocar o quadrado aqui, certo?
12:26E aí, tem mais duas vezes o primeiro pelo segundo, então vai ser o primeiro e o segundo.
12:32E assim eu fiz para os outros, mesma coisa aqui, quadrado do primeiro e tal, como aqui tem um menos,
12:37é como se isso aqui fosse o primeiro, né?
12:38Então, vai ter o menos aqui da forma, né?
12:41E aqui também, quadrado do primeiro, que se a gente, só resumindo, né?
12:48A gente tiver isso aqui, a mais b ao quadrado vai ser quem?
12:54Vai ser a ao quadrado mais b ao quadrado mais duas vezes o primeiro pelo segundo, que é 2ab.
13:02E se for negativo, vai ser a ao quadrado mais b ao quadrado menos duas vezes o 2ab, né?
13:12Então, é só seguir nessa fórmula aqui dos quadrados, né?
13:17Aqui, entre o 4 e o 5, eu já fiz a multiplicação, certo?
13:22Aqui, então já multipliquei cada termo aqui nesse outro, multipliquei esse com esse e esse com esse, entendeu?
13:29Três equações aqui, né?
13:31E aqui, eu fiz também, agora quando tem três termos, é diferente.
13:38Quando você tem três termos, por exemplo, você tem a, b, mais c ao quadrado, né?
13:48Tudo isso ao quadrado, não é dois termos, três.
13:51Então, você tem o quadrado do primeiro, ou seja, você vai ter a ao quadrado, mais b ao quadrado, mais
14:00c ao quadrado.
14:01E aí, você tem depois a distribuição, mais duas vezes ab, mais duas vezes ac, e mais duas vezes bc.
14:16Então, você vai ter isso aqui, certo?
14:18Quando você tem três termos.
14:19Então, foi basicamente isso aqui que eu fiz para essa última operação, que é desse termo seis aqui, certo?
14:27E aí, agora, o que a gente pode fazer?
14:33Se vocês olharem bem aí, é o seguinte, pessoal.
14:38Eu vou colocar aqui de outra cor, vou botar preto.
14:42A gente pode cancelar isso aqui, porque aqui tem uma igualdade, né?
14:46Lembre-se que aqui tem uma igualdade.
14:48É isso aqui, em um lado, igual a isso, né?
14:53Ou seja, aqui, ó.
14:53Você tem isso aqui, e tem esse outro lado aqui.
14:57Ou seja, isso aqui, esse primeiro está igual a esse outro lado.
15:00Então, a gente pode cancelar, por exemplo...
15:03Não é cancelar, é dizer o que é iguais, né?
15:07De cada lado.
15:09Ou cancelar, de fato.
15:14É, a gente pode...
15:15Porque todos vão se cancelar.
15:16Um lado vai ter igual ao outro, né?
15:19É, como se...
15:20Para ter igualdade, tem que ter um...
15:22Tudo tem um lado, tem que estar do outro.
15:24Então, isso aqui, ó...
15:27Vai estar onde aqui, pessoal?
15:29Vai estar aqui, né?
15:36Vai estar aqui, nesse aqui, certo?
15:44O que mais?
15:47Alguns vão se cancelar, como no caso aqui é menos, ó.
15:50Tá vendo?
15:50Então, ele vai cancelar aqui mesmo, com esse aqui, certo?
15:53Então, eu já vou fazer esse aqui, cancela, né?
15:56Os que cancelam, eu vou passar o traço.
15:58Por exemplo, esse vai cancelar com esse.
16:04Esse, vou trazer o traço assim, vai cancelar com quem?
16:08Vai cancelar com esse.
16:12E esse aqui vai cancelar com esse.
16:17Porque aqui tem um sinal de menos, né?
16:18Multiplicando esses t.
16:20Então, aqui vai cancelar.
16:22O que eu passei o traço é o que vai cancelar, certo?
16:26É, o que mais?
16:34Aqui, pessoal, também, eu vou passar o traço só para diferenciar.
16:41Esse aqui, eu tenho um menos.
16:45É x, x1, x2.
16:47Onde tem x1, x2 aqui, né?
16:50Ele só está fora de ordem, que está y, x1 aqui, e depois y1 e x2.
16:56Mas, como é um número real, é a mesma coisa.
16:59Então, aqui eu tenho x1, x2, y1, x2.
17:01Então, esse aqui, eu posso dizer que é igual a esse, né?
17:05Então, tem esse termo que corresponde a esse.
17:08E esse aqui, eu posso dizer que corresponde a esse aqui.
17:13É a mesma coisa.
17:15Ainda tenho esse aqui, que é igual a esse primeiro aqui, né?
17:22Ou seja, então, eu estou fazendo a correspondência do que tem de um lado e do que tem do outro,
17:26para ver se realmente é isso mesmo.
17:29E o que sobrou?
17:30Esse aqui embaixo, já se foram todos os termos.
17:33Já não tem mais, já fiz a correspondência com de lá.
17:36Aqui, também, já cancelei alguns.
17:39Então, vamos ver agora qual a correspondência.
17:42Vou colocar nessa cor verde.
17:44Esse aqui, ó.
17:49Esse aqui vai ser com qual, pessoal?
17:54Lembrando que aqui é o quadrado.
17:55Aqui é o quadrado, certo?
17:57Porque ele está multiplicando aqui, é o quadrado.
18:00Então, esse aqui vai ter xy, aliás, z1.
18:04Onde tem z1 aqui, x2 ao quadrado.
18:06Esse aqui, né?
18:09E esse outro?
18:13Z1 com y2.
18:15Z1 com y2.
18:17É quem?
18:18É esse aqui, né?
18:19Então, é a correspondência.
18:22Quem mais?
18:28Quem mais, pessoal, aqui?
18:33Tem a correspondência agora.
18:38Só falta esse aqui, esse e esse, né?
18:41Nesse lado.
18:43Certo?
18:44Então, vou pegar um vermelho aqui.
18:47Vou dizer que esse aqui, ó.
18:50Quando tem x1, y2.
18:52Quando tem x1, y2.
18:53É esse aqui, né?
18:57E agora, o azul ainda não teve.
18:59Vou pegar o azul.
19:01Esse aqui é x1 e z2.
19:03x1 e z2.
19:04É esse aqui.
19:05Então, sobrou apenas esse, né?
19:09Agora, sobrou esse para fazer a correspondência.
19:16Que é quem?
19:20Vai ser esse com esse, né?
19:23Só lembrando, né?
19:24Que esse 4, 5 aqui, era só...
19:28Ele está...
19:29Eu só abri as contas aqui, né?
19:31Eu só reescrevi ele aqui, né?
19:34Multiplicando.
19:36E no final, é esse aqui que está em verde.
19:39Certo?
19:39Então, só para não dizer que não tem a correspondência.
19:42Então, de fato, se a gente faz isso, né?
19:46Faz essa correspondência.
19:50De fato.
19:54Logo.
19:58De fato.
20:01Temos a igualdade, né?
20:04A gente fez a correspondência termo a termo.
20:06Abriu as contas e mostrou que, de fato.
20:08O vetorial V.
20:12Módulo disso ao quadrado.
20:14É igual a módulo de U ao quadrado.
20:19Multiplicado pelo módulo de V ao quadrado.
20:23Menos o produto escalar de U.
20:28Por V ao quadrado.
20:31Então, de fato, isso é...
20:33A gente verificou essa igualdade.
20:36Por outro lado, pessoal.
20:37A identidade acima é conhecida como a identidade de Lagrange, né?
20:42Ou seja, a identidade de Lagrange.
20:45E pode ser expressa também por...
20:50Ou seja, ela pode ser expressa dessa forma aqui.
20:53E eu posso separar o módulo aqui como sendo o vetorial V.
20:59Produto escalar disso, né?
21:01Porque isso surgiu a partir do produto escalar.
21:04Então, produto escalar de U com V.
21:08Isso aqui, eu posso dizer que é o produto escalar também de U por U.
21:15E o produto escalar de V por V, certo?
21:21Menos o produto escalar de U por V ao quadrado, que estava aqui mesmo, né?
21:29Então, ela pode ser ainda reescrita dessa forma aqui.
21:33E essa forma aqui é chamada de identidade de Lagrange.
21:37Então, é isso, pessoal.
21:38Essa aqui foi a oitava propriedade do produto vetorial, onde a gente mostrou essa relação aqui.
21:48que o módulo do produto escalar de U com V ao quadrado é igual a...
21:54O módulo de U vezes o módulo de V ao quadrado, menos o produto escalar de U por V ao
22:00quadrado, certo?
22:02Então, é isso.
22:04Até a próxima aula, onde vamos falar da nona condição, nona propriedade.
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