00:00Então, pessoal, nesta aula vamos falar dessa propriedade aqui do produto vetorial, que é a quarta propriedade,
00:07onde diz que se tivermos um m multiplicado ao vetor u, isso vetorial av é a mesma coisa que m multiplicado ao vetorial de u com v.
00:20Então, vamos ver isso de fato, como temos isso aqui, m vetor u é igual a quem?
00:46m, x1, i, mais m, y1, j, isso eu só estou reescrevendo o vetor, né, mais m, z1, k, ou seja, se eu fizer isso aqui,
01:04eu manter o vetor, então, quer dizer que o vetorial disso, isso aqui com u, o vetorial disso com v vai ser quem?
01:17Vai ser aquela matriz, né, o determinante j, k, que é o primeiro vetor? mu por u, então,
01:30aqui o primeiro vetor é m multiplicado ao vetor u, que a gente já fez, né, aqui em cima.
01:38Então, vai ser isso aqui, mais y2, né, a gente só pega só as componentes, né, e aqui z1, aqui é 1, né,
01:52que aqui está falando do vetor u, aqui é 1, aqui abaixo aqui é o vetor v que é 2, né, y2 e z2, certo?
02:04E, por outro lado, é, de acordo com uma propriedade dos determinantes,
02:25quando, o que diz o seguinte, quando se multiplicam pelo número m,
02:55os elementos
02:58de uma linha,
03:04certo?
03:16Significa que eu posso escrever assim, ó, se eu tenho isso,
03:20essa é o que fala, essa propriedade, né?
03:24Quando eu multiplico por elemento do l, eu posso escrever a matriz dessa forma,
03:28dizer que m, né, dizer aqui que é i, j, k,
03:34e aqui vai ser x1, y1 e z1, aqui vai ser x2, y2 e z2, ou seja, eu posso tirar,
03:45quando eu estou multiplicando m por um elemento de uma linha, nesse caso aqui,
03:48o que aconteceu nessa matriz aqui, desse determinante,
03:51eu posso tirar esse m e multiplicar toda a matriz, é a mesma coisa.
03:55Logo, né, portanto, se isso é a mesma coisa,
04:04por essa propriedade, né, do determinante aqui, tá, as matrizes,
04:10determinantes, logo, temos que u vetorial com v é a mesma coisa que m u vetorial com v,
04:25isso partindo dessa propriedade aqui, mas mesmo assim vamos mostrar, certo?
04:32Aqui é só a definição de uma propriedade do determinante, temos isso,
04:38e, portanto, isso é verdadeiro, né, a partir dessa propriedade que afirma isso, né?
04:43Se a gente multiplica m os elementos em uma linha, a gente vai ter isso aqui, certo?
04:47A gente pode tirar esse m e multiplicar toda a matriz, né, todo o determinante.
04:53Então, eu trago aqui para você já a conta feita, né,
04:57é, ou seja, aqui é m u vetorial com v.
05:04Então, ou seja, eu tenho esse número real multiplicado com u,
05:08tudo isso um vetorial com v.
05:09Então, se eu fizer essa conta aqui, o determinante vai dar isso, certo?
05:14Quando isso aqui, eu consigo fazer o quê?
05:17Ó, aqui, todo aquele método de matriz,
05:20reduzir em cofatores, né, reduzir em matrizes menores,
05:23aqui temos a componente i, a componente j e a componente k.
05:28Só o resultado dessa matriz, né,
05:29seja isso aqui multiplicado menos isso aqui multiplicado,
05:33da parte y, de i.
05:35Aqui na parte referente a y, né,
05:38nós temos isso aqui multiplicado,
05:41isso aqui multiplicado, voltando, diminuindo aqui, né,
05:43só resolvendo a matriz, aqui a parte multiplicada com j e aqui com k.
05:48Esse aqui multiplicado, depois menos isso aqui,
05:50que foi isso aqui, então resultou nisso.
05:52Só que aqui eu posso dizer, tem m em todo mundo, né,
05:55então eu posso deixar o m em evidência.
05:58Posso dizer que m é tudo isso,
06:05z2, z1 vezes y2,
06:11tudo isso é i menos quem?
06:17x1, z1, né, menos z1,
06:22x2, x2, tudo isso é j,
06:26mais, nesse caso aqui, vai ser x1, y2,
06:31y2, x2, né.
06:38Então, tudo isso aqui vai ser quem?
06:44Vai ser multiplicado com k.
06:46Mas, vimos, pessoal, já tínhamos visto isso aqui, ó.
06:53E antes disso, né, mas vimos isso aqui, certo?
06:57Antes, né, a gente viu isso aqui,
06:59a conta para u vetorial v é igual a esse valor aqui, certo?
07:04E o que a gente conclui com isso?
07:10Aqui é só para...
07:12Aqui é 1, certo?
07:14Tá errado, aqui é 1.
07:17Que é isso aqui, é 1.
07:20Certo?
07:21Então, deixa eu ver se eu vou fazer a correção aqui.
07:23Aqui é 1, certo?
07:31Então, basicamente, temos isso aqui para u com v.
07:37Logo, a gente conclui o quê?
07:39Logo, tendo isso aqui, né,
07:46Logo, concluímos que
07:49Se temos m multiplicado pelo vetor u vetorial v,
07:58é a mesma coisa que m multiplicado ao determinante i, j, k, né.
08:08E aqui temos o vetor u.
08:12E aqui temos o vetor v.
08:18Certo?
08:19Ou seja,
08:22Se isso aqui é a mesma coisa, né,
08:23disso, e aqui só tem um m multiplicado,
08:26então a gente consegue escrever dessa forma.
08:30Então, de modo análogo também,
08:33a gente poderia fazer o quê?
08:38De modo análogo,
08:43temos também
08:46que
08:48se a gente tem m multiplicado pelo vetor u,
08:52vetorial a v,
08:54é igual a isso aqui, né,
08:56m
08:56multiplicado ao vetorial de u com v,
09:01que foi o que a gente encontrou aqui, né,
09:02a partir dessas relações.
09:04Mas que isso também serviria se a gente fosse fazer isso aqui.
09:08Certo?
09:09É u vetorial a m multiplicado com v.
09:14Isso seria a mesma coisa.
09:16Então, aqui está aprovado esta propriedade, né,
09:19onde a gente usou os determinantes aqui para mostrar.
09:23A gente mostrou,
09:24falou sobre uma propriedade determinante,
09:26e a gente fez, né,
09:29essa conta
09:29para mostrar que, de fato,
09:31a gente pode reescrever dessa forma, né.
09:34Então, isso é igual a isso,
09:36que também pode ser igual a isso,
09:37de forma análoga,
09:38se a gente fosse fazer.
09:39A gente não fez essa parte,
09:40mas é a mesma coisa.
09:43Então, está aprovada essa segunda,
09:45no caso, a quarta propriedade aqui
09:47que a gente está fazendo.
09:49Então, é isso, pessoal.
09:50Até a próxima aula,
09:52no qual a gente vai mostrar a quinta propriedade.
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