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00:00Hey les futurs bacheliers, vous faites quoi si ça, ça tombe au bac ?
00:03Des groupes ? Des anneaux ? Et même des corps ? Ou des homomorphismes ?
00:08Et bien c'est ce qui est tombé à l'exercice 4 du bac du Maroc 2025 que l'on va corriger tout de suite.
00:13Je te laisse lire l'introduction de l'énoncé et j'attaque avec la question 1a.
00:16Vérifiez que a² est égal à moins 2a.
00:18Bon là il suffit simplement de faire le calcul. Je mets les matrices.
00:22Donc j'ai cette ligne fois cette colonne qui va faire le coefficient ici.
00:25Et ainsi de suite, vous pouvez bien les poser côte à côte pour être sûr de bien faire les calculs.
00:30On a donc ceci et on constate qu'on reconnaît avec un facteur moins 2 près la matrice A et on obtient bien moins 2 fois a.
00:38Check !
00:39On déduire que pour tout xy dans R2, m2x multiplié par m2y c'est égal à m2x plus y moins 2xy.
00:48Soit donc xy dans R2.
00:50J'ai que ce produit là, c'est égal à i plus xa facteur de i plus y a.
00:55C'est comme ça qu'on a défini m2x pour appel.
00:58Je fais la distribution.
00:59Donc j'ai i fois i qui fait i, i fois y qui fait y, xa fois i qui fait xa et xa fois y qui fait xy fois a².
01:10Sauf que d'après la question précédente, on a dit que a² c'était moins 2a.
01:13Donc je me retrouve avec ceci après avoir factorisé par a.
01:17Et donc j'obtiens bien que c'est m de tout ceci.
01:21Check pour cette question.
01:22Calculez m de 1 demi fois cette matrice.
01:24Déjà on écrit m de 1 demi de façon un petit peu plus digeste.
01:27Donc ça va faire 1 demi fois ceci.
01:29Et je fais ensuite le produit matriciel avec cette matrice que je vais nommer B.
01:33Et donc j'ai 1 demi fois cette matrice qui est ici, fois la matrice B.
01:37Ce qui me fait 1 demi fois la matrice nulle, ce qui me fait la matrice nulle.
01:40Petite précision de vocabulaire sur les anneaux.
01:42On va dire que m de 1 demi est un diviseur de zéro.
01:45C'est à dire que m de 1 demi fois un autre objet non nul, c'est important, donne la matrice nulle.
01:51Check.
01:52On déduit que la matrice m 1 demi n'est pas inversible dans m3 de R fois.
01:56Et bien en vrai c'est une conséquence algébrique du fait d'être un diviseur de zéro.
01:59Et en fait la preuve qu'on va faire là est généralisable.
02:02Tout diviseur de zéro dans un anneau ne peut pas être inversible.
02:06Parce que si m 1 demi était inversible dans m3 de R multiplié, alors j'aurai que son inverse fois lui-même, c'est égal à l'élément neutre, l'identité.
02:15Mais du coup je vais multiplier par le facteur B à droite.
02:19Ce qui va me donner B puisque j'ai l'identité fois B et ça fois ça fois B.
02:24Mais je sais que B fois ça c'est égal à la matrice nulle d'après ce qu'on a fait avant.
02:28Et donc j'ai ça fois la matrice nulle qui est égal à B.
02:31Et j'ai ça fois ça qui vaut la matrice nulle puisque la matrice nulle est absorbante pour la multiplication.
02:36Ça veut dire que la matrice nulle fois n'importe quoi est toujours égale à la matrice nulle.
02:40Et donc B est égal à la matrice nulle.
02:42Ce qui n'est pas vrai puisque ici j'ai un coefficient 1.
02:45J'ai donc une absurdité ici et donc j'ai bien la conclusion.
02:49Check.
02:49Question 3.
02:50Montrez que E privé de m 1 demi est stable pour la multiplication d'un m3 de R.
02:54On pourrait utiliser cette identité.
02:56Et bien on va montrer que si X est différent de 1 demi et Y est différent de 1 demi,
03:00alors il est impossible que ceci soit égal à 1 demi.
03:03Donc on a ceci différent de 1 demi.
03:05Parce que si ceci est égal à 1 demi, on a que ceci moins 1 demi est égal à 0.
03:09Et d'après l'identité qu'on nous donne, on a que ceci c'est égal à ça fois ça.
03:15Avec le facteur moins 1 demi ici.
03:16Mais c'est pas grave, on peut multiplier par moins 2 pour faire passer là la rigueur.
03:19Et donc ceci vaut 0.
03:20Si et seulement si, soit ça vaut 0.
03:23Soit ça vaut 0.
03:24Ce qui implique que ou bien X vaut 1 demi, ou bien Y vaut 1 demi.
03:28Mais on a supposé que les deux étaient différents de 1 demi.
03:31Donc si les deux sont différents de 1 demi, il n'est pas possible que ceci soit égal à 1 demi.
03:37Et donc en prenant XY différent de 1 demi, j'ai que le produit appartient à cet ensemble-là,
03:42puisque ça va donner M de cette quantité.
03:44Mais cette quantité-là n'est pas égale à 1 demi.
03:46Donc on est bien dans l'ensemble E privé de M de 1 demi.
03:49Ce qui est bien la preuve de la stabilité de cet ensemble par la multiplication matricielle.
03:54Check.
03:554. Montrez que cet ensemble-là avec la multiplication est un groupe commutatif.
03:59Alors sur la flèche, je l'ai fait en dernier, mais on va commencer par la commutativité.
04:03On a évidemment que ça, c'est égal à ceci fois ceci,
04:05puisque tous les deux sont égales à cette quantité,
04:07quelle que soit X et Y dans R privé de 1 demi.
04:10Ça nous évitera d'avoir à chaque fois à démontrer dans les deux sens les autres propriétés.
04:14Ensuite, soit X, Y, Z dans R privé de 1 demi,
04:16je vais vérifier la propriété d'associativité en faisant MX fois MY,
04:20et tout ce résultat-là fois MZ.
04:22Et après, je ferai MX fois MY fois MZ, tout ce résultat-là donc avec MX.
04:27MX fois MY, ça me fait ceci, donc j'ai ceci fois MZ,
04:30et là j'applique la formule et ça me donne ceci avec les calculs,
04:33que j'arrange en ceci.
04:34Et de même ici, je fais MY fois MZ, qui me donne ceci,
04:39que je multiplie après par MX,
04:41donc somme des deux moins deux fois le produit,
04:44ce qui me fait ceci,
04:46ce qui me donne bien la même chose que j'avais ici.
04:49Check !
04:50On a bien l'existence d'un élément neutre, c'est M0,
04:52car MX fois M0, c'est égal à M de X plus 0 moins deux fois X fois 0, 0,
04:58ce qui fait bien M de X,
05:00et ça c'est aussi égal par commutativité dans l'autre sens.
05:02Et enfin, quel que soit X là-dedans, on a l'existence d'un inverse,
05:06soit X dans R privé de 1,5,
05:09si je multiplie par M de ce truc-là,
05:12j'aurai bien M de M0, on va le montrer,
05:14donc je multiplie, j'ai l'addition des deux moins deux fois le produit,
05:18donc X fois ceci, donc je me retrouve avec un X carré et un 2X moins 1 ici,
05:22je mets tout le même dénominateur,
05:23ça veut dire que je multiplie X par 2X moins 1,
05:25je me retrouve avec 2X carré moins X plus X moins 2X carré sur 2X moins 1,
05:30ce qui me fait au numérateur 0, ce qui me fait bien tout ça 0,
05:33X est différent de 1,5, on n'a pas de problème au dénominateur, je rappelle,
05:36donc j'ai bien M de 0, et c'est évidemment égal au produit dans l'autre sens.
05:40Petite question, comment est-ce que j'ai trouvé l'inverse ?
05:42Eh bien, en fait, je savais que l'élément neutre c'était ceci.
05:46L'élément neutre était facile à trouver puisqu'il fallait que X plus quelque chose moins deux fois quelque chose soit égal à X,
05:51et on voyait que ça marchait avec Y est égal à 0.
05:53Maintenant, pour trouver l'inverse, il fallait simplement que X plus Y moins 2XY soit égal à 0.
06:00Il suffit simplement d'isoler Y, ça donne une équation pas trop méchante,
06:03et en exprimant Y en fonction de X, on trouve que Y doit nécessairement être égal à ce truc,
06:08je te laisse faire cette preuve en commentaire.
06:10Ce n'est pas stricto sensu une preuve, là je ne fais qu'expliquer
06:13comment est-ce qu'on trouve ce truc-là qui va faire que M de tout ça soit l'inverse de ceci,
06:20parce que dans les définitions du groupe, il faut juste prouver l'existence d'un inverse,
06:24et c'est bien ce que j'ai fait en le fournissant.
06:26Comment je l'ai trouvé, ce n'est pas forcément exigible en soi pour justifier qu'il y a existence d'un inverse.
06:32C'est ce calcul-là qui montre l'existence d'un inverse et qui prouve qu'on vérifie cette propriété-là des groupes.
06:38Check, check, check pour tout ça !
06:40Question 5.
06:41Alors au vu de la question B où on demande de montrer que ET est un groupe commutatif,
06:54je trouve que c'est un petit peu mal formulé,
06:57donc pour que vraiment c'est un sens de parler d'homomorphisme,
06:59il faut d'abord montrer que ET est un groupe,
07:02ensuite on peut parler d'un morphisme de groupe entre les deux structures,
07:05à moins qu'ils entendent homomorphisme dans un autre sens,
07:08mais dans ce cas je ne vois pas lequel, si vous voulez vous pouvez me le préciser en commentaire.
07:12Et donc après la question B, on aura juste à montrer qu'il est commutatif.
07:15Let's go !
07:15Donc l'ensemble E uni de l'opération T est un groupe,
07:18car si on prend x, y, z dans R, on a associativité,
07:22ce calcul le montre, donc je vais faire ça, T, ça, T, ça,
07:27et après je vais faire ça, T, ça, T, ça.
07:31Ce qui me fait pour le premier T cette opération-là, selon la loi T,
07:34et ceci avec ça, ça me fait tout simplement la somme,
07:38moins un demi encore, ce qui me fait x plus y, z, moins un demi.
07:41Même ici, j'ai m, x, t, l'opération que j'ai faite avec ces deux-là,
07:45donc j'ai x plus z, moins un demi dans le m,
07:47et je fais pareil, je somme et je retranche un demi,
07:50et donc je retrouve bien ceci.
07:52On a égalité entre les deux, donc on a bien associativité.
07:55Check !
07:56On a l'existence d'un élément neutre qui est un demi.
07:59Au vu de l'opération, il faut que x plus truc moins un demi soit égal à x,
08:04pour que l'opération entre mx et m2 truc donne mx,
08:07et donc forcément, on a que le y va être égal à un demi.
08:10Et donc je teste, mxt m un demi, ça va faire x plus un demi moins un demi,
08:14ce qui fait bien mx, et ce qui marche aussi dans l'autre sens, bien sûr.
08:18Check pour l'existence d'un élément neutre qui n'est autre que m de un demi.
08:22Et enfin, on a l'existence d'un inverse, c'est-à-dire m de quelque chose,
08:25tel que m de x fois m de ce quelque chose donne m de un demi.
08:29Et donc on propose un moins x, et donc je fais m de x, t, m de un moins x,
08:33ce qui me donne x plus un moins x moins un demi, ce qui me donne m de un demi.
08:38Même bail, pour intuiter quel va être l'inverse ici,
08:41je vais faire en sorte que ça plus ça moins un demi, ce soit égal à un demi,
08:45je résous, ça va me donner une valeur pour ça,
08:48en mettant au début y, parce qu'on ne le connaît pas.
08:50Même bail dans l'autre sens, et j'ai donc bien l'élément neutre.
08:53Check !
08:54Et donc on attaque la deuxième partie, on va montrer qu'on a un homomorphisme de r plus vers et t.
08:59Soit x et y dans r, phi de x plus y c'est égal à ceci par définition,
09:03et donc je vais calculer phi de x, t, phi de y, et on va voir ce que ça va donner,
09:07donc j'ai ça, t, bah ça.
09:10Ce qui me fait m du premier plus le deuxième moins un demi,
09:13tout est au même dénominateur, donc je rassemble tout sur la même fraction,
09:15et après simplification j'ai bien m de 1 moins x moins y sur 2.
09:18On a bien la propriété de morphisme.
09:21On va maintenant montrer que le morphisme est surjectif,
09:23c'est ce que signifie phi de r est égal à e.
09:26C'est-à-dire que n'importe qui dans e admet un antécédent dans r par phi.
09:31Soit donc x dans r, je vais montrer que m de x admet un antécédent dans r.
09:35Et donc je vais poser y est égal à 1 moins 2x,
09:38et donc ce y va être notre antécédent de m de x par phi.
09:42Phi de y est égal à phi de 1 moins 2x,
09:45qui est égal à m de 1 moins notre y sur 2.
09:49Je remplace ici, je fais les calculs, ça me fait 2x sur 2, ça se simplifie,
09:53ça me donne m de x.
09:54Donc n'importe quel m de x admet un antécédent qui est de la forme 1 moins 2x.
09:59J'ai bien montré que phi est surjectif, check !
10:01Question 5b, on déduire que et est un groupe commutatif.
10:04Bon, point d'interrogation parce que je n'ai pas compris la question,
10:07mais en tout cas on a déjà montré que c'est un groupe,
10:09et on a juste à montrer que c'est commutatif.
10:11Ce qui est évident ici, m de x, t, m de y,
10:14c'est évidemment m de y, t, m de x,
10:16puisque ici x plus y, c'est y plus x, check !
10:20Petite précision à la question d'avant,
10:21on a montré que phi est une application surjective de r dans e,
10:25et je te laisse démontrer en commentaire qu'en fait c'est une application injective.
10:29On reviendra sur ça un petit peu après.
10:31Et enfin, dernière question, la question 6,
10:33montre que et fois est un corps commutatif.
10:37On va déjà montrer que et fois c'est un anneau
10:39avec un élément neutre pour la loi T qui vaut m de 1,5
10:44et un élément neutre pour la loi fois qui vaut m de 0.
10:47Ça en fait c'est déjà fait d'après les questions précédentes.
10:50De plus, on a que et est un groupe commutatif d'après 5a et 5b,
10:54parce que dans un anneau, l'ensemble muni de la première loi
10:56doit former un groupe commutatif.
10:58La loi fois est associative.
11:00Oui, on l'a démontré quand on a démontré que ceci est un groupe dans la question 4.
11:04Pour montrer que c'est un anneau, il ne nous reste plus que la distributivité.
11:07Et donc je me donne x, y, z dans R quelconque,
11:10et je vais montrer que ça fois m, y, t, m, z,
11:13c'est égal à m, x fois m, y, t, m, x, m, z.
11:19J'ai bien distribué le m, x à m, y et séparé les deux par un t.
11:24Donc je fais le t dans la parenthèse et ça me donne ceci.
11:27Et je fais le fois et ça me donne la somme des deux moins deux fois le produit des deux.
11:31Donc j'ai bien x plus y plus z moins 1,5 moins 2 fois x fois tout ça.
11:37Je distribue, ça me donne ceci et après simplification ceci.
11:41D'autre part je fais m, x fois m, y, t, m, x fois m, z.
11:44Donc dans les parenthèses je fais les opérations.
11:46J'ai ceci et ceci pour les fois et donc je fais t entre ces deux matrices
11:51et j'obtiens bien ceci, la somme des deux moins 1,5 ce qui me donne cette matrice-là
11:56qui correspond bien à l'autre matrice.
11:58Donc j'ai bien égalité entre les deux et je viens de démontrer la propriété de distributivité.
12:03Check !
12:04Alors dans un anneau non nécessairement commutatif,
12:06il faudrait vérifier la distributivité dans l'autre sens.
12:09Là on dit simplement un mot pour justifier que ça marche dans l'autre sens
12:12puisqu'on a montré que la loi multipliée était commutative.
12:15D'après la question 4.
12:17On a donc bien montré que E, t, fois est un anneau.
12:21On veut donc montrer que c'est un corps commutatif.
12:24On sait déjà qu'il est commutatif puisque la loi fois est commutative, on vient de le dire.
12:27Et toujours d'après la question 4, on a montré que ceci c'est un groupe commutatif.
12:32Ça veut dire que n'importe qui dans l'ensemble est inversible pour la loi multiplicative.
12:35Donc en particulier quand on revient dans l'anneau, tout élément non nul,
12:40puisque je rappelle que c'est M de 1,5, l'élément nul, c'est-à-dire l'élément neutre pour la loi T,
12:44est inversible selon la loi multiplicative.
12:47Ça, ça signifie bien que le triplet E, t, fois est un corps commutatif.
12:53Check ! Final !
12:54Maintenant petite précision, on revient sur l'application dont je t'ai demandé de montrer qu'elle est injective.
12:58Eh bien en fait, tu peux montrer que c'est un morphisme d'anneau.
13:02Et plus particulièrement, du coup, comme les deux anneaux ici sont des corps,
13:06tu peux montrer que c'est un morphisme de corps.
13:08Et ainsi d'après le cours, il y a deux façons de montrer que ce morphisme-là est injectif.
13:12Donc la façon à partir de la définition, que je t'ai demandé de faire en commentaire.
13:17Mais aussi en utilisant la propriété que vérifie chaque morphisme entre deux corps.
13:22Je te laisse aussi le préciser en commentaire.
13:24Donc n'oublie pas, tu dois vérifier que ceci est injectif.
13:27Tu dois vérifier que c'est un morphisme d'anneau et donc de corps.
13:31Et tu dois montrer qu'elle est injective en utilisant la propriété que vérifient les morphismes entre deux corps.
13:36Voilà, je suis allé un peu vite dans certains détails, mais j'espère que c'était clair pour toi.
13:39Et n'hésite pas, si ce n'était pas clair, à poser tes questions en commentaire.
13:42On se retrouve pour la suite du Corrigé. Bisous !