00:00 tableau de signes d'une fonction. Donc c'est quoi le tableau de signes d'une fonction ?
00:03 Le tableau de signes d'une fonction f permet de représenter sur quel intervalle la fonction f est positive,
00:08 c'est à dire pour quelle valeur de x f(x) est supérieure ou égale à 0, c'est positive,
00:15 et sur quel intervalle la fonction f est négative, c'est à dire f(x) est inférieure ou égale à 0,
00:21 négative, positive.
00:24 Donc on symbolise par un signe + le fait que l'image de x par f est positive, f(x) supérieure ou égale à 0.
00:32 On symbolise par un signe - le fait que l'image de x par f est négative, f(x) inférieure ou égale à 0,
00:41 et on symbolise par le signe 0 le fait que l'image de x par f est nulle, f(x) égale à 0.
00:47 Le 0, son signe c'est 0.
00:49 Alors on va essayer de faire un exemple là-dessus, application directe.
00:53 On considère ci-dessous la cope représentative d'une fonction f,
00:57 elle est définie sur -6 jusqu'à 5, en effet, les nombres qui ont une image sont de -6 jusqu'à 5,
01:05 et l'axe de x est toujours là.
01:07 Alors on vous dit que vaut f(1), f(1) c'est l'image de 1, donc je me mets en 1,
01:13 je monte jusqu'à la cope représentative de la fonction f, et c'est en image 1, 2, 3, 4, c'est 4.
01:19 Donc l'image de 1 c'est 4, et quel est le signe ? 4, c'est un nombre qui est supérieur ou égal à 0,
01:25 donc son signe c'est positif, +.
01:28 Ensuite, que vaut f(3), f(3) c'est l'image de 3, donc je me mets en x=3,
01:34 je descends jusqu'à la cope représentative de la fonction,
01:38 et je lis son image sur l'axe des ordonnées, f(3) c'est -4.
01:44 Et quel est le signe de f(3), f(3) ça vaut -4, -4 c'est un nombre inférieur ou égal à 0,
01:52 donc l'image de 3 est négative.
01:54 Ensuite, que vaut f(-2), l'image de -2, je me mets en x=-2,
01:59 je monte jusqu'à la coupe représentative de la fonction f,
02:03 et je lis son image sur l'axe des ordonnées, l'image de -2 est 2.
02:07 Donc l'image de -2 ça vaut 2, et c'est une image qui est supérieure ou égale à 0,
02:13 donc c'est une image positive, c'est une plus.
02:16 Ensuite, que vaut f(-4), donc en x=-4, je me mets en x=-4,
02:20 je descends jusqu'à la coupe représentative de la fonction f,
02:24 et je lis son image sur l'axe des ordonnées qui vaut -1,
02:27 donc l'image de -4 par f est égale à -1.
02:31 Et -1 c'est un nombre inférieur ou égal à 0, donc c'est un nombre négatif,
02:37 donc f(-4) est négative.
02:40 Et ensuite on vous dit pour quelle valeur de x,
02:44 donc ça, ça ne change pas.
02:46 Oui, j'accepte, qu'est-ce qu'on s'en fout, c'est clinaire, et j'accepte les risques.
02:50 Donc pour quel nombre x, donc x est sur l'axe des abscisses,
02:53 avons-nous une image f(x) qui est égale à 0.
02:56 Donc si vous voulez f de quoi est égale à 0 ?
03:00 Par quoi je veux remplacer x ?
03:03 Donc si on regarde, f(-5) quand x vaut -5,
03:08 son image c'est 0, f(-5) c'est bien égal à 0.
03:13 Ah, il y a aussi f(-3)
03:16 quand x vaut -3, son image est égale à 0.
03:19 Et il y a aussi quand x=2, f(2) est égale à 0.
03:24 Donc on répond à la question que l'on vous pose,
03:26 pour quelle valeur de x ?
03:27 On a une image qui est égale à 0, donc c'est pour x=-5,
03:32 et x=-3, et x=2.
03:37 Et ensuite on vous demande de dresser le tableau de signes de la fonction f.
03:42 Donc pour dresser un tableau de signes, l'axe des x,
03:45 c'est l'axe des abscisses toujours en haut,
03:47 et en dessous on a le signe de f(x),
03:51 le signe de l'image de x.
03:53 Donc nous on veut le signe de f.
03:56 Donc on y va, on démarre, l'axe des x il est tout ici,
04:00 donc les x vont de -6 jusqu'à 5,
04:04 et on veut le signe de la fonction f.
04:08 Donc on y va, quand x va de -6 jusqu'à -5,
04:12 c'est à dire que quand x est dans l'intervalle là.
04:14 Qu'est-ce qu'on peut dire de l'image de x ?
04:17 f(x) c'est l'image de x, donc quand x est entre -6 jusqu'à -5,
04:21 l'image de x,
04:23 tac tac tac, si je prends x,
04:26 on image, hop là ça vaut 2,
04:29 on aura une image qui sera supérieure à 0,
04:32 on aura une image positive.
04:34 Donc quand x est entre -6 jusqu'à -5, f(x),
04:37 l'image de x,
04:39 ça va donner une image positive, signe +.
04:42 Ensuite quand x vaut -5,
04:45 on a vu que quand x vaut -5, son image c'est 0,
04:48 le signe de 0 c'est 0, et par convention, hop on met une espèce de barre.
04:52 Ensuite on poursuit, quand x est entre -5 et -3,
04:56 c'est à dire que quand x est sur cet intervalle là,
04:59 entre -5 et -3,
05:01 son image f(x), donc c'est à dire l'image de x,
05:04 tac tac tac,
05:06 son image sera négative,
05:10 donc signe -.
05:12 Donc quand x va de -5 jusqu'à -3,
05:14 on aura une image négative, signe -.
05:17 Ensuite quand x vaut -3, on l'a vu, son image vaut 0,
05:21 donc on met arc 1, 0.
05:23 Et ensuite,
05:25 (moi ça gomme pu)
05:29 Ensuite ensuite, quand x va de -3 jusqu'à 2,
05:34 hop 2 ici,
05:36 quand x est entre -3 jusqu'à 2,
05:38 si x est sur cet intervalle là, on aura une image,
05:42 tac tac tac, hop positive,
05:44 tac tac tac, hop positive,
05:46 si x est là, son image est positive.
05:48 Donc lorsque x est entre -3 jusqu'à -2,
05:51 l'image de x par f est positive,
05:54 donc signe + de -3 jusqu'à 2.
05:57 Quand x vaut 2, l'image vaut 0,
06:00 et quand x est entre 2 jusqu'à 5,
06:04 attention c'est pas 25, c'est 2, hop 5,
06:07 et de 2 jusqu'à 5,
06:09 tac tac tac, si x est sur cet intervalle là,
06:12 son image f(x) sera négative,
06:16 donc signe -.
06:18 Donc ça revient à faire ça, le tableau de signes d'une fonction,
06:20 c'est-à-dire pour quelle valeur de x, j'ai une image qui est positive,
06:24 0 et négative.
06:26 Application suivante,
06:30 ça va être la même chose.
06:32 Alors cette fois-ci on a la courbe représentative
06:37 d'une fonction g définie sur l'intervalle -2,6,
06:41 première question, on vous demande que vaut g(2,2),
06:43 donc g(2,2) c'est l'image de 2,
06:45 donc je me mets en x=2, l'axe de x est toujours là,
06:47 hop, on descend jusqu'à la courbe représentative de g,
06:50 et l'image vaut -4, donc l'image de 2 par g,
06:53 ça vaut -4,
06:55 et quel est son signe ? -4 c'est bien inférieur ou égal à 0,
06:58 c'est plus petit que 0, donc son signe est négatif.
07:01 Ensuite g(2, -3),
07:04 c'est l'image de -3 par la fonction g,
07:07 donc je me mets en x=-3,
07:09 je monte jusqu'à la courbe représentative de la fonction g,
07:13 et je lis son image sur l'axe des ordonnées,
07:16 qui vaut 2, donc l'image de -3 par g vaut 2,
07:19 et 2 c'est bien un nombre supérieur ou égal à 0,
07:22 donc g(2, -3) ça donne un nombre positif,
07:26 2 est un nombre positif.
07:28 Ensuite, on vous demande pour quelle valeur de x,
07:32 donc l'axe des x est toujours l'axe des abscisses,
07:34 pour quelle valeur de x ? On a g(x),
07:36 on a une image qui est égale à 0,
07:38 c'est-à-dire g de quel nombre x vaut 0 ?
07:41 On constate que g(-2) ça vaut 0,
07:46 et on a g(4) qui vaut 0,
07:52 donc on répond bien à la question,
07:54 pour quelle valeur de x g(x)=0 ?
07:56 C'est pour x=-2 et x=4.
08:01 Ensuite, pour quelle valeur de x g(x) est-elle plus grande ?
08:11 Le crocodile mange le plus grand,
08:13 est-elle supérieure ou égale à 0 ?
08:15 Ça veut dire pour quel nombre x,
08:17 j'ai une image par g qui est supérieure à 0,
08:20 c'est-à-dire j'ai une image qui est positive.
08:22 Donc c'est quels sont les nombres x qui ont une image positive ?
08:25 Je ne sais pas, si je prends x=-3,
08:28 son image, g(-3) ça vaut 2,
08:31 donc si x vaut -3, son image vaut 2,
08:33 c'est bien positive.
08:35 Si x vaut 5, son image ça vaut 1,
08:39 et 1 c'est bien un nombre positif.
08:41 Donc quels sont les nombres x qui ont une image
08:43 positive par la fonction g ?
08:45 Alors, ce sont tous les nombres x qui sont sur -4, -2,
08:51 si x est entre -4 et -2,
08:53 donc c'est l'intervalle,
08:55 x appartient à l'intervalle -4, -2,
08:57 si x est entre -4 et -2,
08:59 son image sera positive,
09:01 supérieure ou égale à 0.
09:03 Union,
09:05 et sur quel autre intervalle
09:07 on a une image positive ?
09:09 C'est quand x va de 4 jusqu'à 6.
09:11 Union, l'intervalle de 4 jusqu'à 6.
09:15 L'intervalle 4, 6.
09:17 En effet, si x est sur l'intervalle 4, 6,
09:19 son image sera positive,
09:21 supérieure ou égale à 0.
09:23 Et donc la question d'en dessous,
09:25 pour quelle valeur de x avons-nous g(x)
09:27 inférieure ou égale à 0 ?
09:29 Ça signifie, pour quelle valeur de x
09:31 j'ai une image négative par la fonction g ?
09:35 Donc quels sont les nombres x qui ont une image
09:37 plus petite ou égale à 0 par la fonction g ?
09:39 On constate que ce sont tous les nombres x
09:41 de -2 jusqu'à 4.
09:43 Si x est entre -2 jusqu'à 4,
09:45 si je prends x=2,
09:47 son image chez -4 est bien négative,
09:49 c'est bien plus petit que 0.
09:51 Si je prends x=0,
09:53 son image par g c'est -3,
09:55 -3 c'est bien négatif.
09:57 Donc tous les nombres x entre -2 et 4
09:59 ont une image négative par la fonction g.
10:01 Donc ces x appartient à l'intervalle -2 jusqu'à 4.
10:07 En répondant à ces trois questions,
10:09 on a quasiment dressé le tableau de signes
10:11 de la fonction g.
10:13 On dresse x, toujours la première ligne,
10:17 les x vont de -4 jusqu'à 6.
10:21 Et en dessous on marque signe...
10:25 (C'est le signe de la fonction g qu'on veut,
10:31 donc x, et on marque bien signe de g(x)).
10:33 Les x sont toujours ici,
10:37 ils vont de -4 jusqu'à 6.
10:41 On l'a déjà vu,
10:43 quand x va de -4 jusqu'à -2,
10:45 quand x est là-dedans,
10:47 son image g(x) est positive.
10:51 Donc de -4 sur -4, -2,
10:53 signe de g(x) positive.
10:57 Quand x vaut moins de l'image,
10:59 le signe de 0 c'est 0.
11:01 Ensuite, quand x va de -2 jusqu'à 4,
11:05 quand x est sur cet intervalle-là,
11:07 l'image de x est négative.
11:11 Donc signe de -2 jusqu'à 4,
11:13 on a une image négative.
11:15 Quand x vaut 4,
11:17 son image par g vaut 0.
11:19 Et quand x va de 4 jusqu'à 6,
11:23 quand x est sur cet intervalle-là,
11:25 son image est positive.
11:29 Et voici le tableau de signe de la fonction g.
11:33 merci à bientôt
