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00:00 On va passer à la seconde vidéo qui va parler de courbe représentative et de lecture d'image et d'antécédent.
00:06 On vous dit courbe représentative d'une fonction f.
00:10 On se place dans un repère où j'ai du plan, on considère une fonction f définie sur son domaine de définition par D2f.
00:16 La courbe représentative de f, notée cf, est l'ensemble des points de coordonnées xf de x pour x parcourant l'ensemble d'f.
00:25 Propriétés. Lecture graphique d'image et d'antécédent. Les images se lisent sur l'axe des ordonnées et les antécédents se lisent sur l'axe des abscisses.
00:34 Je rappelle que l'axe des x, c'est l'axe des abscisses.
00:41 Et l'axe vertical, c'est l'axe des ordonnées.
00:50 Et c'est ici où on lit les images f(x).
00:54 Donc l'axe des x, abscisse, horizontal, l'axe des ordonnées, f(x), vertical.
01:00 Attention, lecture graphique est souvent imprécise.
01:03 C'est ce qu'on vous dit des fois, c'est une estimation souvent de lecture graphique.
01:07 La valeur exacte d'une image, c'est de faire le calcul.
01:10 Donc, remarque chaque real x du domaine de définition d'une fonction f admet une unique image.
01:16 Cependant, une image k peut avoir soit zéro, soit un ou plusieurs antécédents.
01:21 Et propriété, un point a d'abscisse.
01:24 Donc x_a, je vous rappelle que c'est l'abscisse de a.
01:28 Et y_a, c'est l'ordonnée de a.
01:32 Donc si j'ai a=2,3, c'est-à-dire que dans un repère 1,2,
01:37 c'est-à-dire que l'abscisse vaut 2, 1,2, et l'ordonnée vaut 1,2,3.
01:41 Donc le point a, il est ici, abscisse 2, ordonnée 3.
01:45 Donc un point a d'abscisse x_a et d'ordonnée y_a appartient à la cope représentative d'une fonction f
01:54 si et seulement si l'image de x_a est égale à y_a.
01:58 On y va, donc ça c'est la théorie, c'est le cours, on y va pour l'application directe.
02:04 Donc comme on dit, on considère ci-dessous la cope représentative d'une fonction f.
02:09 Donc l'axe des abscisses, l'axe des x, il est toujours là.
02:12 Ça c'est l'axe des x, c'est l'axe des ordonnées, l'axe des images, f(x) il est là.
02:17 Et on vous dit quel est le domaine de définition de la fonction f.
02:20 Donc le domaine de définition, c'est-à-dire quels sont les x qui ont une image par la fonction f.
02:26 On constate que par exemple, si x vaut -5, on voit bien que -5, il n'a aucune image.
02:34 Si x vaut 4, 5, 6, il n'a aucune image.
02:42 Donc le domaine de définition, c'est dire sur quel intervalle la fonction est-elle définie.
02:47 Donc c'est sur l'axe des x, les intervalles, donc c'est dire la fonction est définie pour x allant de -4 jusqu'à 4.
02:57 Donc le domaine de définition, c'est un intervalle, c'est-à-dire ce sont tous les nombrels,
03:01 de -4 compris jusqu'à 4 compris.
03:06 Ensuite, question 2, quelle est l'image de 2 par f ?
03:10 Donc l'image de 2, la notation c'est f(2).
03:14 Ça c'est l'image de 2 par la fonction f.
03:17 Donc pour avoir l'image de 2, on se met en 2 en abscisse.
03:21 On monte jusqu'à la courbe représentative de la fonction f, et on lit son image sur l'axe des ordonnées.
03:27 L'image de 2, c'est 1,5. Donc f(2), l'image de 2 par f est égale à 1,5.
03:33 Ensuite, quelle est l'image de 0 par rf ?
03:36 Donc l'image de 0, c'est f(0).
03:39 Et qu'est-ce que vaut l'image de 0 ?
03:41 On se met en 0 jusqu'à l'axe des abscisses.
03:44 On monte jusqu'à la courbe représentative de la fonction f, et on lit son image sur l'axe des ordonnées, c'est 1.
03:49 L'image de 0 est égale à 1.
03:52 Ensuite, quelle est l'image de -1,5 par la fonction f ?
03:56 On se met à -1,5 sur l'axe des abscisses.
04:00 On descend jusqu'à la courbe représentative de la fonction f,
04:04 et on lit son image sur l'axe des ordonnées, qui vaut -1,5.
04:08 L'image de -1,5 par f, c'est encore une fois -1,5.
04:14 Donc ça, c'est une lecture d'image.
04:17 Maintenant, les antécédents, c'est faire l'inverse.
04:19 Quel est l'antécédent de 3 par f ?
04:22 Les antécédents, c'est dire qu'on a 3 à l'arrivée, et nous, les antécédents, c'est le passé.
04:26 Donc on cherche quels sont les antécédents de 3.
04:29 Les antécédents de 3, cette fois-ci, on se met à 3 sur l'axe des images, sur l'axe des ordonnées,
04:34 et on regarde le passé.
04:36 On trace une ligne horizontale, et quel est son antécédent ?
04:40 Il y a un point d'intersection ici, et on descend, c'est 1.
04:44 En effet, quand x vaut 1, si je choisis 1 comme nombre de départ, l'image de 1 par f, ça vaut 3.
04:50 Donc là, l'antécédent de 3, c'est 1.
04:53 Quel est l'antécédent de 3 par f ? C'est 1.
04:56 Ensuite, quels sont les antécédents de 1 par f ?
05:03 Cette fois-ci, on veut les antécédents de 1, c'est le passé.
05:07 C'est-à-dire qu'à l'arrivée, je suis en 1, et nous, on veut ses antécédents.
05:12 On trace une droite horizontale, et on regarde.
05:15 Ses antécédents, on recule, il y a -3,5.
05:19 Un deuxième antécédent, il y a également -2,5.
05:23 Attention à ne pas oublier celui-ci, il y a aussi 0 qui est un antécédent de 1.
05:28 Il y a également 2,5.
05:31 Et il y a aussi comme antécédent 3,5.
05:34 Donc finalement, 1 a 5 antécédents, -3,5, -2,5, 0, 2,5 et 3,5.
05:47 Ensuite, quels sont les antécédents de -2 par la fonction f ?
05:52 Les antécédents de -2, c'est-à-dire qu'on est arrivé en -2 sur l'axe des ordonnées.
05:56 On trace une droite horizontale, et on regarde ses antécédents.
05:59 Ah ben là, il n'y en a aucun.
06:02 Donc, -2 n'a pas d'antécédent.
06:05 Le pauvre.
06:10 Par f.
06:15 Et ensuite, question. Le point A d'Apices 3.
06:19 Je vous rappelle, Apices ordonnées.
06:21 Donc, Apices 1, 2, 3, ordonnées 1.
06:24 Le point A, il est là.
06:27 Question, est-il sur la courbe représentative de la fonction f, ce point A ?
06:32 On voit bien que non, il n'est pas dessus.
06:37 Et là, il faut justifier, car on dit ça en la propriété.
06:41 Pourquoi il n'est pas sur la courbe ?
06:44 Il aurait dû être où s'il devait être sur la courbe ?
06:47 C'est le point d'Apices 3, et d'ordonnées 0, 5 qui est sur la courbe.
06:52 Donc, pourquoi A n'est pas sur la courbe ?
06:54 Non, car l'image de 3, ça vaut combien ?
06:57 Car f(3)
06:59 f(3) c'est l'image de 3.
07:01 f(3) si on se met en x=3, l'image de 3, par la fonction f, ça vaut 0,5.
07:07 Donc non, le point n'est pas sur la courbe, car l'image de 3 par la fonction f est égale à 0,5.
07:12 Et ce n'est pas égal à 1.
07:15 Donc finalement, pour que A soit sur la courbe,
07:18 A aurait dû avoir pour coordonnées 3 en apices, et 0,5 en ordonnées.
07:23 Donc non, A n'est pas sur la courbe représentative de la fonction f,
07:26 car l'image de 3 par la fonction f, ça vaut 0,5, ce qui n'est pas égal à 1.
07:32 Ensuite, là on avait une courbe représentative.
07:36 Là on va faire l'inverse, c'est qu'on a l'expression d'une fonction,
07:38 et on va tracer sa courbe représentative.
07:41 En tout cas, une partie de sa courbe.
07:44 Donc on vous dit, soit f définit sur les nombrels par f(x)=x²,
07:49 construire le tableau de valeur de f allant de -3 à 3, avec un pas de 0,5.
07:56 Donc -3 à 3, c'est dire que les x, on les démarre de -3 jusqu'à 3.
08:01 Et le pas de 0,5, c'est dire qu'à chaque fois, on augmente de 0,5.
08:05 -3, -2,5, -2, -1,5, -1,0, -0,5, 0,0,5, 1,1,2, 2,1,2, 3, à chaque fois on augmente de 0,5.
08:13 C'est ça le pas.
08:15 Donc, construire le tableau de valeur de f allant de -3 à 3 avec un pas de 0,5,
08:21 donc on marque les x ici, et en dessous f(x), ce sont les images.
08:25 Donc on va juste calculer les images.
08:27 Donc on va faire le plus simple.
08:29 Quand x vaut 0, son image c'est donc f(0), qui est égal à quoi ?
08:32 0², 0*0=0.
08:36 Ensuite, quand x vaut 1, l'image de 1 c'est f(1).
08:39 Ça vaut quoi ? 1², attention c'est 1*1, ce qui donne 1.
08:45 Quand x vaut 2, son image f(2), 2², 2*2=4.
08:51 Quand x vaut 3, son image c'est f(3), 3², 3*3=9.
08:57 Attention ici, quand x vaut -1, son image c'est f(-1), et on calcule -1²,
09:03 attention -1*-1=1.
09:07 Quand x vaut -2, son image c'est -2², -2*-2=4.
09:14 Quand x vaut -3, -3², -3*-3=9.
09:21 Et après on calcule les suivants.
09:24 L'image de 0,5, 0*5²=0*5*0=5.
09:29 Donc la moitié fois la moitié, ça donne 1/4, 0*5*0=5=0.25.
09:35 f(1,5), 1*1=1,5, 1*1=1,5*1=2.25.
09:45 L'image de 2, f(2), 2*2=2,5, 6*2=25.
09:52 Et après je vous laisse calculer les suivants.
09:54 L'image de -0,5, c'est 0,25.
09:57 L'image de -1,5, vous trouvez 2,25.
10:00 Et l'image de -2,5, vous trouvez 6,25.
10:04 Alors la question qu'on vous demande, c'est de tracer sa courbe représentative.
10:09 C'est super simple, là on a l'axe des x,
10:11 donc l'axe des x est toujours ici,
10:14 et ça c'est l'axe des ordonnées, les images.
10:17 Donc on y va, quand x vaut -3,
10:19 donc attention les graduations sont de -0,5 à -0,5,
10:22 donc là j'ai -1, -2, -3, il est là.
10:24 Là ça va de -0,5 à 0,5, et là ça va de 1.
10:28 Donc quand x vaut -3, l'axe des x est là,
10:31 quand x vaut -3, son image vaut 9.
10:33 Donc 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, on met un point ici.
10:37 Quand x vaut -3, son image vaut 9, un gros point ici.
10:42 Quand x vaut -2,5, son image vaut 6,25.
10:46 1, 2, 3, 4, 5, 6, 25, on a un point ici.
10:50 Quand x vaut -2,5, son image vaut 6,25.
10:54 Quand x vaut -2, son image vaut 4,
10:57 donc 1, 2, 3, 4, un gros point ici.
11:00 Quand x vaut -1,5, son image vaut 25,
11:04 donc un gros point ici.
11:07 Quand x vaut -1, son image vaut 1,
11:11 donc un point ici.
11:13 Quand x vaut -0,5, son image vaut 0,25,
11:18 donc un point ici.
11:19 Et quand x vaut 0, son image vaut 0.
11:22 Et on constate que par symétrie, on fait pareil.
11:24 Quand x vaut 0,5, son image vaut 0,25, un point là.
11:29 Quand x vaut 1, son image vaut 1,
11:32 donc un point ici.
11:37 Quand x vaut 1,5, son image vaut 2,25,
11:41 un point ici.
11:45 Quand x vaut 2, son image vaut 4,
11:48 1, 2, 3, 4, un point ici.
11:53 Quand x vaut 2,5, son image vaut 6,25,
11:56 donc un point ici.
12:00 Et quand x vaut 3, son image vaut 9,
12:03 donc un point ici.
12:05 Et finalement, on peut tracer une partie de la courbe représentative
12:07 de la fonction f.
12:08 Donc ça c'est la fonction carré,
12:09 f(x) = x^2, c'est la fonction carré.
12:12 Et on trace ça à la main.
12:14 Et vous vous souvenez de votre courbe seconde,
12:16 ça c'est la fonction carré.
12:18 Comment ça s'appelle ce type de représentation graphique
12:21 que l'on obtient ?
12:23 Ça ça s'appelle, on obtient une parabole.
12:28 Alors, les questions.
12:29 On y va.
12:30 Le point A d'Apcis3,
12:32 donc Apcis3 ordonnée 9,
12:34 le point A il est là.
12:37 Est-ce qu'il est sur la courbe de la fonction f ?
12:40 La réponse c'est oui.
12:42 Mais pourquoi il est bien sur la courbe de la fonction f ?
12:44 Parce que l'image de 3, f(3) c'est l'image de 3,
12:47 l'image de 3, eh bien, égale à 9.
12:51 Ensuite, le point B, Apcis1, ordonnée 2,
12:55 donc 1,2, donc le point B il est là.
12:58 Est-il sur la courbe de la fonction f ?
13:01 Non, on voit bien qu'il n'est pas non,
13:03 car pourquoi ?
13:05 Apcis1 ordonnée 2, pourquoi il n'est pas sur la courbe ?
13:09 On conseille que l'image de 1,
13:12 quand x va en l'image de 1,
13:14 c'est égal à 1.
13:16 Et ça, ce n'est pas égal à 2 qui est l'ordonnée de B.
13:20 Pour que B soit sur la courbe,
13:22 B aurait dû avoir pour coordonnée 1,1.
13:25 Ensuite, le point C, Apcis-1, ordonnée 1,
13:30 le point C il est là.
13:32 Est-ce qu'il est sur la courbe de la fonction f ?
13:34 Je pense oui, on voit bien qu'il est sur la courbe,
13:36 car l'image de -1,
13:38 f(-1)-1^2, c'est bien égal à 1.
13:41 Et enfin, le point E,
13:44 d'Apcis-2,
13:46 et d'ordonnée 5,
13:49 donc -2,
13:51 il faut bien que je trace la courbe,
13:54 -2, 5,
13:59 donc le point E il est là.
14:01 Est-ce qu'il est sur la courbe représentative de la fonction f ?
14:04 On voit bien que non,
14:06 car pourquoi ?
14:08 L'image de -2, quand x vaut -2, son image c'est 4.
14:11 Non, car l'image de -2 par f, c'est 4.
14:14 Et ça, ce n'est pas égal à 5 qui est l'ordonnée du point E.
14:18 On poursuit sur la résolution graphique d'équations d'inéquations.
14:24 Résolution d'une équation, je vous laisse le lire.
14:26 Résolution d'une inéquation,
14:28 je vous rappelle c'est quand il y a le symbole égal,
14:30 inéquation c'est quand il y a le symbole supérieur ou égal,
14:36 ou inférieur ou égal, etc.
14:38 Je vous laisse lire comment résoudre une équation,
14:40 f(x) = k, f(x) = g(x)
14:42 Je vous laisse lire,
14:44 et ce qu'il faut savoir faire, c'est faire l'application comme d'habitude.
14:47 Je vous rappelle que dans une courbe, l'axe des x ne bouge pas,
14:51 l'axe des x est toujours là,
14:53 ça c'est l'axe des x, et c'est écrit en plus.
14:55 Et ça c'est l'axe des images, f(x).
14:58 On vous dit, "Voici 6 dessous de courbe
15:00 pour présenter 6 des fonctions f et g sur l'intervalle -2".
15:04 Je vais cliquer sur "Gomme".
15:08 De -2 jusqu'à 6.
15:10 Oui, on voit bien que les courbes vont de -2 jusqu'à 6.
15:14 Il n'y a pas de secret.
15:16 OK.
15:17 Et on vous dit, d'abord,
15:19 il faut identifier que vos f et g,
15:21 comment on sait qui est f et qui est g ?
15:24 Il suffit de dire, là, c'est g.
15:26 C'est g, c'est-à-dire c'est la courbe de la fonction g.
15:30 Au bourrion, ça c'est cg.
15:33 Courbe de la fonction g.
15:35 Là, si vous regardez, il y a écrit cf.
15:37 Là, c'est la courbe de la fonction f.
15:39 La courbe de la fonction f, c'est celle qui est en vert.
15:42 Et la courbe de la fonction g,
15:46 c'est celle qui est en rouge.
15:49 On vous dit, pour quelle valeur de x ?
15:53 L'axe des x est toujours l'axe des abscisses.
15:55 Pour quelle valeur de x ?
15:57 f(x) = 3.
15:59 C'est-à-dire, pour quel nombre x,
16:01 f(x) = 3.
16:03 C'est à vous de ne trouver que vos x.
16:06 f(x) = 3.
16:08 L'image de quel nombre par f est égale à 3 ?
16:10 Si x vaut 4,
16:12 regardez si x vaut 4,
16:14 l'image de 4 par f,
16:16 c'est bien égale à 3.
16:20 f(4) = 3.
16:24 Est-ce qu'il y a autre chose ?
16:26 Oui, l'image de 5.
16:29 Si on regarde l'image de 5, quand x vaut 5,
16:31 si je me mets en x = 5 son image,
16:34 c'est bien égale à 3.
16:38 Et f(5) = 3 aussi.
16:40 Finalement, pour quelle valeur de x ?
16:44 f(x) = 3.
16:46 C'est quand x vaut 4,
16:48 et x vaut 5.
16:50 Il y a deux solutions.
16:52 x = 4 et x = 5.
16:54 On y va, même consigne,
17:00 pour quelle valeur de x ?
17:02 Pour quel nombre de x ?
17:04 f(x) = 1.
17:06 On veut que l'image de x soit égale à 1.
17:10 Pourquoi 5 ?
17:14 On essaie d'en trouver.
17:16 Quand x vaut 3,
17:20 si x vaut 3,
17:22 regardez par la fonction f,
17:24 je monte jusqu'à la courbe,
17:26 l'image de 3 vaut bien 1.
17:28 Donc on a f(3) = 1.
17:30 Est-ce qu'il y en a un autre ?
17:32 Oui, à peu près,
17:34 f(5,7)
17:36 quand x vaut 5,7,
17:38 son image, c'est bien égale à 1.
17:40 Je vous rappelle qu'une lecture graphique
17:42 est souvent précise.
17:44 Donc f(5,7) = 1.
17:48 Est-ce qu'il y en a un autre ?
17:50 Oui, à peu près,
17:52 f(5,7) = -1.5
17:54 quand x vaut -1.5,
17:56 son image par f
17:58 est bien égale à 1.
18:00 Et f(-1.5) = 1.
18:02 Donc finalement,
18:08 pour quelle valeur de x ?
18:10 f(x)
18:12 est-il égal à 1 ?
18:14 C'est pour x = 1.
18:16 Et ça répond à la question.
18:18 Donc finalement, c'est pour
18:20 x = 3
18:22 et x = 5,7
18:24 et x = -1,5.
18:26 Ensuite, résoudre l'équation
18:36 f(x) = 4.
18:38 Résoudre une équation, c'est trouver la valeur que l'on donne à l'inconnu.
18:40 Ici, c'est quoi l'inconnu ? C'est x.
18:42 Donc il faut trouver f de quoi ?
18:44 C'est 4.
18:46 Pour quel nombre de x ?
18:48 L'image par f(x)
18:50 est-elle égale à 4 ?
18:52 Donc on regarde,
18:54 je ne sais pas,
18:56 si x vaut 4,
18:58 son image, ça vaut 3.
19:00 Là, ce n'est pas égal à 4.
19:02 Si x vaut 5,
19:04 son image, ça vaut 3.
19:06 Ce n'est pas égal à 4.
19:08 Donc on regarde,
19:10 si x vaut 5,
19:12 son image, ça vaut 3. Ce n'est pas égal à 4.
19:14 Si x vaut 3,
19:16 son image par f,
19:18 c'est 1. Ce n'est pas égal à 4.
19:20 Finalement, qu'est-ce que l'on constate ?
19:22 On constate que ça ne peut jamais être égal à 4.
19:24 Donc en fait, ça c'est
19:26 impossible.
19:28 Cette équation est impossible.
19:30 Il n'y a aucun nombre de x, tel que la fonction
19:32 f soit égale à 4. Impossible.
19:34 Ensuite,
19:38 même consigne, résoudre l'équation
19:40 g(x) = -1.
19:42 Cette fois-ci, c'est la fonction g, c'est celle qui est en rouge.
19:44 Résoudre l'équation, c'est-à-dire qu'il faut trouver
19:46 que vaut l'inconnu. L'inconnu, c'est x.
19:48 g(x) = -1.
19:50 Pour quel
19:52 nombre x ?
19:54 Quel est le nombre x qu'il y a pour l'image -1 ?
19:56 Je ne sais pas si x vaut 4.
19:58 Je regarde son image,
20:00 son image, c'est 1.5. Ce n'est pas -1.
20:02 Alors, c'est g(x) de quoi ?
20:04 Oui, c'est g(x) de -2.
20:06 Si x vaut -2,
20:08 attention, là c'est la fonction g,
20:10 l'image de -2 par g,
20:12 c'est bien égale à -1.
20:14 g(2) - 2 = -1.
20:16 Est-ce qu'il n'y a que ce nombre x ?
20:18 La réponse, c'est oui.
20:20 g(2) - 2 = -1.
20:22 La solution, c'est x = -2.
20:24 Et la dernière question,
20:32 pour quelle valeur du x ?
20:34 L'axe de x est sur l'axe des sapsis.
20:36 La fonction f = g(x).
20:38 L'image par f(x) = l'image par g(x).
20:40 Si x vaut 3,
20:50 l'image de 3 par la fonction f,
20:54 celle qui est en vert, ça vaut 1.
20:56 L'image de 3 par f, ça vaut 1.
20:58 Et g(3) par la fonction g,
21:02 quand x vaut 3,
21:04 l'image de 3 par la fonction g,
21:06 c'est aussi égale à 1.
21:08 Donc finalement,
21:10 c'est pour x = 3.
21:12 Si x vaut 3,
21:14 on voit bien que l'image de 3 par f,
21:16 c'est égale à l'image de 3 par g, qui vaut 1.
21:18 Mais est-ce qu'il n'y a que pour x = 3 ?
21:20 Ah, il y a aussi pour x = 5.
21:24 Quand x vaut 5, regardez,
21:26 si je monte jusqu'à la courbe représentative
21:28 de la fonction f, l'image est 3.
21:30 Et si je me mets en x = 5,
21:32 et je monte jusqu'à la courbe représentative
21:34 de la fonction g, l'image est égale à 3.
21:36 Donc on peut dire que
21:38 l'image de 5 par f,
21:40 c'est égale à 3,
21:42 et l'image de 5 par g, c'est aussi égale à 3.
21:44 Donc ça marche aussi pour
21:46 x = 5.
21:48 On a trouvé pour quelle valeur de x ?
21:50 Il y a déjà pour x = 3 et pour x = 5.
21:52 Est-ce qu'il y a une dernière valeur ?
21:54 La réponse, oui.
21:56 Si x vaut -1.
21:58 Quand x vaut -1,
22:00 si je regarde son image par f = -1,
22:02 je monte jusqu'à la courbe, c'est 0.
22:04 Et par g, c'est également 0.
22:06 En effet,
22:08 f(-1) = 0,
22:10 g(-1) = 0.
22:12 Donc, il y a pour x = 0 également.
22:14 Donc, il y a pour x = 0 également.
22:16 Donc, finalement,
22:18 pour quelle valeur de x ?
22:20 f(x) = g(x)
22:22 et pour x = 3, pour x = 5,
22:24 et pour x = 0.
22:28 Et on poursuit.
22:30 Résolution graphique d'une équation.
22:32 Une équation, c'est que lorsqu'on a ce symbole-là,
22:34 ou celui-ci,
22:36 ou celui-ci, ou celui-ci.
22:38 Je vous laisse lire tout ça.
22:40 Et ce qu'il faut retenir, c'est
22:42 l'application directe.
22:44 Comme tout à l'heure, les fonctions sont définies
22:46 sur -2,6, domaine de définition.
22:48 La courbe de la fonction g,
22:50 là on a cg, c'est celle qui est en rose-rouge.
22:52 Et la courbe de la fonction f,
22:54 là on a cf, c'est celle qui est en bleu.
22:56 Et comme tout à l'heure,
22:58 on vous dit pour quelle valeur de x ?
23:00 Donc l'axe de x est toujours là, pour quel nombre de x ?
23:02 f(x), donc c'est-à-dire l'image de x,
23:04 est-elle, donc le crocodile là.
23:06 Il mange le plus grand.
23:08 Bon, en vrai, ça ne s'appelle pas un crocodile,
23:10 mais c'est ce qu'on appelle
23:12 quand vous êtes en école primaire.
23:14 Donc il mange le plus grand.
23:16 Donc pour quel nombre de x,
23:18 l'image de x par la fonction f,
23:20 est-elle supérieure ou égale ?
23:22 Ça, je vous rappelle, c'est un double symbole.
23:24 Ça, c'est le symbole plus grand.
23:26 Et il y a aussi le symbole égal.
23:28 Donc c'est-à-dire, est-elle supérieure ou égale à 3 ?
23:30 Donc pour quel nombre de x,
23:32 la fonction f,
23:34 est-elle au-dessus de 3 ?
23:36 Donc par exemple,
23:38 si je prends x = 3,
23:40 son image,
23:42 f(3),
23:44 l'image de 3,
23:46 je monte jusqu'à la courbe de la fonction f,
23:48 c'est 1.
23:50 Donc quand x vaut 3, son image, c'est 1.
23:52 Et là, ce n'est pas plus grand que 3.
23:54 Donc ça ne marche pas.
23:56 Donc quels sont les nombres de x qui ont une image par f
23:58 plus grande que 3 ?
24:00 Supérieure ou égale, pardon.
24:02 Bah oui, vous avez raison.
24:04 Déjà, il y a x = 4.
24:06 Si x vaut 4, son image par la fonction f,
24:08 c'est bien 3.
24:10 Donc ça marche.
24:12 L'image de 4 par f, ça vaut 3.
24:14 Et 3, eh bien supérieure ou égale à 3.
24:16 Oui, il y a aussi
24:18 quand x vaut 5.
24:20 Son image par f vaut 3.
24:22 L'image de 5, ça vaut 3.
24:24 Et c'est bien supérieur ou égal à 3.
24:26 Alors il n'y a que
24:28 x = 4 et 5 ?
24:30 Oui, il y a aussi x = 4.5.
24:32 Quand x vaut 4.5, son image,
24:34 ça vaut 3.1
24:36 ou 3.2, c'est bien supérieur ou égal à 3.
24:38 Donc il n'y a que
24:40 4, 4.5, 5 ?
24:42 Ah, il y a aussi x = 4.2.
24:44 Quand x vaut 4.2,
24:46 son image, ça vaut 3.1.
24:48 C'est bien plus grand que 3.
24:50 Ah, donc il n'y a que ça ?
24:52 Non. Donc finalement, c'est quoi
24:54 toutes les valeurs de x qui ont une image plus grande que 3 ?
24:56 Ce sont tous les x qui sont entre
24:58 4 et 5.
25:00 Donc il faut utiliser la notion d'intervalle.
25:02 C'est x, il est compris,
25:04 entre l'intervalle 4 et 5.
25:06 Donc ça va de 4 intervalles jusqu'à 5.
25:08 Ce sont tous les nombres réels
25:10 entre 4 et 5.
25:12 Il y a 4.1, 4.2, 4.68,
25:14 4.73,
25:16 4.13, 4.185.
25:18 Bref, tous les nombres réels
25:20 entre 4 et 5 auront une image
25:22 plus grande que 3 par la fonction f.
25:24 Ensuite, deuxième question.
25:28 Pour quel nombre x
25:30 avons-nous
25:32 l'image de x par la fonction f ?
25:34 Attention, le crocodile
25:36 mange le plus grand, c'est-à-dire
25:38 que 2 est plus grand que ça.
25:40 Est-elle inférieure ou égale à 2 ?
25:42 Quels sont les nombres x qui ont une image
25:44 plus petite que 2 par f ?
25:46 Je ne sais pas, si je prends x = 1,
25:48 son image par la fonction f, ça vaut -1.
25:50 -1, ce n'est pas plus petit.
25:52 Ah bah si, c'est plus petit que 2.
25:54 Pardon, donc il y a x = 1.
25:56 Alors, quels sont les nombres x
25:58 qui ont une image plus petite que 2 ?
26:00 On constate qu'il y a
26:02 tous les nombres x entre -2
26:04 et -2 jusqu'à
26:06 3.5.
26:08 En effet, si x est entre -2
26:12 et 3.5, vous prenez
26:14 tous les nombres x là-dedans, ils ont tous
26:16 une image inférieure ou égale à 2.
26:18 Si je prends x = -2, son image
26:20 chez 2, c'est bien plus petit ou égale à 2.
26:22 Si je prends x = 3,
26:24 son image chez 1, c'est bien plus
26:26 petit que 2. Donc déjà, il y a tous les
26:28 nombres entre -2 et
26:30 3.5 qui ont une image plus petite
26:32 que 2. Donc on écrit, ce sont
26:34 tous les x entre -2
26:36 jusqu'à 3.5.
26:38 Et est-ce qu'il n'y a que
26:40 ces nombres-là qui ont une image plus petite
26:42 que 2 par la fonction
26:44 f ? Donc 2, c'est là.
26:46 Si je trace la ligne droite,
26:48 il y a tous les nombres entre -2 et
26:50 3.5, mais il y a
26:52 aussi tous les nombres entre
26:54 5.5
26:56 et 6.
26:58 Si x
27:00 est entre 5.5 et 6,
27:02 l'image, si x
27:04 vaut 6, son image chez 0. Si x vaut
27:06 5.5, ça vaut 2. Si x vaut 5.7,
27:08 son image est 1.8.
27:10 Et il y a aussi tous les nombres entre 5.5
27:12 et 6. Donc on écrit union
27:14 tous les nombres entre
27:16 5.5 jusqu'à 6.
27:18 Allez, cette fois-ci,
27:22 attention,
27:24 c'est avec la fonction... Ah non, c'est encore avec la fonction
27:26 f. Donc, résoudre l'équation,
27:28 c'est comme tout à l'heure, l'inconnu c'est x.
27:30 C'est-à-dire, pour quel nombre x
27:32 avons-nous une image par f qui est
27:34 plus petite que 0 ?
27:36 Quels sont les nombres x qui ont une image
27:38 plus petite que 0 par f ? Si je prends x = 1,
27:40 si x vaut 1,
27:42 son image, ça vaut -1,
27:44 c'est plus petit que 0, strictement.
27:46 Alors quels sont tous les nombres
27:48 x qui ont une image plus petite que 0 ? On constate
27:50 que ce sont tous les nombres x entre -1
27:52 et 2.2.
27:54 Si x est entre -1 et 2.2,
27:58 leur image sera, hop,
28:00 plus petite que 0.
28:02 Sauf qu'attention, là c'est strictement plus petit
28:04 que 0, donc c'est x appartient
28:06 à -1 exclu
28:08 jusqu'à 2.2
28:10 exclu.
28:12 Quand le crochet est tourné
28:14 dans ce sens-là, c'est-à-dire qu'on ne prend pas -1.
28:16 Ensuite, cette fois-ci, on passe bien
28:18 à la fonction g. Donc, même
28:20 consigne, résoudre l'équation, c'est trouver la
28:22 valeur de l'inconnu c'est x, donc c'est-à-dire pour
28:24 quel nombre x
28:26 avons-nous une image par g
28:28 qui est strictement plus grande que 1 ?
28:32 Donc si je prends, je ne sais pas, si je prends -1
28:34 et que je regarde son image par g,
28:36 hop, ça vaut 3.4.
28:38 Ce qui est bien strictement plus grand
28:40 que 1. Donc ça marche pour -1.
28:42 Si je prends x = 2
28:44 et que je regarde son image par g,
28:46 hop, ça vaut 1.8,
28:48 c'est bien strictement plus grand que 1.
28:50 Donc quels sont tous les nombres x
28:52 qui ont une image plus grande que 1
28:54 par g ? Ce sont tous les nombres x
28:56 entre -2 jusqu'à
28:58 3. Tous les x
29:00 de -2 jusqu'à 3 ont une
29:02 image par g
29:04 qui sera plus grande
29:06 que 1.
29:08 Donc c'est x appartient
29:10 exclu... Ah non, là c'est
29:12 compris. L'image de -2
29:14 ça vaut 4, c'est bien plus grand que
29:16 1. Donc de -4...
29:18 Ah, x va de -2, pardon.
29:20 Compris. Jusqu'à
29:24 3, l'image de 3 ça vaut 1.
29:26 1 ce n'est pas strictement plus grand que 1, donc jusqu'à
29:28 3 exclu.
29:30 Et enfin,
29:32 la dernière consigne, question,
29:34 pour quelle valeur de x avons-nous
29:36 f(x) qui est inférieur
29:38 ou égal à g(x) ? Le crocodile
29:40 mange le plus grand, c'est-à-dire que g(x) est
29:42 plus supérieur à f(x).
29:44 Donc c'est-à-dire pour quelle valeur de x
29:46 la fonction g est-elle au-dessus
29:48 de la fonction f ? Donc c'est
29:50 pour quel nombre x que la fonction
29:52 g sera au-dessus de la fonction f ?
29:54 On voit que ce sont
29:56 pour tous les x qui vont
29:58 de -2 jusqu'à 3.
30:00 Quand x va de -2
30:02 jusqu'à 3, on constate bien que sur
30:04 certains intervalles-là, la fonction g
30:06 est bien au-dessus
30:08 de la fonction f.
30:10 Donc quand x va de
30:12 -2 jusqu'à 3,
30:14 la fonction g est bien
30:18 supérieure à la fonction f.
30:20 Et après on constate, ça c'est pas
30:22 demandé, que quand x va de 3 jusqu'à 6,
30:24 on constate que cette fois-ci,
30:26 c'est la fonction f qui sera
30:28 au-dessus de la fonction g.
30:30 Et voici pour cette application
30:32 directe.