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ミュージックトランスクリプション
00:00笑わない数学
00:04今日のテーマは
00:08フェルマーの最終定理
00:1217世紀のフランスの数学者
00:15フィエールド・フェルマーが残した
00:17数学史上最大のミステリーとも呼ばれた難問です
00:22なぜミステリーと呼ばれたのか
00:25実はフェルマーはこの問題を
00:27自ら証明したと書き記しているんですが
00:31どこを探してもその証明が見つからなかったからなんです
00:37その後数々の数学者が
00:40フェルマーの最終定理の証明に挑んでは敗れ去
00:44り
00:44結局350年経って
00:47ようやく証明にたどり着いたという代物なんです
00:52でもこの難問
00:54問題自体を理解するのは意外と簡単です
00:58まずはこれをご覧ください
01:08ここで皆さんに質問です
01:11この式を満たす
01:12XYZの組は存在するでしょうか
01:18えっそれなら中学校で習ったって
01:22はいはい
01:23例えば
01:25Xが3
01:26Yが4
01:27Zが5
01:29であれば
01:30この式を満たしますよね
01:33他にも
01:34この式を満たす
01:35XYZの組は
01:38たくさんあるんです
01:41じゃあもし
01:42ここが2乗じゃなくて
01:443乗だったらどうでしょう
01:46この式を満たす
01:48XYZの組はあるでしょうか
01:51ちょっとやってみましょう
01:53カモン
01:54よしよしよし
01:55来た来た来た
01:56はいはいはい
01:57頑張って
01:58よし
01:59おっしゃやろうか
02:03じゃあ尾形さん
02:04Zに入る数を探してみてください
02:06OK
02:07OKやっていこう
02:08はい
02:091の3乗は1
02:10足す
02:111の3乗は1
02:12ここは2ね
02:14うん
02:15だからダメね
02:16だからこれは
02:17だから
02:173乗して2になる数なんてないから
02:19はい
02:20ね
02:20これダメです
02:21はい
02:22はい
02:23次やっていきますよ
02:24サザンが9
02:25クサン27
02:28足す
02:29で
02:30四四16
02:3116かけ4
02:32はい
02:3416
02:4364は91
02:47合ってます
02:4991もないねこれ
02:52ないないと思う俺は
02:54いや絶対
02:55ないないないないない
02:56これないわ
02:56はい
02:56これないね
02:57はい
02:58はい
02:59こっち行くよ
03:016636
03:0336かけ6
03:04点択ある
03:05あります
03:05頼むわ
03:06216です
03:08216
03:09足す
03:10葉っぱ64
03:1364
03:14かけ8
03:17512は728
03:25はい
03:27728
03:28これありそうだな
03:30ありそうよこれ
03:31はい
03:323乗なる
03:33なりそうよ
03:359
03:369
03:369いけない
03:379
03:37はい
03:389いけるだろ
03:39これ
03:409かける
03:409かける
03:429
03:43そう
03:43はい
03:44きた
03:44700
03:45おー
03:469です
03:47うわー
03:49惜しい
03:51729か
03:52はい
03:53ないわ
03:53これもダメだ
03:55ダメダメダメ
03:563乗だとね
03:58XYZがないかもしれないね
04:01これ
04:01これはないかもしれないです
04:02ああ
04:03OK
04:03サンキュー
04:06はい
04:07そろそろ皆さんも分かってきたんじゃないですか
04:10フェルマーはこう言ったんです
04:12Nが3以上の場合
04:14この式を満たすXYZの組は一つも存在しないと
04:20つまりNが3でも4でも100でも1000でも1万でも
04:27式を満たすXYZは絶対にないってことなんですよ
04:34フェルマーのこの主張
04:36本当に正しいのかどうか
04:38それを証明しろという問題が
04:41フェルマーの最終定理なんです
04:48フランスパリから500キロほど離れた田舎町
04:561607年
04:57フェルマーはこの家で生まれました
05:03同じ時代を生きた科学者といえば
05:06ケプラー、ガリレオ、ニュートン
05:09ヨーロッパを中心に近代的な科学が発展した時でした
05:17フェルマーは確率論や気化学など
05:20当時最先端の研究を行い
05:23数学界をリードする存在でした
05:30そんなフェルマー
05:3230歳の頃
05:33こんなメモを手元にあった本の余白に書き留めます
05:402乗よりも大きいべきの数を
05:42同じべきの2つの数の和で表すことは
05:46不可能である
05:49これを現代風に言うと
05:52Nが3以上の場合
05:53この式を満たすX、Y、Zの組は存在しない
06:01ところがフェルマーは続けて
06:04こんなことを書き足したんです
06:08私は真に驚くべき証明を見つけたが
06:14この余白はそれを書くには狭すぎる
06:19なんとフェルマー
06:21さっきのメモが正しいことを示す証明を
06:24どこにも残さないまま
06:26この世を去ってしまったのです
06:29これがその後350年にわたって
06:33数学者たちを悩ませ続けることになる
06:36フェルマーの最終定理の誕生でした
06:42ちょっとフェルマーさん
06:44そりゃないっすよ
06:46余白が足りないんだったら
06:48別の紙に書けばいいじゃないですか
06:50無責任すぎませんか
06:54まあとにかくフェルマーの最終定理は
06:57本当に正しいのかどうか
07:00大きな謎が残されたわけです
07:04その謎を解こうと
07:05その後たくさんの数学者たちが
07:08証明に挑みます
07:10まず成果をあげたのは
07:12この番組の常連
07:14レオンハルト・オイラーです
07:17数学史上類を見ないほどの天才オイラーなら
07:21この問題を解決できるかもって
07:23期待しちゃいますよね
07:27そうオイラーはやったんです
07:31Nが3の時だけですけども
07:34いやー3だけかーってがっかりしましたか
07:38でもねこれ十分すごいことなんですよ
07:42とにかくあのオイラーでも
07:44Nが3の時だけしか解決できなかったってことは
07:48この問題がめちゃくちゃ難しいってことを
07:52分かってもらえるんじゃないでしょうか
07:54思い出してください
07:56フェルマーの最終定理を証明するためには
07:59Nが10の時も1万の時も1億の時も
08:05つまりあらゆるNの時に
08:08正しいと証明しなければなりません
08:13だから一つ一つ
08:15しらみつぶしにあたっていったら
08:17永遠に終わらないってことになっちゃいます
08:23そんな時一つ一つNを当たるんじゃなくて
08:26ある程度まとめて解決しようという
08:29数学者が登場したんです
08:33ソフィー・ジェルマン
08:35当時非常に珍しい女性数学者でした
08:421776年パリ
08:46ジェルマンは裕福な家庭に生まれました
08:50幼い頃から大の数学好き
08:55しかし当時のフランスでは
08:57女性が数学を学ぶことは
09:00社会的に受け入れられていませんでした
09:06両親は娘が数学を学ぶことを止めようとしましたが
09:11それを押し切って
09:13独学で数学を学び続けたといいます
09:19ジェルマンが18歳の時
09:21理系のエリートを養成するための
09:24理工科学校が創設されました
09:29しかし入学を許されるのは男性だけ
09:35そこでジェルマンは男性の名前
09:38ムッシュ・ル・ブランを名乗って
09:40生徒として潜り込み
09:42数学を学んだのです
09:46ジェルマンの才能は
09:48その後数学者の王とも呼ばれた
09:51あのガウスも認めるところとなります
09:58自らを男性と偽りつつ
10:00研究結果をガウスに送って
10:03意見交換をするようになりました
10:10そして1804年
10:13ジェルマンはフェルマーの最終定理の
10:16証明に迫る一つの成果にたどり着きます
10:22有名なフェルマー方程式を証明することに
10:25成功したと考えています
10:28私はこの論考を
10:30先生の判断に委ねたいと思います
10:35ジェルマンが取った戦略は
10:37それまでにはなかった
10:39斬新なものでした
10:43Nに入る数字を
10:45一つ一つ確かめていくのではなく
10:48たくさんのNの場合を
10:50一気に証明する方法を考え出したのです
10:56そのたくさんのNとは
10:58こんな数です
11:01素数のうち2倍して1を足したものが
11:05また素数になるもの
11:09例えば素数5の場合
11:122倍して1を足すと11ですが
11:16これも素数ですよね
11:21素数11の場合も
11:232倍して1を足すと23で
11:27これも素数です
11:32ジェルマンはNが5、11、23、29など
11:38素数のうち2倍して1を足したものが
11:42また素数になるものなら
11:44ある一定の条件の下で
11:46フェルマーの最終定理が
11:48成り立つことを示したのです
11:54たくさんのNの場合を
11:56一気に扱う方法を考え出したジェルマン
12:01しかし女性であることを理由に
12:04論文として発表することは
12:06認められなかったといいます
12:13これはジェルマンが30歳の時に
12:16自分が女性であることを
12:18ガウスに打ち明けた手紙です
12:23そこには女性数学者としての
12:26生きにくさが綴られていました
12:32私は女性だということだけで
12:34受ける差別を恐れ
12:36名前を偽って先生に手紙を送っていました
12:41私が女性だと知った後も
12:43どうか変わらぬ交流を続けていただければと
12:47願っています
12:51ガウスはこう返信しました
12:55女性が数学の道を歩むことは
12:58男性よりもはるかに障害が多いと想像します
13:05それを乗り越え
13:06数学という難解な世界に足を踏み入れているあなたは
13:11崇高な勇気と優れた才能を持っているに違いありません
13:21ガウスはジェルマンに
13:22自分が所属する月賃源大学の
13:25名誉学位を授けようと動きました
13:30しかしジェルマンはその直前
13:3455歳でこの世を去りました
13:41女性だからという理由だけで
13:43正当に評価されなかったジェルマン
13:47でもそんな逆境にもめげず
13:49異様を成し遂げたジェルマンは
13:51本当にかっこいいと思います
13:54さてフェルマーの最終定理の証明への道
13:59ジェルマン以降もある程度の前進は見られました
14:03しかし20世紀に入っても
14:06まだまだ無限に多くのNが残されたまま
14:10ほとんど進まなくなります
14:12あまりの難しさに
14:14多くの数学者はフェルマーの最終定理を
14:18完全に証明することは不可能だ
14:49もう証明を諦めよう
14:50一つの研究が
14:53その後誰も予想しなかった突破口を開くことになるんです
14:59その研究
15:00その研究取り組んでいたのは
15:02二人の若き日本人でした
15:07戦後のやけの原から数学を志した
15:11志村五郎と谷山豊
15:15二人の研究テーマはものすごく変わっていました
15:22こんな感じの方程式の問題と
15:26こんな感じの不思議な絵が
15:28言ってみればつながっているんじゃないか
15:31という研究です
15:35まずはこちらの方程式の問題の方から
15:39ご説明しましょう
15:42この式を満たすXYの組は何個あるか
15:48ただしこの問題を解くためのルールは
15:51普通とは少し違います
15:54いわば時計を使って解きなさいというのです
16:03これは皆さんおなじみの時計
16:07時計の世界では0時から始まって
16:101時、2時と進んでいくと
16:16また0時、1時、2時へと戻りますよね
16:23時計の世界では数字は0から11までしかない
16:27ということになります
16:33ちなみにこの世界で足し算をしてみると
16:389時に4時間を足すと13時ですが
16:44この世界では1時
16:46つまり9たす4は1に等しいというわけです
16:55同じようにもし3時間の時計があったらどうでしょう
17:01この世界では数字は0と1と2しかありません
17:081時は変わらず1時ですが
17:121たす2は0になり
17:192を3回足すと普通は6ですが
17:26この世界では0になります
17:33ここで改めてさっきの問題を見てみましょう
17:38この問題を使える数字が0と1と2だけの
17:423時間の時計の世界で解くとどうなるか
17:53xが0でyが0の時
17:55方程式は
18:000イコール0になってちゃんと成り立つので
18:04xが0、yが0という組は
18:07この式を満たす一つの組み合わせであることが分か
18:11ります
18:14だから表に丸をつけておきましょう
18:24xが0でyが1という組では
18:312イコール0になっちゃいますから
18:34式は成り立ちません
18:38だからここは×
18:44xが0でyが2の時は
18:516イコール0になりますが
18:533時間の時計の世界では
18:566は0に等しいので
18:59ちゃんと式が成り立ちます
19:06こんな感じで
19:073時間の時計の世界では
19:10この式を満たす
19:11x、yの組は
19:134個ということになります
19:19ということで
19:20この表に
19:214個と記録しておきましょう
19:27全く同じように
19:292時間や5時間などの
19:31いろいろな時計の世界で
19:33この式を満たす
19:35xとyの組みの個数を調べて
19:38表に記録していきます
19:42すると
19:43こんな表が出来上がりました
19:46え?
19:47この表の何が面白いのかって?
19:51はい
19:51お気持ちはよく分かります
19:54でもこれが
19:55フェルマーの最終定理につながりますから
19:58もうちょっとだけ我慢してください
20:04さてさて
20:05さっきこう言いましたよね
20:08志村と谷山は
20:10こんな感じの方程式の問題と
20:13こんな感じの不思議な絵が
20:15言ってみればつながっているんじゃないか
20:18という研究をしていたと
20:22じゃあ今度は
20:23こっちの不思議な絵を見てみましょう
20:29この絵を描いたのは
20:31騙し絵で有名な
20:32オランダの画家
20:33エッシャー
20:37色とりどりの魚が
20:39びっしりと敷き詰められていますが
20:43円の外側に行くにつれて
20:46魚が小さくなり
20:47どこまでも続いていくように見えます
20:52実はこうしたこの絵の特徴
20:58こんな数式が持つ特徴と
21:00そっくりだというのです
21:04この数式をグラフで表すと
21:08こんな感じ
21:11これを上から見ると
21:16ほらどうです
21:18エッシャーの絵の特徴と
21:19似ていると思いませんか
21:27ではこのエッシャーの絵に関係する数式が
21:30さっきの方程式の問題と
21:32どうつながっているというのでしょうか
21:36あと一歩ですから
21:37ついてきてくださいね
21:41エッシャーの絵に関係する数式を
21:44詳しく書くと
21:49こんな感じ
21:52これをもとに
21:53志村と谷山は
21:55こんな表を作り始めました
21:59肩の数字が2になっている部分を探し出し
22:03肩の数字から前の数字を引き算します
22:13そして出てきたその数字を表に記入
22:20次は肩の数字が3になっている部分を探し出し
22:26また肩の数字から前の数字を引き算します
22:38そしてその数を記入
22:42こんな感じで表を作っていくと
22:51ほらこれ
22:53時計を使った計算で作った表と
22:57なぜか全く同じになっているんです
23:06志村と谷山が気がついたこと
23:10それはざっくり言えば
23:11さまざまな方程式の問題と
23:14エッシャーの絵に関係する数式とに
23:17ひょっとしたら深いつながりがあるんじゃないか
23:21ということだったんです
23:24難しかったですか
23:27まあとにかく2人の日本人が
23:31フェルマーの最終定理と全然関係のないところで
23:35志村谷山予想と呼ばれる問題を
23:38世に送り出したということだけ
23:41覚えておいてください
23:46いやーこの話本当に不思議な話なんです
23:51なぜならこんな感じの方程式の問題は
23:56このエッシャーの絵の数式とは
23:58全然関係ないと考えられていたのに
24:01志村と谷山がそこに深いつながりを発見したんですから
24:07この発見を何かに例えるなら
24:12ピラミッドから発見された壁画と全く同じものが
24:16なぜかシベリアの永久凍土の地下からも
24:19発見されたような驚き
24:22そんな感じです
24:25でもそのくらいの驚きだったので
24:27志村谷山予想が本当に正しいかどうかについては
24:32欧米の数学者たちはみんな半信半疑だったそうです
24:38そして残念ながら志村と谷山は
24:41自分たちの予想の正しさを証明することまではできません
24:45でした
24:47未解決のまま残されることになったんです
24:52ところが1986年
24:55これまためちゃくちゃ意外なことが発見されたんです
25:00言いましたよね
25:02志村と谷山はフェルマーの最終定理とは
25:05全然関係ないところで研究していたって
25:09でもなんと志村谷山予想が
25:12フェルマーの最終定理と直に結びつく
25:16という事実が発見されたんです
25:22証明されないまま残っていた志村谷山予想
25:28それがフェルマーの最終定理と結びつくことを示
25:32したのは
25:32アメリカのケン・リベット博士
25:37ドイツのゲルハルト・フライ博士とともに
25:41導き出した発見でした
25:45この瞬間
25:47志村谷山予想が正しいと証明できれば
25:50フェルマーの最終定理もまた正しいことが
25:54証明できるという事実が明らかになったのです
26:01それはとんでもないアイデアでした
26:04数学者は誰もが
26:06インパクトのある成果を残したいと願って
26:09研究していますが
26:11まさに私の死後も
26:13人々が忘れられないような発見をすることができたのです
26:19そしてイギリス人数学者のアンドリュー・ワイルズ
26:23博士が
26:23志村谷山予想の証明に乗り出します
26:28幼い頃からフェルマーの最終定理を解くことを
26:32夢見ていた数学者です
26:36しかし志村谷山予想は
26:39どこから手をつければ良いか分からないほどの
26:42超難問でした
26:45ワイルズ博士はその時の苦しい胸の内を
26:49こう例えています
26:54それは暗闇の中で
26:56手探りで部屋の様子を確かめるような作業でした
27:01半年ほど経つと電灯のスイッチが見つかり
27:06明るくなると
27:07ようやく部屋の様子がはっきりと分かります
27:12そうなったらまた次の真っ暗な部屋に移って
27:17さらに半年を手探りで過ごす
27:21その繰り返しでした
27:26そして1995年
27:28ついにワイルズ博士は
27:30リチャード・テイラー博士と共に
27:33証明を完成させたのです
27:37フェルマーの最終定理の証明には
27:40志村谷山予想の一部を証明すれば十分でしたが
27:45それでも論文は130ページにも及びました
27:53フェルマーの最終定理の誕生から
27:56およそ350年
27:59数学史上最大のミステリーは解決したのです
28:10こんなにも長い間
28:11多くの数学者を悩ませた難問は
28:14他にはなかなかありません
28:18でも元はといえば
28:19あのフェルマーがこんな無責任な文章を残したから
28:24こんな面倒なことになった
28:26僕はそんな気がしてなりません
28:29フェルマー自身は
28:31証明方法を本当に見つけていたのか
28:34今となってはもう誰にも分からないことですそうそう僕もね皆さんを
28:43絶対に笑わせられる一発ギャグを思いついたんですけどそれ
28:49を披露する時間がね足りないよ
28:50はいOKですOKですありがとうございます
28:53ありがとうございましたお疲れした
28:55いいんですよね終わりですね
28:57ありがとうございました
28:59ありがとうございました
28:59ご視聴ありがとうございました