00:00Bem pessoal, na aula de hoje vamos calcular, vamos fazer uma questão, que é a nossa questão 31,
00:07que é a questão 24 da seção 3.13.2 do Alfredo Stenbusch.
00:13A questão é a seguinte, dados os vetores u, v e w, calcular o valor de x para que o
00:21volume do paralelopípedo
00:23determinado por v e w seja 24 unidades de volume, certo?
00:29Então aqui eles dão os vetores u, v e w, onde dá os determinados pontos aqui do vetor,
00:36e aqui no vetor u vai ter x aqui no ponto referente ao ponto da coordenada x.
00:44Então é isso, vamos calcular o volume do paralelopípedo.
00:53Vimos que o volume do paralelopípedo é dado por quem?
01:11É dado pelo produto misto, nesse caso aqui vai ser o módulo do produto misto de u, v e w,
01:20que foram os vetores que foram dados.
01:22Então o volume é dado dessa forma.
01:25E nesse caso,
01:31neste caso, o volume ele já deu, que é o módulo do produto misto de u, v e w,
01:40e ele falou que é igual a 24, certo?
01:45Ele já deu a quantidade de volume.
01:47E ele quer que calcule, no caso, ache o x desse vetor u, né?
01:53Porque ele já deu o vetor v e o vetor w, e o vetor u ele deu incompleto.
01:57Ele quer que encontre o x para que o volume seja isso.
02:01Então, vamos calcular, né?
02:07Como o produto misto a gente pode calcular dessa forma aqui,
02:11de u, v e w,
02:13a gente pode calcular como sendo
02:17o vetor u é x, 5 e 0.
02:21O vetor v é 3, menos 2 e 1.
02:28Certo?
02:28E o vetor w é 1, 1 e menos 1.
02:33Nesse caso aqui, a gente pode usar cofatores para resolver, né?
02:36Vai ficar x vezes, menos 2, 1, 1 e menos 1.
02:45E aí, menos 5, né?
02:46Que é a parte de y aqui.
02:49Menos 5 vezes, aqui vai ter a matriz de 3, 1, 1 e menos 1.
02:58Mais, no caso aqui, 0 multiplicado a matriz, é 3, menos 2, 1 e 1.
03:10Certo?
03:11Então, vamos lá calcular.
03:14Aqui vamos ter x.
03:15Ela vai ficar menos 2 vezes menos 1,
03:19menos 1 vezes, no caso 1, vezes 1, né?
03:27E aqui vai ficar menos 5 vezes quem?
03:303 vezes menos 1.
03:33E aqui menos 1 vezes 1.
03:36E aqui vai ficar mais 0 vezes 3 por 1,
03:42menos 2 por 1.
03:46Certo?
03:47Aqui a gente vai ter quem?
03:49A gente vai encontrar x.
03:50Nessa parte aqui, menos com menos vai dar mais 2.
03:53E aqui, 1, né?
03:57Então, aqui a gente vai encontrar 5.
03:59E aqui vai ficar menos 3.
04:01E aqui vai ficar menos 1.
04:05Certo?
04:06E aqui vai ficar 0, né?
04:08Porque vai ser 0 multiplicado por 3 mais 2.
04:16Aqui a gente vai encontrar aqui x, né?
04:25Porque vai ser 2 menos 1, vai ficar 1.
04:28Aqui a gente vai encontrar quem?
04:31Aqui vai ficar menos 4.
04:32Só que aqui a gente tem o menos daqui.
04:36Então, vai ficar menos 4 vezes menos 5, vai ficar 20, né?
04:41Mais 20.
04:42E aqui vai ser 0.
04:43Então, o que a gente sobra, a gente encontra isso aqui.
04:46Ou seja, aqui o produto misto vai dar x mais 20.
04:50Mas, logo, né?
04:58Pela definição...
05:02Logo, como vimos que...
05:05O módulo do produto misto de u, v e w...
05:11Nesse caso aqui a gente encontrou o que é...
05:14Se a gente faz o módulo, a gente vai encontrar quem?
05:17A gente vai encontrar que é x mais 20.
05:20Certo?
05:21E tudo isso é igual a 24.
05:24Porque ele está dizendo aqui que é o volume, né?
05:26Ou seja, o módulo disso que é igual a 24.
05:28Então, o módulo do que a gente encontrou, desse produto misto, que é x mais 20, é igual a 24.
05:36Mas, uma função modular, se a gente for pensar, né?
05:40Pensando em vetores, por exemplo.
05:42Se a gente tem o módulo de u, vai ser quem?
05:46Vai ser o produto...
05:48A raiz do produto escalado de u por u.
05:51Certo?
05:52Que a gente pode escrever, por exemplo, como u ao quadrado.
05:56E vai sair aqui mais ou menos u.
05:59Certo?
06:02Se a gente for pensar dessa forma, né?
06:06Então, vai sair mais ou menos u.
06:08Então, a gente vai ter que, pela definição de módulo, né?
06:13Então, temos duas hipóteses.
06:36Certo?
06:37Ou seja, o módulo disso, de x mais 20, vai ser igual a duas hipóteses.
06:47A primeira é que vai ser...
06:50A gente vai considerar que vai ter um menos aqui, né?
06:53Vai ser uma função multiplicada pelo menos.
06:56Então, vai ficar menos x menos 20.
07:00E a outra vai deixar a par de mais.
07:02Vai ficar mais x mais 20.
07:05Certo?
07:05Que isso aqui vai ser quem?
07:07Igual a 24, né?
07:08E aqui, igual a 24.
07:11Ou seja, só a par do módulo, né?
07:13Então, vamos ter essas duas determinações.
07:17E nesse caso aqui, vamos ter quem?
07:20Menos 20.
07:21Com menos 24.
07:2324, igual a x.
07:26Então, x vai ser igual a menos 44.
07:32Nesse caso aqui.
07:33Já nesse outro caso, vamos ter que x vai ser igual a 24 menos 20.
07:41Que nesse caso aqui, x vai ser igual a 4.
07:47Certo?
07:49Isso levando em conta a função modular, né?
07:52Porque a função modular, basicamente, é isso aqui, ó.
07:56Módulo de x vai ser igual a menos x e mais x.
08:04Ou seja, vai ser dividido dessa forma.
08:08Certo?
08:10Então, é a função modular.
08:12Então, foi o que foi feito aqui, né?
08:15Aqui eu tenho um módulo disso.
08:16Então, vai ser o negativo disso, né?
08:18Então, eu vou ter um negativo multiplicando cada elemento aqui.
08:22Então, por isso que ficou dessa forma.
08:24Só pra ter ideia, né?
08:30Então, portanto...
08:35Portanto...
08:36x igual a 4 ou x igual a menos 44.
08:44Essa é a resposta lá para os vetores, certo?
08:48Para que o volume do tetraedro de 24, a gente precisa que o vetor ou seja 4 ou seja menos
08:5544.
08:56No caso, o valor de x lá para o vetor.
08:59Ele tem duas soluções.
09:01Então, é isso, pessoal.
09:02Está resolvida essa questão.
09:03E aí, gente?
09:04E aí, gente?
09:04Obrigado.
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