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大视野 伊帕
  • 5周前
文字稿
00:00你读了一遍,又读了一遍,第三次读得更慢了。
00:05但无论你怎么努力,就是无法理解这个定理,在告诉你什么。
00:10然后,你想到,大家都说,这本书非常适合初学者,学习拓扑学,泛寒分析,或抽象代数。
00:19这本书肯定很不错,对吧?否则,人们也不会推荐它了。
00:24可能只是你还不够聪明,理解不了而已。
00:27嗯,我不认为你是问题所带,我认为,问题出在那些书上。
00:32在这个视频中,我们会用错误的方式,学习一点点疾扑扑学。
00:37然后紧接着,我们会用正确的方式学习。
00:40你会来评判我接下来要展示的方法,是否更好?
00:45那么,让我们开始吧。
00:46扑扑学,作者,詹姆斯,R.Montiers。
00:49这是点疾扑扑学中,最经典,最广为人知的书籍之一。
00:54我们来读定理诗7.5。
00:55真诚地告诉我,你是否理解它?
01:00设A是拓扑空间X的一个子集。
01:03那么,X属于A的B包,当且仅当每个包含X的开极优,都与A相交。
01:10假设X的拓扑结构,由一个机来确定。
01:13那么,X属于A的B包,当且仅当每个包含X的机元素,B都与A相交。
01:18这就是证明过程,如果你需要,可以暂停视频仔细阅读。
01:25如果你之前从未学习过点击拓扑,那么理解,这个定理,可能会很困难。
01:32如果你之前已经学习过点击拓扑学,试着回忆一下你,第一次接触这些概念的时候。
01:38我很确定,大多数人可能还没有完全理解我们刚刚读到的内容。
01:44现在,一个好问题会是,学习这本书需要哪些先修知识?
01:48我们来看看书上是怎么说的。
01:50学习这本书的大部分内容并没有正式的学科先修要求。
01:54除非读者学过一些分析学或严谨的微积分,否则书中第一部分介绍的概念的很多背景知识就会缺失。
02:02如果他或他已经对连续函数、开级和B级、矩阵空间等有了一些了解,事情会进行得更加顺利。
02:14公平地说,就第一章而言,我认为作者在打下基础方面付出了比普通数学术更多的努力。
02:21尽管仍然不够好,初学者肯定会发现很难理解这些内容。
02:26另一个问题是,在打下基础之后,这本书直接进入了完全陌生的概念体系,而没有建立任何直觉。
02:37我们遇到了定义、定理和证明这一经典障碍。
02:41更不用说那些没有任何解法的经典问题了。
02:46当然,作者在之前的页面中定义了所有术语,但这些定义并没有帮助建立任何直观的理解。
02:53没有理由说明为什么这些术语很重要。
02:57要完全理解所有的定理可能需要非常长的时间,而且,你可能会在不完全理解的情况下继续学习。
03:07我还想说,这并不是对作者个人的批评。
03:11绝不是这样的,从严格的角度来看,这本书非常出色。
03:15就严谨性而言,它非常适合出学者。
03:18它确实定义了大多数概念,并且非常全面。
03:21但是学习数学不仅仅是关于严谨性。
03:23首先需要培养直觉,然后通过大量具体的例子来展示,最后再以正式的方式引入这些概念。
03:32所以,我想说的是,我们可以做得更好。
03:35我们可以出版比现在更好的数学书籍。
03:39现在让我们以正确的方式研究这个定理。
03:42在介绍定理之前,我们需要回答以下问题。
03:47它的目的是什么?
03:48它背后的动机是什么?
03:51我们的目标是理解在拓扑空间X中,当一个点X属于集合A的B包时,会发生什么?
03:57集合A的B包包含了所有属于A的点,以及A的极限点。
04:11这意味着你,无法无限接近某个点,而不与集合A相交。
04:15因此,定理的第一部分直观地说,如果你不能围绕一个点X,创建一个不与A相交的开领域,那么这个点X就不够接近A,因此不属于A的B包。
04:32另一方面,如果围绕点X的任何开集或领域,无论你把它做得多小,仍然会在某个地方与A相交,那么这个点X就足够接近A,我们说X属于A的B包。
04:45我们来看一个具体的例子。
04:48扑扑空间X将是两个金油座形状的区域,可以描述为单位正方形0到1的B区间平方,其中相对的边备式位一样。
04:59设A为一个以0.4到0.6的开区间为中心,半径为0.2的开圆盘。
05:06现在,我们选择一个坐标为某值的点X,并检查它是否属于A的B包。
05:12我们选择X周围的领域U1,定义为一个边长为0.5到0.7的开区间的正方形,另一侧也做同样的处理。
05:24如你所见,U1与A的交集非空。
05:27接下来选择X周围的更小的领域U2,定义为一个边长为0.59到0.7的开区间的矩形。
05:37同样的,U2与A的交集也非空。
05:45当然,我们可以很容易地证明,无论领域U有多小,U与A的交集总是非空的。
05:51然而,从技术上讲,如果我们想使用这个定理中A点的结果,我们需要证明,对于X周围的每一个领域U,不仅仅是矩形形状的领域,而是所有可能的开极形状的领域。
06:07这就是为什么我们有定理中的B点。
06:09首先,我们必须定义什么是拓扑的基础。
06:17我们来做一个来自线形代数的类比。
06:20想象一个三维空间R3中的二维平面,比如XY平面。
06:26这个平面包含了无限多的向量。
06:29但是,如果你想检查R3中的某个向量V是否与这个平面平行,你需要对平面中的每一个向量都进行测试吗?
06:38不,你只需要检查V是否位于仅有两个基项量,比如E1和E2,张成的范围内。
06:46如果它是这两个基项量的线性组合,那么它就位于这个平面上。
06:54类似的,在拓扑空间中有无限多个开极。
06:59但是有些性质只能通过机元素来检验。
07:02而这些性质对于空间中的每一个开极来说都是自动成立的。
07:08拓扑的一个基石一组开极,我们用它们通过并极来构造所有的其他开极。
07:18定理终点B的本质是,如果一个点周围的每一个基元素都与A相交,
07:23那么,用这些基元素构造的该点周围的每一个开极也会与A相交。
07:28如果你们喜欢这个视频,请不要忘记点赞并订阅频道。
07:36另外,如果想支持我们的工作,可以考虑成为频道的会员。
07:41谢谢大家。
07:43回到我们的例子,我们可以使用两个金牛座的标准基础。
07:47这些是开放的举行。
07:49如你所见,像之前一样取X值。
07:52为了使基础元素B包含X,它必须满足这四个条件。
07:58特别是,任何这样的矩形都必须满足,小于0.6。
08:06但是集合A中的所有点的第一个坐标也都小于0.6。
08:10因此,它们总是重叠的,所以X必然属于A的B包。
08:15试着重新阅读这个严谨的定理,极其证明。
08:20现在我相信,你会发现,它比之前容易得多。
08:25我的意思是,我相当确定,作者本可以比我更好的用直观的方式解释这个定理。
08:32它和大多数数学作者不这么做的原因,说实话,对我来说是个谜。
08:37听着,我并不是在这里故意挑撕。
08:38我只是想说,互联网上有大量的资源,包括其他YouTube频道,在解释高级数学主题方面,做得比现在99%的书籍都要好得多。
08:52这只是一个事实。
08:54学习点极拓铺学,以及其他任何数学知识的正确方法,首先是建立直觉。
08:59然后看大量的具体例子,接着是严谨性,最后是通过练习来巩固。
09:05而这本书,很幸运地提供了这些内容。
09:08当然,这本书没有提供解答。
09:10所以,你真的无法确定你是否正确解决了问题。
09:13真经典。
09:14现在想象一下,如果你能以我们今天学习这个定理的方式,去学习你喜欢的书中的所有定理,证明和结果会怎么样?
09:22那不是会让你的生活变得容易很多吗?
09:24我并不是说你不能从这些书中学习。
09:26当然,你会从中学习的。
09:28我的意思是,这毫无意义,因为现在的所有教授和研究人员都是从这些书中学习的,对吧?
09:34但我只是想说,从教学的角度来看,这些方法并不理想。
09:39在没有先建立直观理解的情况下,直接给出定义、定理和证明,在我看来是很偷懒的。
09:45数学家们可以做得更好,他们可以花更多的时间来更详细地解释这些内容。
09:50但他们却把所有的工作都推给了读者。
09:55学习数学中的新知识已经够难的了。
09:58但是,当你必须在没有这种深刻直观解释的情况下,解读这一堆定义和定理时,就会困难得多。
10:06你知道,亨利,福特并没有发明汽车,但他让汽车变得便宜,且大众能够负担得起。
10:12有一句在科技和创新圈子里经常被引用的名言,但通常错误地归功于他。
10:18如果我问人们他们想要什么,他们会说更快。
10:23无论他是否说过这句话,这其实并不是重点。
10:29但试着理解其背后的思想。
10:31人们倾向于根据他们已有的知识来思考,而不是考虑什么是可能的。
10:36没有人能想象一个没有马的世界。
10:39他们只是想改进现有的东西,因为他们已经习惯了这样。
10:44即使改变是最优的选择,人们也很少提出改变的请求。
10:48说实话,高等数学教育几十年来一直停滞不前。
10:55这种严格的定义、定理、证明的格式一遍又一遍地重复,而不先建立直觉,已经变得如此普遍,以至于人们甚至无法想象一个没有他的世界。
11:08他们无法想象用任何不同的方式学习数学。
11:10这是机器人的行为,但事情不一定要这样。
11:14我想表达的是,总体来说,我们可以编写更好的数学书籍。
11:19我们可以设计出更深入、更快捷、更符合人类学习习惯的学习体验。
11:23尤其现在,我们有了这么多工具,比如人工智能、YouTube、在线论坛、可视化软件或互动平台等等。
11:31我们不需要再让人们走几十年前那种老的学习方式了。
11:39所有这一切都是因为我们不想冲心。
11:42变化不会偶然发生。
11:44它需要我们有意识地努力。
11:47这正是我们通过这个YouTube频道想要做的。
11:50如果你想详细研究我们在视频中看到的所有解释,请查看描述中的PDF链接。
11:56它是完全免费的。
11:57如果你想学习如何培养数学直觉,可以看看这个频道里的视频。
12:04再见大家。
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