Relativité restreinte : c est-elle "seulement" la vitesse de la lumière ? (2/5)

Mickaël VALLIER

il y a 4 mois

Partie 2 : Homogénéité de l'espace-temps
On montre que les transformations recherchées sont linéaires

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00:00de la vidéo. Donc on est arrivé, la vidéo précédente, à cette forme.

00:06On a voulu appliquer le principe de relativité, c'est-à-dire qu'à tout événement

00:10étiqueté dans un référentiel R, donc dans un espace-temps R à une dimension d'espace,

00:15une dimension de temps, il doit exister des étiquettes dans un référentiel R'.

00:20Ce qui signifie que pour passer de XT à X'T', il doit exister une fonction qui permet

00:25de passer de l'un à l'autre. D'ailleurs, je ne l'ai pas dit précédemment, mais cette fonction

00:28doit être une bijection, puisqu'on veut des étiquettes uniques pour un événement

00:32donné dans R et dans R'. Donc en fait, c'est une bijection ici, c'est forcément

00:37une bijection. Et donc cette application bijective, là, je l'ai différenciée, donc j'ai écrit

00:42ici les formes différentielles. Maintenant, on va ajouter à ce qu'on a raconté quelque

00:47chose, et cette chose, ça va être l'homogénéité de l'espace-temps. Donc je vais ajouter

00:55cette contrainte. Alors qu'est-ce que ça veut dire l'homogénéité de l'espace-temps ? Ça

01:00veut dire que l'espace-temps, il est complètement invariant par une quelconque translation, soit

01:06dans l'espace, soit dans le temps. C'est-à-dire si je fais une translation dans l'espace, et

01:11que je regarde tout l'espace qui est autour de moi, eh bien je trouve que c'est le même

01:15qu'avant, qu'avant la translation. Donc on appelle ça, donc c'est invariance de l'espace-temps

01:21par translation. Dans l'espace ou dans le temps. Donc invariance de l'espace-temps

01:27par translation. Dans l'espace ou dans le temps. Qu'est-ce que ça veut dire ça ? Ça veut dire

01:35qu'entre guillemets, la densité de l'espace-temps est la même en tout point et en tout lieu,

01:40et en tout instant. Autrement dit, un élément de longueur en particulier, un élément de

01:47longueur ne doit pas dépendre de l'endroit où je l'ai considéré. De même pour un élément

01:52de temps, donc une durée. Qu'est-ce que ça veut dire par là ? Ça veut dire que finalement,

01:57si je prends un exemple très concret, si je mesure la longueur d'un livre et que je suis

02:03par exemple à Paris, que je trimballe mon livre à Marseille, que je mesure la longueur

02:08de mon livre, j'espère trouver la même valeur, à condition que mon livre évidemment

02:13n'ait pas changé, qu'il ne soit pas desséché ou quelque chose comme ça. Mais en tout cas,

02:17les longueurs doivent être invariantes par translation dans l'espace. Donc si je change

02:21de lieu, un élément de longueur doit rester le même. C'est pas trop délirant comme

02:27principe. Donc ça, ça veut dire quoi ? C'est-à-dire que dx' ne dépend pas explicitement

02:33de x et de t. Ça veut dire que ça ne dépend pas de la valeur de x elle-même, mais de la

02:37valeur de t. Ça doit dépendre uniquement des éléments de longueur et des éléments

02:42de date, de durée. Donc ça signifie que ces objets-là, ça et ça là, et ceux-là

02:49aussi d'ailleurs, tous ces objets ne doivent pas dépendre de x et de t.

02:55d'accord ? De l'événement lui-même, de la place, de l'endroit où on se trouve

03:05lorsqu'on réalise ces éléments, lorsqu'on considère ces éléments de longueur. Autrement

03:10dit, ces choses-là ne peuvent pas dépendre d'autre chose qu'éventuellement de ce fameux

03:15phi dont j'ai parlé au début. Donc j'ai très envie de réécrire ça sous une autre

03:21forme. J'ai envie d'écrire que dx' finalement, c'est quelque chose, une fonction de phi,

03:28dx fixée, et puis ça j'ai envie de l'appeler moins b de phi. Le moins, on verra pourquoi

03:33après, c'est parce que c'est plus pratique pour après. Donc moins b de phi. Et puis

03:38pareil pour dt', je vais écrire ça sous une autre forme. Alors je vais, par symétrie,

03:42je vais ici écrire alpha de phi dt moins bêta de phi dx. Ce qui sera plus pratique pour

03:52après. Et donc ces objets-là ne doivent pas dépendre de x et de t, sinon il n'y a pas

03:58invariance par translation dans l'espace ou dans le temps. L'espace-temps ne serait alors

04:02pas homogène. Et j'impose cette homogénéité, je restreins mon principe de relativité à des

04:09espaces-temps continus et homogènes. Voilà ce que ça donne. Et on peut déjà faire un

04:14tout petit peu de physique avec ça. Parce qu'on va pouvoir reparamétriser, donner un

04:18sens aux paramètres, un changer de paramètre pour avoir un paramètre plus sensé. Alors

04:22qu'est-ce qu'on peut faire ? On peut imaginer déjà, c'est toujours le célèbre train,

04:30on va rester dans ce... Voilà, dans cette situation du train qui est assez intuitive. Donc j'ai un

04:39train, alors je ne vais pas faire des gros dessins, mais enfin j'ai un train, enfin un wagon disons,

04:45et dans ce wagon j'ai quelqu'un qui est assis. Hop, il est très grand, il n'a plus de tête. Bon j'ai un

04:52type qui est assis. Et j'attache à ce train un espace-temps. Donc je construis un espace-temps.

04:59Alors je suis à une dimension, donc je me fiche... Donc là je vais appeler ça X' et puis je vais

05:06fixer aussi, je vais construire un espace-temps sur le quai. Donc sur le quai, je vais appeler ça

05:12l'axe X. Donc hop, et là X', les origines on s'en fiche, on peut les mettre où on veut. Bon par exemple,

05:19puis si, mais pour l'instant ça n'a aucune importance, et puis là je vais mettre au prime,

05:22si vous voulez. Donc ici, on a des horloges qui indiquent le temps T'. Donc on a des horloges qui

05:31indiquent le temps T', et puis dans le référentiel R, on a des horloges qui indiquent les dates T, quoi.

05:37Et donc je vais considérer maintenant deux événements qui se produisent, qui sont liés au battement de

05:41cœur de ce personnage-là. Donc ce personnage-là, son cœur bas, et puis il y a un battement qui se produit,

05:48puis il y a un nouveau battement. Et je vais essayer de voir ce qui se passe quand on considère

05:54deux battements, donc infiniment proches, quoi. Donc qu'est-ce que je vais considérer que c'est

06:02deux événements que je vais tendre vers deux événements très très proches. Donc je vais

06:06d'abord considérer des événements distincts, puis après on fait tendre vers zéro. Donc moi ce qui

06:11m'intéresse c'est Δx'. Donc Δx', c'est-à-dire, qu'est-ce que ça signifie Δx',

06:17c'est l'intervalle d'espace dans R' entre les deux événements que j'ai considérés,

06:24entre les deux battements de cœur. Mais comme le type est assis dans le train, dans R', Δx'

06:29vaut 0, quoi. Donc Δx', c'est 0. Je fais tendre vers zéro cet intervalle, c'est-à-dire

06:38que je ne considère non pas deux battements de cœur successifs, mais deux étapes très

06:42très proches dans la succession des événements qui conduit à un battement de cœur. Donc

06:47je fais tendre vers zéro, ce qui me donne dx' égale 0. Mais dx', c'est ça. Donc c'est

06:54égal à a de phi dx moins b de phi dt. En secouant un peu tout ça, on arrive assez

07:03rapidement, je vais prendre un peu de place, on arrive assez facilement à b de phi sur

07:09a de phi qui vaut dx sur dt. Si on passe de l'autre côté, donc je fais moins b de phi

07:18dt, je divise par dt, je divise par a de phi, et on a bien ça.

07:23Mais c'est quoi dx et c'est quoi dt ? Dx, c'est l'intervalle d'espace qui sépare

07:30les deux événements, donc pas les deux battements de cœur, mais deux étapes dans un battement

07:33de cœur qui sont très très proches, infiniment proches. Donc c'est bien finalement quoi ?

07:39Bah dx, c'est l'écart entre les deux, entre guillemets, battements de cœur. Ça veut dire

07:45que c'est finalement la distance parcourue dans R par le cœur, et donc par le train.

07:50Et dt, c'est l'écart de temps mesuré dans R entre les deux battements de cœur.

07:57Donc ce truc-là, on a très envie de l'appeler V, la vitesse finalement du train par rapport

08:04au sol. Mais on vient de découvrir quelque chose d'assez important finalement, parce

08:09qu'on vient d'écrire que la vitesse du train finalement c'est b de phi sur a de phi.

08:13phi étant un paramètre, on suppose qu'il existe un paramètre qui fixe R et R', qui

08:20traduit, qui caractérise le couple R et R'. C'est-à-dire que phi est quelque chose

08:25de fixé une fois R et R' fixés. Donc b de phi et a de phi sont des constantes dans

08:30cette affaire, et ainsi V est une constante. On vient finalement de montrer que le train,

08:37si on veut qu'il constitue un référentiel équivalent au référentiel terrestre, il

08:43faut absolument qu'il aille à une vitesse constante par rapport au sol. On vient de

08:48comprendre pourquoi, entre guillemets, les référentiels galiléens de la physique

08:52newtonienne sont tous en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres.

08:57On vient de comprendre parce que si ce n'est pas le cas, l'homogénéité de l'espace-temps

09:01n'est plus possible. Autrement dit, un espace-temps qui serait accéléré par rapport

09:06à un espace-temps homogène ne peut pas être homogène lui-même. Donc l'homogénéité

09:13de l'espace-temps impose que la vitesse du train doit être constante par rapport au sol.

09:22Donc la vitesse doit être constante, V, et on va du coup pouvoir reparamétriser

09:27b, a en fonction de v. Puisque phi était un paramètre, on vient de comprendre que v

09:33est finalement un paramètre aussi. Donc plutôt que d'écrire a de phi avec phi un paramètre

09:38un peu obscur, ce qu'on va faire c'est qu'on va se permettre de factoriser par a de phi,

09:44donc je factorise par a de phi, ce qui me fait dx moins b de phi sur a de phi dt.

09:52Et puis je fais la même chose pour dt prime, je vais mettre a de phi en facteur, même si

10:00il n'est pas présent ici, mais ça rien n'empêche de le faire. Du coup ça me fait alpha de phi

10:06sur a de phi dt moins bêta de phi sur a de phi dx. Voilà.

10:15Et je reconnais ici donc v, v qui est égal à b de phi sur a de phi, qui est donc une

10:23constante, ça me donne donc a de phi dx moins v dt, et ici donc ça ne change pas, mais a de phi,

10:36j'ai envie de le changer, j'ai le paramètre ici qui s'appelle phi, mais phi manifestement

10:42dépend d'un autre paramètre qui est la vitesse relative des deux référentiels, la vitesse

10:46de r prime par rapport à r. Donc finalement a de phi doit être une fonction de v, je vais

10:51l'appeler gamma de v, donc la fonction de phi est finalement une autre fonction de v

10:56que j'appelle gamma de v, donc dx moins v dt. De la même façon, ici je vais écrire

11:03a de phi sous la forme gamma de v, une fonction de v, alpha de phi sur a de phi, j'ai envie

11:10d'appeler ça une autre fonction de v que je vais appeler a de v, et ça je vais appeler

11:15ça une autre fonction de v, b de v dx. Voilà. Donc on a ici deux formes différentielles,

11:22donc des différentiels exacts qu'il va falloir que l'on intègre. Donc ça, ça s'intègre

11:27très très bien, puisqu'on a affaire à simplement des formes différentielles type linéaire.

11:33Donc si on choisit bien notre système de coordonnées, encore une fois un système de coordonnées

11:38c'est quelque chose qui se choisit arbitrairement, et on va poser que, je vais choisir, je vais

11:44choisir que x' de 0, 0, phi soit égal à 0, et t' de 0, 0, phi soit égal à 0. Je

11:53choisis ça, c'est le choix des origines en fait, ce que je suis en train de faire. Je

11:58suis en train de choisir que les origines des dates coïncident lorsque les deux origines

12:03spatiales coïncident aussi. Je synchronise mes horloges à 0 quand les origines coïncident.

12:08C'est ça que je fais ici. Si je fais ce choix, alors l'intégration est très simple.

12:12x' ça va s'écrire γ de v x moins vt, et t' ça va s'écrire γ de v a de v t moins b de v x, tout simplement.

12:25L'intégration est très simple, c'est des fonctions type linéaire. Donc la linéarité des transformations

12:31est liée à l'homogénéité de l'espace-temps. On verra dans la suite ce qu'on peut faire de ça.

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