Correction - Interrogation nombre dérivé - 1ère spé
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00:00 On va procéder à la correction de l'interrogation sur le nombre dérivé et les fonctions dérivées.
00:09 Alors exercice 1, on démarre, on nous dit
00:13 soit f la fonction définie sur R donc de moins à plus infinie jusqu'à plus infinie par f(x) = 0,5x²
00:20 et soit h un nombre réel non nul.
00:22 Première question, calculez l'image de 1/f.
00:25 On y va, donc f je remplace le x par 1, f(1)
00:30 est égal à 0,5x², c'est 0,5 fois x², donc c'est 0,5 fois 1²
00:37 ce qui est égal à 0,5 fois 1², 1 fois 1, et ce qui donne 0,5.
00:44 Ensuite, question 2, on vous demande de calculer l'image de 1+h, donc f(1+h)
00:53 donc là quand j'ai f(x), le x est là, donc f(1+h)
00:58 x, je le remplace par 1+h, donc ça donne 0,5 fois le x, on le remplace par 1+h, donc 1+h
01:06 et attention c'est tout ça qui doit être au carré.
01:11 Attention, on démarre, là on n'a pas la simple distributivité, la parenthèse est au carré.
01:17 Donc ici, j'ai la première identité remarquable, a+b, le tout au carré.
01:24 Je vous rappelle que lorsqu'on développe c'est a²+2*a*b+b²
01:30 donc ça donne 0,5 fois parenthèse, a+b², a² donc 1² c'est 1, +2*a*b, 2*1*s, +2h, +b c'est h, donc h².
01:44 Et une fois qu'on a écrit cela, on effectue la simple distributivité,
01:49 donc ça donne 0,5*0,5+0,5*2h, donc 0,5*2 ça vaut 1, donc il reste 1h qui donne h, +0,5*h², 0,5*h².
02:04 Ensuite on vous dit "montrez que le taux de variation de f entre 1 et 1+h est égal à ça"
02:09 donc je vous rappelle que si je trace rapidement la courbe représentative de cette fonction,
02:14 elle ressemble à ça, on va m'enlever, de toute façon vous l'avez entendu,
02:18 hop, allez en dessous de la courbe, hop c'est vrai, allez en dessous,
02:21 donc si on trace, voilà, allez tracez là la fonction,
02:24 nous on veut le taux de variation entre 1 et 1+h, donc ça signifie que là j'ai mon point a,
02:30 qui a pour abscisse petit a, et pour ordonnée f de 1,
02:35 et c'est bien 0,5, ce qu'on a trouvé, l'ordonnée 0,5.
02:39 Ensuite on prend un écart h non nul, c'est ce qui a été fait,
02:43 donc on prend un écart h non nul, je prends donc là je suis au point d'abscisse 1+h,
02:50 1+h, je monte jusqu'à la courbe, j'ai le point m, et donc son image va être f(1+h),
02:57 là j'ai pris un écart h quelconque.
02:59 On trace la droite à m, donc avec une règle je trace la droite à m,
03:06 et donc le taux de variation entre 1 et 1+h de la fonction f,
03:12 ça correspond donc au coefficient directeur de la droite à m.
03:16 Donc taux de h, taux de variation, c'est donc le coefficient directeur de la droite à m,
03:22 donc je rappelle qu'un coefficient directeur de la droite à m,
03:24 c'est l'ordonnée de m moins l'ordonnée de a, divisé par l'abscisse de m moins l'abscisse de a.
03:29 L'ordonnée de m, c'est f(1+h),
03:33 moins l'ordonnée du point a, c'est f(1),
03:40 divisé par l'abscisse du point m, c'est 1+h,
03:45 moins l'abscisse du point a, c'est 1.
03:49 Donc -1.
03:52 Et donc on retrouve que le taux de variation de f(1+h)
03:56 c'est f(1+h) moins f(1) sur h.
04:00 1+h moins 1, ça donne h, et ça c'est la propriété du cours.
04:04 Ensuite on remplace, f(1+h) on l'a calculé d'après la question 2,
04:08 c'est donc 0.5 plus h, plus 0.5 h², moins,
04:13 et f(1) on l'a trouvé là, moins 0.5 sur h,
04:19 ce qui donne donc h² plus 0.5 h,
04:24 pourquoi h² ? J'ai mal recopié.
04:29 C'est donc h plus 0.5 h² divisé par h.
04:33 Et là attention à pas aller trop vite, on a pas une multiplication numérateur,
04:37 donc il y a deux techniques, soit on factorise le numérateur,
04:40 soit on décompose la fraction, h plus 0.5 h² sur h,
04:43 c'est pareil que h sur h, plus 0.5 h² sur h,
04:49 h divisé par h ça vaut toujours 1, plus 0.5 fois h au carré divisé par h,
04:55 ça donne 0.5 h.
04:57 Donc le taux de variation est bien égal à 1 plus 0.5 h.
05:01 Ceux qui avaient fait l'autre méthode en factorisant le numérateur,
05:05 h plus 0.5 h² ça se factorise en le numérateur en h,
05:09 facteur de 1 plus 0.5 h, le dénominateur h,
05:14 et comme là j'ai bien une multiplication en produit,
05:17 on peut là simplifier les h et on retrouve bien 1 plus 0.5 h.
05:22 Voilà, ceux qui avaient factorisé le numérateur par h,
05:25 on retrouvait le même résultat.
05:27 Donc le taux de variation,
05:30 ça correspond au coefficient directeur de la droite AM qui est ici.
05:34 Et donc question 4, on vous dit déterminer la valeur de f'(1),
05:38 donc f'(1) c'est le nombre dérivé de f en 1,
05:44 et donc ça correspond au coefficient directeur de la droite AM
05:49 lorsque je prends un écart h minuscule,
05:51 c'est-à-dire je prends un h très très proche de 0,
05:54 et donc si je prends un h très proche de 0,
05:56 par exemple mon point M sera là, et hop, j'obtiens cette droite là.
05:59 Et donc le nombre dérivé f'(1)
06:02 c'est donc le coefficient directeur de la droite AM
06:04 lorsque h est très très très proche de 0.
06:07 Donc pour écrire ça, on écrit que f'(1)
06:10 c'est donc la limite quand h tend vers 0
06:13 du taux de variation entre 1 et 1+h,
06:16 donc c'est taux de h,
06:18 donc c'est donc la limite quand h tend vers 0,
06:21 le taux de variation, il est là,
06:23 1+0,5h,
06:25 et ce qui est égal à,
06:27 alors quand h tend vers 0,
06:29 c'est-à-dire quand h est très très très proche de 0,
06:31 0,5 fois un nombre très très très proche de 0,
06:35 ça va être ça, ça va être très très très proche de 0,
06:38 0,5 fois quasiment 0, c'est presque 0,
06:41 et donc presque 0+1,
06:43 donc on a 1+un nombre qui est très très très proche de 0,
06:45 donc la limite ça va être très très très proche de 1.
06:48 Donc f'(1), le nombre dérivé de f'(1) vaut 1.
06:52 Ensuite on vous dit déterminer l'équation réduite de la tangente ACF
06:57 passant par le point A,
06:59 et là c'est important, d'abscisse petite 1.
07:01 Donc en fait la tangente ACF au point d'abscisse 1
07:04 c'est juste la droite AM
07:06 lorsque h est très très proche de 0.
07:08 Lorsqu'on prend un écart h minuscule,
07:11 la droite AM c'est donc la tangente ACF au point d'abscisse 1.
07:16 Alors là c'est du court,
07:18 vu qu'on peut l'équation réduire de la tangente au point
07:20 à d'abscisse petite 1,
07:21 donc d'après le cours c'est y=f'(1),
07:23 là vu que c'est au point d'abscisse 1,
07:25 on remplace tous les petits a par 1,
07:27 f'(1) fois x-1
07:33 plus f(1)
07:36 donc on a donc y=f'(1)
07:41 donc ça donne 1 fois x-1
07:44 plus, et f(1)=0.5
07:48 On effectue la somme distributivité,
07:54 donc on trouve que y c'est donc 1 fois x, x,
07:58 1 fois -1, -1, +0.5
08:00 et donc on trouve que c'est la droite,
08:03 la tangente pour l'équation réduite, x-0.5
08:07 Donc c'est bien une droite.
08:10 Le coefficient directeur, je vous rappelle que l'équation réduite d'une droite c'est
08:13 y=le coefficient directeur AMx+P
08:16 donc ici ce qui multiplie le x c'est 1,
08:18 x c'est 1 fois x, donc là le coefficient directeur c'est 1,
08:21 et le petit p, l'ordinaire à l'origine c'est -0.5
08:23 et donc on vous demande de tracer ci-dessous la tangente ACF
08:26 passant par le point d'abscisse 1,
08:29 donc vu qu'on est au point d'abscisse 1,
08:32 on aura le point A là,
08:34 et donc cette droite là, il y a deux façons de tracer,
08:37 on sait que c'est une droite, on reconnaît l'ordinaire à l'origine,
08:40 petit p c'est -0.5,
08:42 donc l'ordinaire à l'origine vaut -0.5,
08:45 donc ça signifie que quand je me mets en 0,
08:48 l'ordinaire à l'origine va être là, vaut -0.5,
08:51 et le coefficient directeur vaut 1.
08:53 Donc comme le coefficient directeur vaut 1,
08:55 ça signifie que lorsque j'avance d'une unité,
08:58 donc l'HC 0.5, là c'est un fois avancé d'une unité,
09:01 le coefficient directeur vaut 1,
09:03 ça veut dire que je vais monter d'une unité.
09:05 Donc je vais arriver bien au point 1 évidemment,
09:07 et si on continue, lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
09:10 en ordonnée, pareil,
09:12 là on passe de 0.5 à 1.5, on monte d'une unité.
09:15 Hop, j'ai un deuxième point là,
09:17 donc j'ai même trois points, 1, 2, 3,
09:19 et après on peut poursuivre ainsi de suite,
09:21 et donc grâce à une règle,
09:24 la tangente au point A d'abscisse 1 que l'on obtient,
09:27 hop, on prend une règle,
09:29 ça va être celle-là,
09:33 et c'est ça donc la tangente.
09:37 Et l'autre façon, hop, pour tracer la droite,
09:42 je vous rappelle que pour tracer une droite, il suffit de deux points,
09:44 donc ceux qui avaient fait la deuxième méthode,
09:46 on choisit par exemple si x vaut 0,
09:48 on remplace x pour 0,
09:50 alors y vaut 0, -05y vaut -05,
09:54 donc il y a bien le point qui est là,
09:56 je ne sais pas si on prend si x vaut 2,
09:58 alors l'ordonnée y vaut 2, -05 vaut 1,5,
10:02 et donc on avait le point qui était là.
10:04 Voilà, donc ça c'était juste un petit rappel sur les chapitres d'avant.
10:08 Donc la tangente au point d'abscisse 1 est ici,
10:11 c'est la tangente que j'ai tracée en vert, c'est une droite.
10:14 On va passer à l'exercice 2,
10:17 cette fois-ci on vous dit soit j'ai la fonction
10:19 définie sur R par g(x) = x^3,
10:21 et soit h1 réel non nul,
10:23 première question, on calcule les g(2),
10:25 donc g(2) on remplace x par 2,
10:27 ça donne 2^3, et n'allez pas trop vite,
10:29 2^3 je vous rappelle que c'est 2*2*2*2,
10:32 ce qui donne 8.
10:33 Question la plus dure,
10:34 cette fois-ci on vous demande de calculer l'image de 2+h,
10:37 donc si on vous demande ça c'est pour refaire le taux de variation après,
10:40 donc g(2) 2+h,
10:42 donc là le x je le remplace par 2+h,
10:45 donc ça donne 2+h, le tout, au cube.
10:50 Alors, je rappelle que 2+h le tout au cube par définition,
10:53 on peut écrire que c'est 2+h*2+h*2+h,
10:58 ça c'est la définition.
11:00 Et là on peut être astucieux,
11:01 on évite une double distributivité,
11:03 2+h*2+h, on sait que c'est donc 2+h^2*2+h,
11:11 égal, on laisse les parenthèses,
11:16 2+h^2, ça c'est la première identité remarquable,
11:20 a+b^2, c'est donc a^2, donc 2^2+4,
11:24 +2*a*b*2*2*h+4h,
11:28 +b^2*h^2*2+h,
11:34 et là on va effectuer une double distributivité,
11:37 donc on démarre avec le 4,
11:39 4*2=8,
11:42 +4*h+4h,
11:47 hop j'ai fini avec lui,
11:48 je prends le 4h, 4h*2+8h,
11:52 4h*h+4h^2,
11:58 et on termine,
11:59 h^2*2=+2h^2,
12:02 et h^2*h=+h^3.
12:06 On simplifie et on réduit tout ça,
12:11 on trouve que ça donne,
12:13 h^3 est tout seul,
12:15 les h^2, j'en ai 2h^2+4h^2,
12:18 ça me fait +6h^2,
12:21 ensuite les h^8+4h, ça me donne +12h,
12:26 +, et il nous reste 8.
12:28 Donc voilà, finalement,
12:30 si on écrit là, belle réponse,
12:33 g(2+h)=h^3+6h^2+12h+8.
12:39 Ensuite on vous démontre que le taux de variation de g entre 2 et 2+h est égal à ça,
12:44 donc si, hop, on fait une petite figure pour illustrer,
12:47 donc la fonction cube, hop, on la verra plus tard,
12:50 si je la trace, ça ressemble à ça,
12:52 là, je suis au point d'abscisse 2,
12:54 tac, tac, tac, j'ai le point A,
12:56 son ordonnée c'est g(2,2),
12:58 et on a vu que ça valait 8,
12:59 donc c'est pas très représentatif ce que j'ai fait là,
13:01 on prend un écart petit h,
13:03 donc là je suis au point d'abscisse 2+h,
13:05 tac, tac, tac,
13:07 voilà,
13:09 je monte jusqu'à la courbe,
13:11 j'ai le point M,
13:12 donc l'ordonnée c'est g(2,2)+h,
13:14 hop, on trace la droite à M,
13:17 à la règle,
13:19 boum,
13:21 et donc la question c'est quel est le coefficient directeur de la droite à M ?
13:24 Le taux de variation entre 2 et 2+h est donc le coefficient directeur de la droite à M,
13:27 donc on n'écrit que taux de h,
13:29 allez, c'est le coefficient directeur de la droite à M,
13:31 donc c'est l'ordonnée de M,
13:33 c'est g(2,2)+h-l'ordonnée du point g(2,2)
13:38 divisé par l'abscisse de M, donc 2+h-l'abscisse de A, 2,
13:43 et on trouve donc que c'est g(2,2)+h-g(2,2)/h,
13:49 ce qui donne le taux de variation de g(2,2)+h,
13:53 g(2,2)+h, on l'a calculé au-dessus,
13:55 donc ça donne h^3+6h^2+12h+8-
14:02 et g(2,2), on a trouvé 8,
14:05 donc ça donne -8/h,
14:08 donc taux de h est égal à h^3+6h^2+12h+8-8=0,
14:17 divisé par h,
14:19 donc le taux de variation de g(2,2)+h est égal,
14:22 donc là attention, il ne faut pas simplifier les h comme ça,
14:24 donc soit on factorise le numérateur par h,
14:27 sinon on décompose la fraction,
14:28 ça c'est pareil que h^3/h+6h^2/h+12h/h,
14:36 quand les fractions ont le même dénominateur,
14:38 on peut les regrouper,
14:39 donc ça c'est bien égal à ça,
14:41 et là on simplifie,
14:42 h^3/h ça donne h^2+6*h^2/h,
14:47 il reste +6h,
14:49 et 12h/h, il reste +12,
14:51 et c'est bien ce qu'on devait trouver,
14:53 h^2+6h+12,
15:04 exactement ce qu'on devait trouver,
15:07 donc là, hop, c'est que je n'ai pas encore mis à jour le document,
15:11 donc ça je vais le changer,
15:12 vous aurez la bonne version,
15:14 h^2+6h+12,
15:16 ensuite, on va déterminer la valeur de g'(2),
15:24 donc g'(2) par définition,
15:26 c'est le coefficient directeur de la droite m lorsque h tend vers 0,
15:29 donc il faut faire tendre h vers 0,
15:32 c'est la limite quand h tend vers 0 du taux de variation entre 2 et 2+h,
15:37 donc c'est donc la limite quand h tend vers 0 de h^2+6h+12,
15:45 et ça, ça vaut, quand h est très très proche de 0,
15:49 h^2, ça va être très très proche de 0,
15:52 un nombre proche de 0 fois un nombre proche de 0, ça va être très très proche de 0,
15:56 +6h, h est très très très proche de 0,
15:59 donc 6 fois un nombre très très très proche de 0, ça va être très très proche de 0,
16:03 +12, donc ça c'est proche de 0,
16:05 +6h, le taux de variation va être très très proche de 12,
16:10 donc g'(2) ça vaut 12.
16:15 Et on vous demande, question 5,
16:20 donner l'équation réduite de la tangente au point A d'abscisse 2.
16:27 Donc allons-y, déterminons l'équation réduite de la tangente ACG passant par le point d'abscisse 2,
16:33 donc on y va, on trouve que c'est y = g'(2), vu qu'on est au point d'abscisse 2,
16:38 fois x-2 + g(2).
16:43 Donc on trouve que y = g'(2), on a trouvé 12,
16:47 donc c'est 12 fois x-2 + g(2), c'est 8.
16:54 Donc on trouve que y = 12x - 24 + 8,
17:01 et donc on trouve que l'équation de la tangente au point d'abscisse 2 c'est 12x - 24 + 8 - 16.
17:11 Donc si on vous demande de la tracer au contrôle,
17:15 l'ordonnée à l'origine peut typer au -16, le coefficient directeur au 12,
17:18 donc quand j'avance une unité je monte de 12 en ordonnée.
17:30 On poursuit exercice 3, petit QCU,
17:34 qui représente graphiquement un nombre dérivé.
17:36 Un nombre dérivé, si vous avez compris, c'est le coefficient directeur de la droite à M,
17:40 lorsque H tend vers 0.
17:42 Donc en fait un nombre dérivé c'est le coefficient directeur de la tangente.
17:46 Donc un nombre dérivé c'est pas une tangente, un nombre dérivé c'est pas une droite,
17:49 non plus, un nombre dérivé c'est le coefficient directeur de la tangente.
17:54 Donc c'était un coefficient directeur.
17:56 Question 2, soit D la droite d'équation réduite Y = 5x - 2,
18:00 soit F une fonction telle que F'(4) = 2 et F'(4) = 5.
18:04 Le point E appartient-il à la droite D ?
18:08 Donc la droite D elle est là, ça c'est l'ordonnée, ça X c'est l'abscisse.
18:12 Donc il faut vérifier d'une part, d'autre part, attention,
18:15 donc d'une part on prend Y,
18:20 donc là c'est le point, donc l'ordonnée du point E.
18:23 Abscisse de E, attention ça c'est l'abscisse de E,
18:26 ça c'est l'ordonnée de E, donc l'ordonnée du point E vaut 11.
18:30 D'autre part, on y va, donc 5x - 2,
18:37 donc X c'est l'abscisse, donc 5 fois l'abscisse de E - 2,
18:42 c'est égal à 5 fois l'abscisse de E, c'est 3 - 2,
18:47 5 fois 3, 15, - 2, 13.
18:50 Donc on constate quoi ?
18:53 Or 11 n'est pas égal à 13,
18:56 donc cela signifie que l'ordonnée de E n'est pas égale à 5 fois l'abscisse de E + - 2.
19:04 Donc le point E ne peut pas être sur la droite D.
19:11 Sur la droite D, tous les points vérifient l'ordonnée d'un point,
19:15 ça doit être 5 fois l'abscisse du point - 2.
19:17 Là on a que l'ordonnée de E n'est pas égale à 5 fois l'abscisse de - 2,
19:21 donc l'équation de la droite D n'est pas vérifiée,
19:24 donc E n'appartient pas à la droite D.
19:28 Question suivante, la droite D et la tangente ACF passant par le point A d'abscisse 4 sont-elles parallèles justifiés ?
19:36 On a déjà l'équation de la droite D, on sait que c'est Y = 5x - 2,
19:41 ça c'est l'équation de la droite D.
19:44 Nous on veut l'équation de la tangente ACF passant par A d'abscisse 4,
19:48 donc ça d'après le cours, donc la tangente on va l'appeler grand T,
19:52 donc son équation c'est Y =, vu que c'est au point d'abscisse 4,
19:55 F'(4) * x - 4, vu qu'on est au point d'abscisse 4, + F(4).
20:02 Y ça donne F'(4), on vous le donne c'est 5,
20:07 donc c'est donc 5 * x - 4 + F(4) * 2.
20:14 Donc on trouve que Y = 5x - 20,
20:20 5 * 4 = 20, donc - 20 + 2,
20:22 donc la tangente a pour équation 5x - 18.
20:26 Et donc on rappelle le cours, on sait que deux droites sont parallèles,
20:31 si et seulement si, on l'a déjà vu, elles ont le même coefficient directeur.
20:35 Donc on regarde, or, le coefficient directeur de la droite D,
20:46 donc de D est M =, c'est ce qui multiplie du x, 5,
20:50 et le coefficient directeur de la tangente, ici T,
20:54 et le coefficient directeur de la tangente, je l'appelais T,
20:57 la droite ici, grand T, est M = 5.
21:03 Donc finalement les deux droites,
21:06 une tangente c'est une droite,
21:08 les deux droites ont le même coefficient directeur,
21:12 donc elles sont parallèles,
21:17 donc la droite D et la droite de la tangente T sont parallèles.
21:23 C'est normal, si on les trace, là je fais juste un petit brouillon rapidement,
21:30 si on prend la droite D, l'ordonnée à l'origine P vaut -2,
21:33 donc là j'aurai un P en -2 ici,
21:35 et comme le coefficient directeur vaut 5,
21:37 ça signifie que lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
21:39 en ordonnée, je monte de 5 unités.
21:41 Donc ça, on dit que c'est notre droite D.
21:44 Et si on vous demande de tracer la droite, la tangente,
21:46 l'ordonnée à l'origine P vaut -18,
21:49 donc j'aurai un P ici en -18,
21:51 le coefficient directeur vaut 5,
21:53 donc quand j'avance d'une unité en abscisse, en ordonnée,
21:55 je monte de 5 unités.
21:57 Donc si je la trace, on constate bien que les deux droites sont parallèles.
22:02 Donc deux droites sont parallèles,
22:04 si elles sont de même coefficient directeur,
22:06 donc c'est le cas, elles me vaut 5,
22:07 donc elles sont bien parallèles, ces deux droites.
22:09 Petit rappel, un peu des chapitres d'avant.
22:11 Vu qu'au devoir comment ce sera sur tous les chapitres de l'année,
22:15 il peut y avoir des questions comme ça,
22:17 le point est-il sur la droite, est-ce qu'elles sont parallèles,
22:19 il peut y avoir un peu de tout.
22:21 Donc c'est pour vous remettre dans le bain pour le DST du 15 mai.
22:26 On continue, exercice 4,
22:28 donc là c'est vraiment de chez classique,
22:30 c'est lire graphiquement une image, un nombre dérivé,
22:32 et déterminer l'équation de la tangente.
22:34 Donc on vous dit, soit f une fonction,
22:37 bon c'est bon là le tableau,
22:39 dont on a sa courbe représentative ci-dessous,
22:42 on a une partie de sa courbe représentative,
22:44 ainsi que 4 de ses tangentes,
22:46 par lecture graphique que vaut f(-5).
22:49 f(-5) c'est l'image de -5,
22:52 donc -1, -2, -3, -4, -5, c'est là.
22:54 On descend jusqu'à la courbe,
22:56 on lit son image sur l'axe des ordonnées,
22:58 c'est -1, -2, -3, -4.
23:00 Donc f(-5) vaut -4.
23:02 Ensuite f(-3),
23:04 -1, -2, -3,
23:06 on monte jusqu'à la courbe,
23:08 son image on lit sur l'axe des ordonnées, c'est 3.
23:10 Oui par le i c'est 1 en abscisse,
23:12 le j c'est dire que c'est 1 en ordonnée.
23:14 f(0), l'image de 0, on se met là,
23:18 hop, on descend jusqu'à la courbe,
23:20 son image c'est -2,
23:22 et f(3),
23:24 on se met à 3, on monte jusqu'à la courbe,
23:26 son image c'est 1.
23:28 Bon ok, ça lecture d'image, niveau seconde,
23:30 troisième seconde.
23:32 Ensuite là,
23:34 ce qui est vraiment du niveau premier,
23:36 ce qui est demandé au bac, très souvent, c'est lire graphiquement
23:38 des nombres dérivés. Donc par lecture graphique
23:40 déterminer la valeur de f'(-5),
23:42 donc on se met au point d'abscisse -5,
23:44 on descend jusqu'à la courbe,
23:46 et là, hop, on vous a
23:48 représenté les tangentes, là il y a la tangente
23:50 qui passe. Alors pour que ce soit très clair,
23:52 ce ne sont pas des vecteurs, on voit qu'il y a deux flèches au bout,
23:54 en fait ce ne sont ni des vecteurs,
23:56 c'est juste la droite, mais qu'ils n'ont pas
23:58 voulu prolonger.
24:00 En fait il faut s'imaginer qu'on prolonge cette droite,
24:02 c'est pour faire des économies,
24:04 comment dire,
24:06 c'est par un peu fainéantise, ils n'ont pas voulu
24:08 la prolonger la droite, donc ils mettent
24:10 ces espèces de deux flèches, mais bon,
24:12 il faut s'imaginer que c'est une droite que l'on prolonge à l'infini.
24:14 Voilà, donc on arrive ici,
24:16 il y a la tangente, et donc le nombre dérivé,
24:18 si on a compris le cours, c'est le coefficient
24:20 directeur de la tangente, donc quel est le coefficient
24:22 directeur de cette droite ?
24:24 Donc si je me mets en A, lorsque j'avance d'une unité
24:26 en abscisse, on monte
24:28 de 1, 2, 3, 4 unités
24:30 en ordonnée pour rejoindre cette tangente.
24:32 Donc c'est 4, le coefficient directeur.
24:34 Ensuite, f'(-3),
24:36 le nombre dérivé
24:38 de f(-3) se met en -3
24:40 au point d'abscisse,
24:42 on monte jusqu'à la courbe, et là hop,
24:44 il y a la tangente qui est tracée,
24:46 quel est le coefficient directeur de cette tangente ?
24:48 Eh bien on constate que lorsque
24:50 on avance d'une unité en abscisse,
24:52 on monte de 0 unités
24:54 pour rejoindre la tangente,
24:56 donc là le nombre dérivé c'est 0.
24:58 Ensuite,
25:00 f'(0), on se met au
25:02 point d'abscisse 0, on descend
25:04 jusqu'à la courbe, hop,
25:06 et là il y a la tangente qui est tracée,
25:08 quel est le coefficient directeur de cette tangente ?
25:10 Lorsque j'avance d'une unité en abscisse,
25:12 en ordonnée pour rejoindre la tangente,
25:14 on descend d'une unité,
25:16 donc attention, vu qu'on descend d'une unité,
25:18 c'est -1 le coefficient directeur,
25:20 et ensuite que
25:22 f'(3), c'est
25:24 le nombre dérivé de f(3), on se met au point
25:26 d'abscisse 3, on monte jusqu'à la courbe,
25:28 hop, il y a la tangente qui est tracée,
25:30 quel est le coefficient directeur de cette tangente ?
25:32 Lorsqu'on avance d'une unité,
25:34 on monte de
25:36 3 unités pour rejoindre
25:38 la tangente, donc le nombre dérivé
25:40 en 3 c'est 3.
25:42 Et ensuite,
25:44 on vous demande les équations de tangente,
25:46 alors question 3,
25:50 on nous dit
25:52 déterminer l'équation réduite de la tangente
25:54 ACF passant par le point A d'abscisse -5,
25:56 donc au point d'abscisse -5,
25:58 la tangente c'est
26:00 celle-là qui est là,
26:02 donc on applique la propriété du cours,
26:04 y = f'(-5)
26:06 x -
26:08 attention, vu qu'on est au point d'abscisse -5,
26:10 x - -5
26:12 + f(-5)
26:14 donc la droite,
26:16 c'est la tangente, c'est y = f'(-5)
26:18 on a vu que c'est 4,
26:20 x - -5, x + 5
26:22 + f(-5)
26:24 on a vu que ça valait -4,
26:26 donc + -4,
26:28 donc on trouve que y =
26:30 4x + 20
26:32 + -4, donc -4,
26:34 donc on trouve que
26:36 y = 4x + 16
26:38 alors c'est cohérent,
26:40 le coefficient directeur vaut 4,
26:42 et l'ordonnée à l'origine vaut 16,
26:44 donc on imagine qu'on prolonge la tangente,
26:46 si on la prolonge,
26:48 l'ordonnée à l'origine,
26:50 le petit p sera bien égal à 16,
26:52 donc c'est cohérent graphiquement.
26:54 Ensuite, question 4,
27:02 déterminer l'équation réduite
27:04 de la tangente ACF passant par le point B d'abscisse -3,
27:06 donc on se met au point d'abscisse -3,
27:08 on monte jusqu'à la courbe,
27:10 et donc la tangente c'est celle qui est là,
27:12 allez, on applique la propriété du cours,
27:14 y = f'(-3)
27:16 x - -3
27:18 + f(-3)
27:20 et on trouve que y = f'(-3)
27:22 et on trouve que y = f'(-3)
27:24 et on trouve que y = f'(-3)
27:26 et on trouve que y = f'(-3)
27:28 et on a trouvé que c'était 0,
27:30 donc ça fait 0 x - -3 x + 3
27:32 + f(-3)
27:34 + f(-3)
27:36 + f'(-3)
27:38 et on trouve que y = 0 x 1
27:40 donc ça fait 0, 0 x 3 = 0,
27:42 donc il va rester la droite de l'équation y = 3.
27:44 C'est normal que l'on trouve ça,
27:46 si y vaut 3, c'est dire que
27:48 le coefficient directeur vaut 0, c'est bien ça,
27:50 et l'ordonnée à l'origine, on prolonge la tangente,
27:52 la valeur de p, l'ordonnée à l'origine c'est bien 3.
27:54 Donc c'est cohérent graphiquement
27:56 qu'on trouve cette équation là.
27:58 Allez, déterminer l'équation réduite
28:00 de la tangente ACF passant par le point
28:02 c'est la ptite 0, donc on se met au point
28:04 la ptite 0, on descend jusqu'à la courbe,
28:06 il y a la tangente qui est là.
28:08 Son équation réduite, donc c'est y = f'(0)
28:10 x - 0
28:12 + f(0)
28:14 ça donne y = f'(0)
28:16 c'est donc -1 x
28:18 x - 0, donc il reste x,
28:20 x - 0 c'est x,
28:22 + f(0)
28:24 on a vu -2, donc + -2
28:26 et on trouve que
28:28 y = -x + -2
28:30 -2
28:32 Donc c'est bien cohérent
28:34 que l'on trouve ça, le question directeur
28:36 vaut -1, ok, quand j'avance de 1 je descends
28:38 de 1, et le petit p vaut -2
28:40 oui l'ordonnée à l'origine de la tangente
28:42 va à p, il est là, c'est bien -2.
28:44 Et question 6,
28:46 déterminer l'équation réduite de la
28:48 tangente ACF passant par le point d
28:50 d'Apcis3
28:52 donc on se met au point d'Apcis3
28:54 on monte jusqu'à la courbe, hop
28:56 la tangente est ici, quelle est son équation
28:58 réduite ?
29:00 Donc on y va,
29:12 c'est y = f'(3)
29:14 x - 3
29:16 vu qu'on est au point d'Apcis3
29:18 + f(3)
29:20 donc on trouve que y = f'(3)
29:22 qu'est-ce que l'on avait trouvé ?
29:26 On avait trouvé 3
29:28 donc 3 * x - 3
29:32 +
29:34 f(3) on avait trouvé que c'était 1
29:36 c'est bien ça, hop, on développe
29:40 donc ça donne 3x - 9
29:42 + 1
29:44 et on trouve que c'est y = 3x - 8
29:46 le coefficient directeur vaut 3
29:50 l'ordonnée à l'origine p vaut -8
29:52 donc si on prolonge la tangente
29:54 on sait bien que c'est cohérent
29:56 que l'on trouve un petit p = -8
29:58 Voilà pour cet exercice 4
30:00 4.