Dixième et dernière séance du cours de Jérémie Szeftel, mercredi 26 mai, Collège de France
On commence par rappeler les 3 étapes naturelle qui permettraient de prouver la conjecture de courbure L2. La deuxième étape est maintenant bien comprise et a fait l'objet des cours 4 à 9. Dans ce cours, on évoque les 2 autres étapes. La troisième étape concerne les estimations bilinéaires sur les espace-temps courbes solutions des équations d'Einstein. Une premiète estimation a été montrée par S. Klainerman et I. Rodnianski. On rappelle la preuve de cette estimation bilinéaire. On explique ensuite pourquoi celle-ci n'est pas suffisante, et on évoque par analogie aux équations de Yang-Mills une autre estimation bilinéaire qui reste à montrer.
Dans une deuxième partie, on s'intéresse à la première étape de la preuve de la conjecture de courbure L2 qui est pour l'instant ouverte. L'idée est d'exhiber la structure nulle des équations d'Einstein de manière plus explicite que par l'intermédiaire des identités de Bianchi. Pour cela, on rappelle brièvement la structure nulle des équations de Yang-Mills introduite au cours 3. Ensuite, on explique comment réécrire les équations d'Einstein sous une forme similaire à Yang-Mills, et on discute du problème du choix de jauge.
