Dans ce cours, on s'intéresse au contrôle d'une Parametrix pour la solution de l'équation des ondes homogènes sur un espace-temps courbe. Via l'estimation d'énergie pour l'équation des ondes, on se ramène à contrôler le terme d'erreur, ce qui fait l'objet de ce cours. Le terme d'erreur est un opérateur intégral de Fourier dont les propriétés de régularité de la phase et du symbole ont été étudiées aux cours 7 et 8. On commence par décomposer le terme d'erreur en fréquences, ce qui nécessite la preuve d'une propriété de presque orthogonalité. On procède ensuite à une deuxième décomposition, cette fois en angle. Une étude de la presque orthogonalité en angle révèle une divergence logarithmique. Une partie importante du cours est dédiée à cette divergence logarithmique qui nécessite de décomposer le symbole du terme d'erreur à l'aide de l'analyse de Littlewood-Paley géométrique introduite aux cours 7 et 8. On explique alors comment gérer les termes principaux, et les nombreux termes d'erreurs qui sont générés par la méthode. Enfin, on gère le terme diagonal grâce à une équation de transport.
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