00:00Arkadaşlar merhaba.
00:01Bugün de üçgen eşitsizliğimizin verilen ve en çok kullanılan formunu ben buraya yazdım.
00:08Bu formu birinci ters üçgen eşitsizliğimiz ve ikinci üçgen eşitsizliğimizin klasik verilen formunu birleştirerek bu genel formu bir ispatlamaya çalışalım.
00:18İşte arkadaşlar birincimiz ters üçgen eşitsizliği.
00:20Gördüğünüz gibi şu kısım.
00:23Bir dedim şurası.
00:24Hemen onu ben yazıyorum.
00:25Mutlak değer içerisinde mutlak değer x eksi mutlak değer y.
00:30Geometriye uygulamadan konumuz mutlak değer olduğu için mutlak değerden ispatlayacağım.
00:35Birçok ispat çeşidi vardır arkadaşlar.
00:37Birçok vardır.
00:38Bizim konumuzla alakalı olan şu anda bu olduğu için buradan ispat yapacağız.
00:42Küçük eşittir diyorum.
00:44Mutlak değer içerisinde x artı y.
00:47Şimdi arkadaşlar bunda başlamak için öncelikle kare almak istiyorum ben.
00:52Nereden?
00:52Her iki tarafında karesini alacağım değil mi?
00:54Karesini aldığımda bunun buradaki eşitsizlik değişir mi?
00:59Sonuçta ikisi de mutlak değer içerisinde olduğu için ikisi de pozitif ifadeler ve buradaki eşitsizlik yön değiştirmez.
01:06Hemen başlatıyorum.
01:07Öncelikle şu mutlak değerin karesi zaten kendisinin karesini verecek.
01:12O yüzden şöyle yazıyorum.
01:13Mutlak değer x eksi mutlak değer y.
01:17Parantez karesi.
01:19Parantez karesi.
01:20Kare iki fark arkadaşlar karesinin neydi?
01:23Mesela a eksi b'nin karesi.
01:24A kare eksi 2 çarpı a çarpı b artı b kareydi değil mi?
01:28Burada da aynısı.
01:30Birincimizin karesi.
01:32Mutlak değer x'in karesi.
01:34Eksi.
01:36Şunun karesini alıyorum arkadaşlar.
01:38Ondan buna varmaya çalışacağım.
01:402 çarpı mutlak değer x çarpı mutlak değer y artı mutlak değer y'nin karesi.
01:47Bu forma getirdik şimdi biz bunu.
01:50Şimdi buna baktığımda şu mutlak değer x'in karesi yerine zaten pozitif olacağı için ben buraya x kare yazabilirim.
01:56Buraya da y kare olarak dönüştürebilirim.
01:59Yani bunu şöyle yazabilirim arkadaşlar.
02:01x kare x 2 çarpı mutlak değer x çarpı mutlak değer y artı y kare.
02:09Bunu yazdıktan sonra size hemen bir kuralınızı yani tarımınızda verilen bir ifadeyi açıklamak istiyorum arkadaşlar.
02:15Biz biliyoruz ki mutlak değer x çarpı mutlak değer y büyük eşit olmalı değil mi?
02:23Eksi x çarpı y'den.
02:25Bu ne demek arkadaşlar?
02:27Bunu çarptığımızda birleştirdiğimizde mutlak değer içerisinde x çarpı y eksi x çarpı y'den büyük ya da eşit olması gerekmez mi?
02:35Gerekmez mi?
02:37Evet gerekir değil mi?
02:39Tamam.
02:40Şimdi bunu da şöyle yapacağız arkadaşlar.
02:43Bu tanıdan geliyor.
02:45Eksi
02:48Mutlak değer içerisinde x çarpı mutlak değer içerisinde y.
02:52Ben buraya eksi ile böldüğümde şu her iki tarafı da eksi ile böldüğümde eksi 1 ile böldüğümde küçük eşittir x
03:01çarpı y olmaz mı?
03:03Olur değil mi?
03:04Eşitsizliğimiz yön değiştirdi.
03:06Şimdi bunu niye verdim?
03:07Hemen aktaracağım.
03:09Sonra bunu iki ile çarptığımızda bunu ispatımızda kullanacağız arkadaşlar.
03:14Eksi 2 çarpı 2 pozitif bir sayı olduğu için eşitsizliğimiz yön değiştirmeyecek.
03:19x çarpı y küçük eşittir 2 çarpı x çarpı y'den.
03:25Bu da doğru mu?
03:26Doğru.
03:27Peki bu ifademiz bir kalsın.
03:29E peki ben bunu yazdığımda şuradaki ifadem yani ben bunun karesini almıştım ya.
03:34Hemen yazıyorum arkadaşlar.
03:37Şöyle x kare eksi 2 tane mutlak değer x çarpı mutlak değer y artı y kare.
03:45Küçük eşittir.
03:46Geri kalan ifadeleri de x kare ve y kareyi de buraya koyarsak değişir mi?
03:50Değişmez.
03:50Bakın bu birinci ifade oldu.
03:52O zaman küçük eşit değil midir?
03:56Arkadaşlar.
03:58x kare artı 2 çarpı x çarpı y artı y kare'den.
04:05E peki şunu şuraya getiriyorum.
04:07Bakın buradan ne çıktı?
04:09Bu x kare artı 2x çarpı y artı y kare de x artı y'nin karesi değil midir?
04:15Şöyle eşittir diyorum arkadaşlar.
04:17Lütfen bunu eşit olarak algılayın.
04:19x artı y'nin karesi.
04:21Parantez karesi.
04:23Biz bunu da bulduk arkadaşlar.
04:25Demek ki bu neymiş o zaman?
04:28Hemen şöyle geldiğimde.
04:30Biz en baştan beri aldığımız mutlak değer x eksi mutlak değer y'nin karesi küçük eşittir.
04:38x artı y'nin karesine ulaşmadık mı?
04:42Ulaştık.
04:43Demek ki buradan aslında biz mutlak değer içerisinde mutlak değerli x eksi mutlak değer y.
04:53Değil mi arkadaşlar?
04:54Her tarafında ne yapacağız arkadaşlar?
04:56Kare kökünü alacağız.
04:57Kare kökünü aldığımızı varsayalım lütfen.
05:00Kare kökünü aldığımızda arkadaşlar şu şekilde.
05:03yine aynı şekilde
05:04kare kare kökü götürülecek
05:06mutlak değer içerisinden çıkacak ki çıktı
05:08küçük eşittir diyeceğiz
05:11nedir? mutlak değer içerisinde
05:13yine aynı şekilde buradan çıkacak
05:14mutlak değer içerisinde x artı y
05:18bakın gördüğünüz gibi
05:20biz bunu aslında ispatlamış olduk
05:22birinci kısım ispatı burada biter
05:26şimdi ikinci kısıma gelelim arkadaşlar
05:31ikinci kısımı da aynı özellikten yapacağız
05:34bu çok kolay bir ispat
05:36şimdi ikinci kısımda ne diyor arkadaşlar şurada
05:40buraya da ispatlayacağız ki
05:42komple eşitsizliğimiz ispatlanmış olsun
05:45mutlak değer x artı y
05:46küçük eşittir
05:48mutlak değer x artı mutlak değer y
05:51yine aynı şekilde arkadaşlar
05:54ne yapacağım?
05:55şunun karesine olarak başlayacağım
05:57mutlak değer x artı y'nin karesi
06:01o da eşittir
06:02x artı y'nin kendi karesi değil midir?
06:05yazabilir miyiz? yazarız
06:06o da eşittir arkadaşlar
06:08x kare artı 2 çarpı x çarpı y artı y karedir
06:13bunu yazar mıyız? yazarız
06:15peki onda da
06:17şunu da yazdığımız gibi arkadaşlar
06:18mutlak değer x'in karesine x kare demiştik ya
06:21burada da bunu mutlak değer x'in karesi
06:24artı 2 çarpı x çarpı y artı mutlak değer y'nin karesi diyebilir miyiz? deriz
06:32şimdi bu bir burada kalsın
06:34şimdi şu özelliğe girelim
06:35ben biliyorum ki yine şu kuraldan arkadaşlar
06:38x çarpı y'imiz küçük eşit olmalı değil mi?
06:43değil mi arkadaşlar?
06:44mutlak değer x çarpı mutlak değer y'den
06:47bunu da biliyorum
06:49yani bu ne demek arkadaşlar?
06:51mutlak değer 2 ifadenin çarpımı pozitif olduğu için
06:53x çarpı y'den büyüktür veya eşittir
06:56peki böyle olduğunda
06:582 ile çarptığımda her taraf
06:592 çarpı x çarpı y küçük eşittir
07:022 çarpı mutlak değer x çarpı mutlak değer y olmaz mı?
07:06olur
07:06ben de bir şey değişmedi
07:07e peki ben buraya geldiğimde arkadaşlar
07:10şuraya koyduğumda
07:13şuraya yazacağım
07:16ya da şöyle yapalım
07:18şu ifadeyi
07:20küçük eşit diyeceğim arkadaşlar
07:22şimdi ne yapacağım?
07:24diğerine karısını alacağım
07:25değil mi arkadaşlar?
07:26hatta diğerinin karısını almadan önce
07:28diğerine varmak için
07:29şuradaki ifadeye şunu koyacağım
07:32yani x kare artı 2x'ye artı y kare
07:35ben buraya koyduğumda
07:37x kare artı y kare koyduğumda
07:39küçük eşit olmuyor mu?
07:402x kare mutlak değer x kare artı 2 çarpı mutlak değer x çarpı mutlak değer y artı y kareden
07:47evet
07:47yani şunu diyeceğim
07:49bu ifade aslında şundan küçük
07:51mutlak değer x'in karesi artı 2 çarpı mutlak değer x çarpı mutlak değer y artı mutlak değer y'nin
07:59karesinden
08:00bakın bu bundan küçük ki bunu sağladı
08:03peki eşittir diyorum arkadaşlar
08:06o da şurası aslında neye eşit arkadaşlar
08:09hemen baktığımızda
08:11mutlak değer x artı mutlak değer y'nin parantez karesi
08:16doğal olarak arkadaşlar
08:18şöyle oluyor
08:21mutlak değer x artı y'nin karesi
08:25küçük eşittir diyoruz
08:27mutlak değer x artı mutlak değer y'nin karesindenmiş
08:34bunu da bu şekilde ispatlamış oluyoruz
08:37şöyle oluyor arkadaşlar
08:39bunu da kare kökkeni aldığımızda eşitsizliğimizi yön değiştirmiyor
08:42iki tarafta pozitif olduğu için
08:43mutlak değer içerisinde
08:45x artı y küçük eşittir
08:49mutlak değer x artı mutlak değer y olarak çıkıyor
08:53bu çıktığında
08:55biz bir ve ikinci ispatlarımızdan
08:59ki burada da bu kısım biter
09:01bir ve ikinci ispatlarımızdan
09:04bir ve ikiden
09:05üçgen eşitsizliği
09:14ispatlanır diyoruz
09:19işte üçgen eşitsizliğimizin genel anlamda
09:23bu formdan ispat şeklini buradan yaptık
09:25bu
09:25sevden
09:25tı黎
09:25baş ç
09:25genel
Yorumlar