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00:01笑わない数学
00:02今日のテーマは
00:08フェルマーの最終定理
00:1317世紀のフランスの数学者
00:15フィエールド・フェルマーが残した
00:17数学史上最大のミステリーとも呼ばれた難問です
00:22なぜミステリーと呼ばれたのか
00:25実はフェルマーはこの問題を
00:28自ら証明したと書き記しているんですが
00:31どこを探してもその証明が見つからなかったからなんです
00:37その後数々の数学者が
00:40フェルマーの最終定理の証明に挑んでは敗れ去
00:44り
00:44結局350年経って
00:48ようやく証明にたどり着いたという代物なんです
00:53でもこの難問
00:54問題自体を理解するのは意外と簡単です
00:58まずはこれをご覧ください
01:08ここで皆さんに質問です
01:11この式を満たす
01:12XYZの組は存在するでしょうか
01:18えっそれなら中学校で習ったって
01:22はいはい
01:23例えばXが3
01:26Yが4
01:28Yが4
01:28Zが5であればこの式を満たしますよね
01:33他にもこの式を満たす
01:35XYZの組はたくさんあるんです
01:41じゃあもしここが2乗じゃなくて3乗だったらどうでしょう
01:46この式を満たす
01:48XYZの組はあるでしょうか
02:19ちょっとやってみましょう
02:22はいはい
02:23次やっていきますよ
02:24サザンが9
02:25クサン27
02:28たす
02:30でシシ16
02:3116かけ4
02:32はい
02:34はい
02:354
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02:376
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03:407
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03:477
03:517
03:51729か
03:52はい
03:53ないわ
03:53これも駄目だ
03:55だめ駄目駄目駄目駄目駄目3乗だとねXYZ
03:59がないかもしれないねこれこれはないかもしれないですあアアアオッケ
04:04ーサンキュー
04:06はいそろそろ皆さんも分かってきたんじゃないですか
04:10フェルマーはこう言ったんです
04:12Nが3以上の場合この式を満たすXYZの組は一
04:19つも存在しないと
04:21つまりNが3でも4でも100でも1000でも1万でも
04:27式を満たすXYZは絶対にないってことなんですよ
04:34フェルマーのこの主張本当に正しいのかどうか
04:38それを証明しろという問題がフェルマーの最終定理なんです
04:48フランスパリから500キロほど離れた田舎町
04:561607年フェルマーはこの家で生まれました
05:03同じ時代を生きた科学者といえばケプラー、ガリレ
05:08オ、ニュートン
05:10ヨーロッパを中心に近代的な科学が発展した時でした
05:17フェルマーは確率論や気化学など当時最先端
05:22の研究を行い
05:23数学界をリードする存在でした
05:30そんなフェルマー、30歳の頃
05:33こんなメモを手元にあった本の余白に書き留めます
05:402乗よりも大きいべきの数を
05:42同じべきの2つの数の輪で表すことは不可能である
05:49これを現代風に言うと
05:52Nが3以上の場合
05:54この式を満たすX、Y、Zの組は存在しない
06:01ところがフェルマーは続けてこんなことを書き足したんです
06:08私は真に驚くべき証明を見つけたが
06:14この余白はそれを書くには狭すぎる
06:19なんとフェルマー
06:21さっきのメモが正しいことを示す証明を
06:24どこにも残さないままこの世を去ってしまったのです
06:30これがその後350年にわたって
06:33数学者たちを悩ませ続けることになる
06:36フェルマーの最終定理の誕生でした
06:42ちょっとフェルマーさん
06:43そりゃないっすよ
06:46余白が足りないんだったら
06:48別の紙に書けばいいじゃないですか
06:50無責任すぎませんか
06:54まあとにかくフェルマーの最終定理は
06:57本当に正しいのかどうか
07:00大きな謎が残されたわけです
07:04その謎を解こうと
07:05その後たくさんの数学者たちが証明に挑みます
07:10まず成果をあげたのはこの番組の常連
07:14レオンハルト・オイラーです
07:18数学史上類を見ないほどの天才オイラーなら
07:21この問題を解決できるかもって期待しちゃいますよね
07:27そうオイラーはやったんです
07:31Nが3の時だけですけども
07:34いやー3だけかーってがっかりしましたか
07:38でもねこれ十分すごいことなんですよ
07:42とにかくあのオイラーでも
07:44Nが3の時だけしか解決できなかったってことは
07:49この問題がめちゃくちゃ難しいってことを
07:52分かってもらえるんじゃないでしょうか
07:55思い出してください
07:56フェルマーの最終定理を証明するためには
07:59Nが10の時も1万の時も1億の時も
08:05つまりあらゆるNの時に正しいと証明しなければな
08:10りません
08:13だから一つ一つチラミつぶしに当たっていったら
08:17永遠に終わらないってことになっちゃいます
08:23そんな時一つ一つNを当たるんじゃなくて
08:27ある程度まとめて解決しようという数学者が登場したんです
08:33ソフィー・ジェルマン
08:35当時非常に珍しい女性数学者でした
08:431776年パリ
08:46ジェルマンは裕福な家庭に生まれました
08:50幼い頃から大の数学好き
08:55しかし当時のフランスでは
08:57女性が数学を学ぶことは
09:00社会的に受け入れられていませんでした
09:06両親は娘が数学を学ぶことを止めようとしましたが
09:11それを押し切って独学で数学を学び続けたといいます
09:19ジェルマンが18歳の時
09:21理系のエリートを養成するための
09:24理工科学校が創設されました
09:29しかし入学を許されるのは男性だけ
09:35そこでジェルマンは男性の名前
09:38ムッシュ・ル・ブランを名乗って生徒として潜り
09:41込み
09:42数学を学んだのです
09:47ジェルマンの才能はその後
09:49数学者の王とも呼ばれた
09:51あのガウスも認めるところとなります
09:58自らを男性と偽りつつ
10:00研究結果をガウスに送って
10:03意見交換をするようになりました
10:10そして1804年
10:13ジェルマンはフェルマーの最終定理の証明に
10:16迫る
10:17一つの成果にたどり着きます
10:22有名なフェルマー方程式を証明することに
10:25成功したと考えています
10:28私はこの論考を
10:30先生の判断に委ねたいと思います
10:35ジェルマンが取った戦略は
10:37それまでにはなかった斬新なものでした
10:43Nに入る数字を
10:45一つ一つ確かめていくのではなく
10:48たくさんのNの場合を
10:50一気に証明する方法を考え出したのです
10:56そのたくさんのNとはこんな数です
11:01素数のうち2倍して1を足したものが
11:05また素数になるもの
11:10例えば素数5の場合
11:122倍して1を足すと11ですが
11:16これも素数ですよね
11:21素数11の場合も
11:242倍して1を足すと23で
11:27これも素数です
11:32ジェルマンはNが5、11、23、29など
11:38素数のうち2倍して1を足したものが
11:42また素数になるものなら
11:44ある一定の条件の下で
11:46フェルマーの最終定理が
11:48成り立つことを示したのです
11:54たくさんのNの場合を
11:56一気に扱う方法を考え出した
11:58ジェルマン
12:01しかし女性であることを理由に
12:04論文として発表することは
12:07認められなかったといいます
12:13これはジェルマンが30歳の時に
12:16自分が女性であることを
12:18ガウスに打ち明けた手紙です
12:24そこには女性数学者としての
12:27生きにくさが綴られていました
12:32私は女性だということだけで
12:34受ける差別を恐れ
12:36名前を偽って
12:37先生に手紙を送っていました
12:41私が女性だと知った後も
12:44どうか変わらぬ交流を
12:46続けていただければと
12:47願っています
12:51ガウスはこう返信しました
12:55女性が数学の道を歩むことは
12:58男性よりも
13:00はるかに障害が多いと想像します
13:05それを乗り越え
13:06数学という難解な世界に
13:09足を踏み入れているあなたは
13:11崇高な勇気と優れた才能を
13:15持っているに違いありません
13:21ガウスはジェルマンに
13:22自分が所属する月賃源大学の
13:25名誉学位を授けようと動きました
13:30しかしジェルマンはその直前
13:3355歳でこの世を去りました
13:41女性だからという理由だけで
13:43正当に評価されなかったジェルマン
13:47でもそんな逆境にもめげず
13:49異様を成し遂げたジェルマンは
13:51本当にかっこいいと思います
13:54さてフェルマーの最終定理の
13:57証明への道
13:59ジェルマン以降も
14:00ある程度の前進は見られました
14:03しかし20世紀に入っても
14:06まだまだ無限に多くのNが
14:08残されたまま
14:09ほとんど進まなくなります
14:13あまりの難しさに
14:14多くの数学者は
14:16フェルマーの最終定理を
14:18完全に証明することは不可能だ
14:22もう証明を諦めよう
14:24と考えるようになったんです
14:32はい
14:33これでフェルマーの最終定理の
14:35お話は終わりです
14:41普通ならそうです
14:44実はフェルマーの最終定理とは
14:47全然関係のないところで
14:49行われていた一つの研究が
14:53その後誰も予想しなかった
14:55突破口を開くことになるんです
14:59その研究取り組んでいたのは
15:022人の若き日本人でした
15:07戦後のやけの原から
15:09数学を志した
15:12志村五郎と谷山豊
15:152人の研究テーマは
15:17ものすごく変わっていました
15:22こんな感じの方程式の問題と
15:26こんな感じの不思議な絵が
15:29言ってみれば
15:30つながっているんじゃないか
15:32という研究です
15:35まずはこちらの方程式の問題の方から
15:39ご説明しましょう
15:42この式を満たす
15:44XYの組は何個あるか
15:48ただしこの問題を解くためのルールは
15:51普通とは少し違います
15:54いわば時計を使って解きなさい
15:57というのです
16:03これは皆さんおなじみの時計
16:07時計の世界では
16:090時から始まって
16:111時、2時と進んでいくと
16:16また0時、1時、2時へと戻りますよね
16:23時計の世界では
16:24数字は0から11までしかない
16:27ということになります
16:33ちなみにこの世界で
16:35足し算をしてみると
16:389時に4時間を足すと
16:4013時ですが
16:44この世界では1時
16:46つまり9たす4は1に等しい
16:50というわけです
16:55同じように
16:57もし3時間の時計があったらどうでしょう
17:01この世界では数字は
17:030と1と2しかありません
17:081時は変わらず1時ですが
17:121たす2は
17:150になり
17:192を3回足すと
17:21普通は6ですが
17:26この世界では
17:280になります
17:33ここで改めて
17:35さっきの問題を見てみましょう
17:38この問題を
17:39使える数字が
17:410と1と2だけの
17:433時間の時計の世界で
17:45解くとどうなるか
17:53xが0でyが0の時
17:55方程式は
18:000イコール0になって
18:02ちゃんと成り立つので
18:04xが0、yが0という組は
18:07この式はこの式を満たす
18:091つの組み合わせであることが
18:11分かります
18:15だから表に丸をつけておきましょう
18:24xが0でyが1という組では
18:312イコール0になっておきましょう
18:332イコール0になっちゃいますから
18:34式は成り立ちません
18:38だからここは×
18:45xが0でyが2の時は
18:516イコール0になりますが
18:533時間の時計の世界では
18:566は0に等しいので
18:593時間の時計の世界で
19:00ちゃんと式が成り立ちます
19:06こんな感じで
19:073時間の時計の世界では
19:10この式を満たす
19:11x、yの組は
19:134個ということになります
19:19ということで
19:21この表に4個と記録しておきましょう
19:27全く同じように
19:292時間や5時間などの
19:31いろいろな時計の世界で
19:33この式を満たす
19:35xとyの組の個数を調べて
19:38表に記録していきます
19:42するとこんな表が出来上がりました
19:47え?この表の何が面白いのかって?
19:51はい、お気持ちはよくわかります
19:54でもこれがフェルマーの
19:56最終定理につながりますから
19:58もうちょっとだけ我慢してください
20:04さてさて、さっきこう言いましたよね
20:08しむらと谷山は
20:10こんな感じの方程式の問題と
20:13こんな感じの不思議な絵が
20:15言ってみればつながっているんじゃないか
20:18という研究をしていたと
20:22じゃあ今度は
20:23こっちの不思議な絵を見てみましょう
20:29この絵を描いたのは
20:30騙し絵で有名なオランダの画家
20:33エッシャー
20:37色とりどりの魚が
20:39びっしりと敷き詰められていますが
20:43円の外側に行くにつれて
20:46魚が小さくなり
20:47どこまでも続いていくように見えます
20:52実はこうしたこの絵の特徴
20:58こんな数式が持つ特徴と
21:00そっくりだというのです
21:05この数式をグラフで表すと
21:08こんな感じ
21:11これを上から見ると
21:16ほらどうです
21:18エッシャーの絵の特徴と
21:20似ていると思いませんか
21:27ではこのエッシャーの絵に関係する数式が
21:30さっきの方程式の問題と
21:33どうつながっているというのでしょうか
21:36あと一歩ですから
21:37ついてきてくださいね
21:41エッシャーの絵に関係する数式を
21:44詳しく書くと
21:49こんな感じ
21:52これをもとに
21:53志村と谷山は
21:55こんな表を作り始めました
21:59肩の数字が2になっている部分を探し出し
22:03肩の数字から前の数字を引き算します
22:13そして出てきたその数字を表に記入
22:20次は肩の数字が3になっている部分を探し出し
22:25また肩の数字から前の数字を引き算します
22:38そしてその数を記入
22:42こんな感じで表を作っていくと
22:52ほらこれ
22:53時計を使った計算で作った表と
22:57なぜか全く同じになっているんです
23:06志村と谷山が気がついたこと
23:10それはざっくり言えば
23:12様々な方程式の問題とエッシャーの絵に関係する
23:16数式とに
23:17ひょっとしたら深いつながりがあるんじゃないか
23:21ということだったんです
23:24難しかったですか
23:27まあとにかく2人の日本人がフェルマーの最終定
23:33理と全然関係のないところで
23:35志村谷山予想と呼ばれる問題を世に送り出したということだけ
23:41覚えておいてください
23:46いやーこの話本当に不思議な話なんです
23:51なぜならこんな感じの方程式の問題は
23:56このエッシャーの絵の数式とは全然関係ないと考
24:00えられていたのに
24:01志村と谷山がそこに深いつながりを発見したんですから
24:07この発見を何かに例えるなら
24:12フィラミッドから発見された壁画と全く同じものが
24:16なぜかシベリアの永久凍土の地下からも発見さ
24:20れたような驚き
24:23そんな感じです
24:25でもそのくらいの驚きだったので
24:27志村谷山予想が本当に正しいかどうかについては
24:32欧米の数学者たちはみんな半信半疑だったそうです
24:39そして残念ながら志村と谷山は
24:41自分たちの予想の正しさを証明することまではできません
24:45でした
24:47未解決のまま残されることになったんです
24:52ところが1986年
24:55これまためちゃくちゃ意外なことが発見されたんです
25:00言いましたよね
25:02志村と谷山はフェルマーの最終定理とは
25:06全然関係ないところで研究していたって
25:09でもなんと志村谷山予想が
25:12フェルマーの最終定理と直に結びつく
25:16という事実が発見されたんです
25:23証明されないまま残っていた志村谷山予想
25:28それがフェルマーの最終定理と結びつくことを示
25:32したのは
25:32アメリカのケン・リベット博士
25:38ドイツのゲルハルト・フライ博士とともに導き
25:41出した発見でした
25:46この瞬間
25:47志村谷山予想が正しいと証明できれば
25:51フェルマーの最終定理もまた正しいことが証明できる
25:55という事実が明らかになったのです
26:01それはとんでもないアイデアでした
26:04数学者は誰もがインパクトのある成果を残したいと
26:08願って研究していますが
26:11まさに私の死後も人々が忘れられないような発見を
26:16することができたのです
26:19そしてイギリス人数学者のアンドリュー・ワイルズ
26:23博士が
26:23志村谷山予想の証明に乗り出します
26:28幼い頃からフェルマーの最終定理を説くことを夢
26:33見ていた数学者です
26:36しかし志村谷山予想はどこから手をつければ良いか
26:41分からないほどの超難問でした
26:45ワイルズ博士はその時の苦しい胸の内をこう例えています
26:54それは暗闇の中で手探りで部屋の様子を確かめる
26:58ような作業でした
27:01半年ほど経つと電灯のスイッチが見つかり
27:06明るくなるとようやく部屋の様子がはっきりと分
27:10かります
27:12そうなったらまた次の真っ暗な部屋に移って
27:17さらに半年を手探りで過ごす
27:21その繰り返しでした
27:26そして1995年
27:28ついにワイルズ博士はリチャード・テイラー博士
27:32とともに証明を完成させたのです
27:37フェルマーの最終定理の証明には
27:40志村谷山予想の一部を証明すれば十分でしたが
27:45それでも論文は130ページにも及びました
27:53フェルマーの最終定理の誕生から
27:56およそ350年
27:59数学史上最大のミステリーは解決したのです
28:10こんなにも長い間
28:12多くの数学者を悩ませた難問は
28:14他にはなかなかありません
28:18でも元はといえば
28:19あのフェルマーがこんな無責任な文書を残したから
28:24こんな面倒なことになった
28:26僕はそんな気がしてなりません
28:29フェルマー自身は証明方法を本当に見つけていたの
28:33か
28:34今となってはもう誰にも分からないことです
28:40そうそう僕もね皆さんを絶対に笑わせられる一発ギャグを
28:45思いついたんですけど
28:48それを披露する時間がね足りないようで
28:51オッケーです
28:52オッケーです
28:52お疲れ様です
28:54ありがとうございました
28:54お疲れ様でした
28:56いいんですよね
28:57終わりですね
28:58お疲れ様でした
28:59お疲れ様でした
29:00お疲れ様でした