00:00Olá pessoal, hoje vamos resolver a questão 5, que também é a questão 5 da seção 2.8 do Steinbush.
00:08A questão diz o seguinte, dados os vetores u, 2 e menos 4, v, menos 5 e 1, e w, menos 12 e 6,
00:17determinar k1 e k2 tal que, aí ele diz que w aqui é uma combinação linear,
00:24dos vetores u com v, onde tem k1 multiplicando u e k2 multiplicando v.
00:30Então vamos resolver esta questão, né, primeiramente vamos anotar aqui os valores dos vetores, né,
00:39eu tenho que o vetor u é igual a 2, os pontos 2 e 4, né, seja para o ponto x e aqui o ponto y,
00:50v é igual a menos 5 e 1, e w é menos 12 e 6, esses são os vetores dados na questão.
01:08Então, vamos lá, substituindo os valores dos vetores,
01:26Então, vamos montar aqui a equação que ele deu, né, essa é a equação que ele deu, w, vetor w é igual a k1,
01:36vetor u, mais k2, vezes o vetor v, certo?
01:43Então, a gente vai montar aqui, né, os valores, que é w, menos 12 e 6,
01:50tudo isso é igual a k1, vezes o vetor u, quem é u? 2 e menos 4, certo?
01:59Mais k2, vezes o vetor v, quem é v, menos 5 e 1.
02:05Então, a gente vai, nessa aqui vai repetir, esse lado aqui, né, que já está feito esse vetor,
02:13menos 12,
02:16aqui é 12, 6,
02:21igual a k1,
02:23se a gente tem dois vetores assim, a gente multiplica, se tem um número real multiplicando o vetor,
02:28a gente multiplica o número real a cada componente do vetor, né,
02:31Então, vamos ter aqui, 2k1,
02:35menos 4k1, na parte de y,
02:41mais essa outra parte aqui, que é,
02:44k2, vezes menos 5, vai dar menos 5k2,
02:51e para a parte de y, vai ser o próprio k2, certo?
02:55Agora aqui, a gente precisa somar esses vetores, né,
02:59aqui nós temos 12, menos 12 e 6,
03:02tudo isso é igual a o quê?
03:052k1,
03:07menos com menos,
03:10ou mais com menos, vai dar menos,
03:11então, menos 5k2,
03:17e na parte de y, nós temos,
03:19menos 4k1,
03:22mais k,
03:24certo?
03:25Então, aqui a gente montou esses vetores, né,
03:28onde agora,
03:29a gente precisa fazer o quê?
03:31Pela condição,
03:33pela condição
03:38de
03:40igualdade
03:43de vetores,
03:46ou seja, de dois vetores,
03:48temos o seguinte aqui,
03:53a gente precisa montar aqui,
03:55a gente pode montar os estímulos lá,
03:56porque esse vetor é igual a esse,
03:57então, nessa parte aqui, nós temos,
04:00na parte direita, nós temos,
04:01na parte da componente x,
04:032k1,
04:05menos 5k2,
04:09tudo isso vai ser igual a quem?
04:10A menos 12,
04:11certo?
04:13Isso vai ser igual a menos 12.
04:15Já a parte de y,
04:18vamos ter que menos
04:19k1,
04:21menos 4k1,
04:23mais k2,
04:25tudo isso tem que ser igual a quanto?
04:27A 6.
04:28E dessa forma,
04:29a gente monta um sistema de equação,
04:32né,
04:33e aí, agora,
04:34a gente precisa resolver
04:35esse sistema de equação.
04:39Tem várias formas de resolver,
04:41vamos fazer o seguinte,
04:42ó,
04:42resolvendo
04:47o sistema.
04:53Eu vou utilizar,
04:55vou usar essas duas equações,
04:58né,
04:59k1,
05:00menos k,
05:025k2,
05:04né,
05:05menos 5k2,
05:06igual a
05:07menos 12.
05:09Ah, aqui o que a gente precisa fazer,
05:10eu vou multiplicar essa equação por 2
05:13em ambos os lados.
05:16Multiplicando por 2,
05:17eu vou ter que essa equação agora,
05:19ela vai tornar o quê?
05:20Ela vai tornar aqui 4k1,
05:242 vezes 5,
05:26aqui nesse lado também.
05:27eu vou ter menos 10k2,
05:33e aqui multiplicando por 2,
05:34porque eu tô pegando a equação,
05:36se eu multiplico por todo mundo de um lado,
05:38no outro lado também eu tenho que multiplicar por 2 também.
05:41E aqui eu tenho
05:42menos 24.
05:44por que eu preciso fazer isso?
05:47Porque eu quero igualar
05:48com essa outra equação,
05:51certo?
05:51Porque agora
05:52eu tenho o seguinte,
05:53eu tenho,
05:55eu posso reescrever
05:56essa equação de cima aqui,
05:57esse sistema de equação,
05:58dessa forma.
06:00Eu só multipliquei uma linha
06:01por 2, né,
06:02Então agora eu tenho
06:04que é 4k1
06:05menos 10k2,
06:10tudo isso
06:10igual a menos 24.
06:12Repetindo esse outro aqui,
06:14menos 4k1
06:16mais
06:17k2,
06:19tudo isso igual a 6.
06:21Por que eu fiz isso?
06:22Multipliquei por 2.
06:23Porque eu vi aqui
06:25que aqui tem menos 4.
06:27Se eu multiplicar por 2 em cima,
06:28eu deixo aqui igual a 4.
06:30Deixando igual a 4,
06:31agora uma forma de fazer isso
06:33é somar esse sistema, né?
06:35E somando aqui,
06:36eu vou anular
06:36quem é k1
06:37da equação.
06:38Então essa é uma forma.
06:39Eu podia ter feito
06:40por outros caminhos,
06:41resolver o sistema
06:42de outra forma,
06:43por matrizes,
06:44por substituição,
06:46mas eu estou usando
06:47esse método aqui, né?
06:49Que é eliminar
06:50uma variável aqui.
06:51Então aqui,
06:52somando essas duas linhas,
06:54eu tenho que aqui
06:55vai ser 0k1
06:57e aqui vai ser igual
06:59menos 9
07:00k2, né?
07:02Porque aqui tem o menos 10
07:03somado com k1,
07:05eu vou aplicar 9.
07:07E aqui,
07:0924,
07:10menos 24 somado com 6
07:11vai dar,
07:12diminuiu do 6 de 24,
07:14então vai dar 18, né?
07:15Menos 18.
07:17E a partir dessa equação aqui,
07:21agora fica mais fácil
07:22a gente encontrar
07:22quem é k2, né?
07:24Então nós temos que
07:26menos 9k2 é igual
07:29a menos 18.
07:31Dessa forma,
07:33temos que k2
07:34é menos 18
07:36dividido por menos 9.
07:38Tudo isso vai indicar que
07:40k2 vai ser igual a 2.
07:44Então a gente já encontrou
07:45quem é k2,
07:46igual a 2.
07:48Certo?
07:48Logo,
07:52a gente pode agora pegar,
07:54por exemplo,
07:55qualquer equação,
07:57seja a primeira
07:57ou a segunda,
07:58eu vou pegar essa aqui,
08:01eu vou chamar
08:01essa aqui
08:02de equação 2
08:03e essa aqui de 1.
08:04A gente resolveu primeiro
08:05a equação 1, né?
08:08Do sistema.
08:11Agora vamos resolver
08:12pegar a equação 2.
08:14De 2,
08:15quem é 2?
08:182 é menos 4k1
08:22mais k2 igual a 6.
08:27Mas a gente encontrou
08:28quem é k2.
08:29Então, basicamente,
08:30a gente tem o seguinte
08:31que menos 4k1
08:35é mais
08:38quem é k2?
08:402.
08:41A gente encontrou
08:42que é 2.
08:43Tudo isso vai ser
08:44igual a 6.
08:44Agora a gente consegue
08:46encontrar quem é k1,
08:47porque
08:47menos 4k1
08:50vai ser igual a 6
08:51menos 2, né?
08:53Então,
08:54aí a gente tem que
08:55k1 vai ser igual a
08:574
08:58dividido por
08:59menos 4.
09:01Ou seja,
09:02vai indicar
09:03que k1
09:04vai ser igual
09:07a menos 1.
09:08Então,
09:09é uma forma
09:09de resolver
09:10e aqui
09:10a gente encontrou
09:12a resposta
09:12para a questão.
09:13logo,
09:14temos que
09:17k1
09:18é igual
09:19a menos 1
09:20e
09:23k2
09:26é igual
09:26a 2.
09:27Então,
09:28esses foram os
09:29casos
09:29encontrados aqui.
09:31A dificuldade
09:33aqui da questão
09:34foi apenas
09:35em resolver
09:36o sistema
09:36de equação, né?
09:38Então,
09:38é isso.
09:39Pessoal,
09:40aqui está a resposta, né?
09:41A gente determinou
09:42k1 e k2
09:43que foi
09:43k1 menos 1
09:44e k2
09:45igual a 2.
09:46k1 e k2
09:47k2
09:48k3
09:48k2
09:49e k2
09:50k2
09:50k2
09:51k1
09:51k2
09:51k2
09:52k1
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