00:00Jedes Mal, wenn man ein Blatt Papier faltet, vergrößert sich seine Dicke.
00:05In diesem Video berechnen wir, wie häufig man ein Blatt Papier falten muss, damit es die Höhe des Eiffelturms erreicht.
00:14Dieses Beispiel nutzen wir dann, um Logarithmen zu verstehen.
00:20Nehmen wir ein Blatt Papier der Dicke 0,1 mm und falten dieses mehrmals.
00:25Bei jeder Faltung verdoppelt sich die Dicke des Stapels.
00:31Unsere Frage ist nun, wie häufig müssen wir dieses Blatt falten, damit der Stapel eine Dicke hat, die gleich groß ist, wie die Höhe des Eiffelturms.
00:41Füllen wir zur Übersicht diese Tabelle aus.
00:45Wenn wir nicht falten, haben wir eine Schicht, wenn wir einmal falten, sind es zwei Schichten,
00:50bei zweimal falten, sind es schon vier, und bei jedem weiteren Falten verdoppelt sich die Anzahl der Schichten.
00:58Das heißt, wenn wir n mal falten, haben wir zwei, hoch n, Schichten.
01:03Die Höhe des Stapels ist 0,1 mm, mal die Anzahl der Schichten,
01:08Das heißt, bei 0 Faltungen, ist der Stapel 0,1 mm hoch, bei einer Faltung, 0,2 mm, bei zwei Faltungen, 0,4 mm, und so weiter, bis wir n Faltungen haben, wo dann die Höhe 0,1, mal 2, hoch n, Millimeter beträgt.
01:27Wenn wir nun wissen wollen, wie viele Faltungen wir brauchen, um die Höhe des Eiffelturms zu erreichen,
01:34müssen wir als erstes die Höhe des Eiffelturms in Millimeter umrechnen.
01:39Der Eiffelturm ist 318 m hoch, also sind das 318.000 mm.
01:46Wir setzen nun die Höhe des Eiffelturms mit der Höhe des Papierstapels gleich, das heißt, 0,1, mal 2, hoch n, gleich 318.000.
01:57Wir erhalten eine Gleichung, bei der die unbekannte Größe im Exponenten vorkommt.
02:04Um diese Gleichung nach n aufzulösen, dividieren wir als erstes die Gleichung durch 0,1, das heißt, wir haben 2, hoch n, gleich 3.180.000.
02:16So wie man bei Gleichungen auf beiden Seiten die Wurzel ziehen kann, kann man auch beide Seiten logarithmieren.
02:22In diesem Fall erhalten wir nach dem Logarithmieren auf der linken Seite n, mal den Logarithmus von 2, und auf der rechten Seite den Logarithmus von 3.180.000.
02:35Warum das so ist, schauen wir uns in einem separaten Video zu den Logarithmengesetzen an.
02:42Der Logarithmus einer Zahl ist wieder eine Zahl.
02:47Das heißt, wir können beide Seiten durch den Logarithmus von 2 dividieren, und somit erhalten wir als neue Gleichung, n ist gleich der Logarithmus von 3.180.000, geteilt durch den Logarithmus von 2.
03:01Wir tippen die Werte im Taschenrechner ein, und erhalten 21,601.
03:08Dann runden wir das Ergebnis auf 22 auf.
03:13Das Ergebnis lautet, wir müssen das Blatt 22 mal falten, damit es die gleiche Höhe wie der Eiffelturm hat.
03:22Was sind also nun Logarithmen?
03:25Logarithmen sind Rechenoperationen, um einen Exponenten zu bestimmen.
03:29Dazu schauen wir uns an, wie Potenzen, Wurzeln und Logarithmen zusammenhängen.
03:37Nehmen wir das Beispiel für die Potenz a hoch n gleich b.
03:42Als Zahlenbeispiel nehmen wir 2 hoch 3, das gibt 8.
03:47Wenn wir die Basis bestimmen wollen, brauchen wir die Wurzel, in diesem Fall ist a, die n-te Wurzel von b.
03:53Oder als Zahlenbeispiel nehmen wir die gleichen Werte wie vorhin, die dritte Wurzel von 8 ist 2.
04:02Wenn wir nun den Exponenten bestimmen wollen, brauchen wir die Logarithmen.
04:07Es heißt, n ist der Logarithmus von b zur Basis a, oder anders ausgedrückt, hoch was müssen wir a rechnen, damit wir b erhalten.
04:16Nehmen wir wieder die gleichen Zahlen.
04:21Der Logarithmus von 8, zur Basis 2, bedeutet, womit müssen wir 2 hoch rechnen, damit wir 8 erhalten.
04:29Die Antwort ist 3.
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