Catégorie
📚
ÉducationTranscription
00:00 On va procéder à la correction de l'interrogation sur les probabilités et les variables aléatoires.
00:06 Première question, soit A et B deux événements d'une même expérience aléatoire,
00:11 on a les données suivantes, probabilité de A, probabilité de l'événement B, probabilité de l'événement A et B.
00:16 Question 1, détermine la probabilité de l'événement contraire de B, donc la probabilité de B bar.
00:21 Donc question 1, on sait que la probabilité de B bar c'est 1 moins la probabilité de l'événement B,
00:30 ce qui donne 1 moins 0.55 et ce qui donne donc 0.45.
00:37 En effet, 0.45 plus 0.55 c'est bien égal à 1.
00:41 Question 2, détermine la probabilité de l'événement contraire de A, P2 A bar.
00:45 Donc question 2, P2 A bar, c'est donc 1 moins la probabilité de l'événement A,
00:52 ce qui donne 1 moins 0.60 et ce qui est donc égal à 0.40.
00:57 Question 3, détermine la probabilité de l'événement A union B, notez P2 A union B,
01:02 donc là il faut visualiser avec les dessins, P2 A union B, on l'a vu dans le cours,
01:08 donc je vais refaire le petit dessin en dessous, si là j'ai A, j'ai B,
01:12 donc la probabilité de A union B c'est tout ce qui est ou dans A ou dans B,
01:16 donc c'est tout ça A union B, c'est donc égal à la probabilité de l'événement A,
01:23 donc probabilité de l'événement A, donc tout ce qui est dans A,
01:29 plus la probabilité de l'événement B,
01:36 donc tout ce qui est dans B,
01:39 mais on constate que si on fait probabilité de A plus probabilité de l'événement B,
01:43 on constate que la zone que j'ai surlignée en jaune,
01:46 elle est comptée 2 fois, une fois dans A et une fois dans B,
01:49 donc il faut soustraire la zone comptée en jaune qui s'appelle l'intersection P2 A et B,
01:54 donc hop, tac tac, A, B, P2 A et B, c'est donc l'intersection ce qu'il y a ici,
02:02 donc il faut soustraire une fois l'intersection sinon on les comptait en double.
02:05 Donc voilà, P2 A union B, il faut penser à cette propriété du cours,
02:08 ce qui donne probabilité de l'événement, attention, il ne faut pas se tromper,
02:13 probabilité de l'événement 0.60 + 0.55 - l'intersection est donnée ici 0.25,
02:23 donc ça, plus A plus A, c'est égal à 0.90.
02:27 Voilà pour l'exercice 1.
02:29 Exercice 2, on lance un dé équilibré à 12, face numérotée de 1 à 12,
02:34 et on regarde la face obtenue.
02:36 Question 1, décrire l'univers ω, donc ω c'est l'univers d'une expérience aléatoire,
02:40 c'est-à-dire toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire,
02:43 donc notre univers, tous les résultats possibles qu'on peut obtenir,
02:46 comme le dit à 12 faces, c'est la face 1,
02:48 donc j'ai bien mis des accolades, attention à la notation,
02:51 ω c'est l'ensemble constitué des faces 1, 2, 3, et oui, il faut tout écrire,
02:55 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.
03:03 Question 2, pourquoi sommes-nous dans une situation d'équiprobabilité ?
03:07 Cela signifie équiprobabilité, pourquoi chaque face a la même probabilité d'être obtenue ?
03:11 Ce qui est important, c'est qu'on a un dé équilibré, c'est-à-dire un dé normal,
03:15 donc ça, c'est parce que le dé est équilibré.
03:18 Donc nous sommes dans une situation d'équiprobabilité,
03:21 chaque face a la même probabilité d'être obtenue.
03:24 Question 3, on note A l'événement, la face obtenue est Pair,
03:27 déterminer la probabilité de l'événement A.
03:30 Donc comme nous sommes dans une situation d'équiprobabilité,
03:33 on peut diviser, mettre déjà sur 12, penser qu'il y a 12 faces,
03:36 et le nombre obtenu est Pair, donc les faces Pair,
03:39 il y a face 2, 4, 6, 8, 10, 12, donc il y a 6 faces sur les 12.
03:43 Et 6/12, c'est pareil que 1/2.
03:46 Question 4, on note B l'événement, le nombre obtenu est strictement,
03:50 donc là c'était important, strictement supérieur à 8.
03:54 Donc si on est strictement supérieur à 8,
03:57 le nombre obtenu soit la face 9, 10, 11 et 12.
04:01 Donc déterminer la probabilité de l'événement B,
04:04 si le nombre obtenu est strictement supérieur à 8,
04:07 il y a donc 4 faces sur les 12.
04:10 Donc c'est un 4/12, je rappelle que 4 c'est 4 fois 1,
04:13 12 c'est 4 fois 3, donc lorsqu'on simplifie par 4,
04:16 parce qu'on a une multiplication au numérateur de numérateur,
04:19 4/12 est égal à 1/3, et on s'arreste là,
04:22 et on a donc 1/3, c'est un nombre irrationnel.
04:26 Question 5, décrire par une phrase l'événement A, M, B.
04:32 Donc ça c'est dire A et B,
04:35 c'est dire la face obtenue est,
04:39 donc A c'est pair, la face obtenue est pair,
04:43 le symbole ici c'est dire et,
04:47 donc la face obtenue est pair,
04:50 la face obtenue est strictement supérieure à 8.
04:56 Voilà, donc la face obtenue est pair,
05:05 et la face obtenue est strictement supérieure à 8,
05:07 et on vous demande la probabilité de A et B,
05:09 donc là il ne faut pas s'en sortir dans le long calcul,
05:11 il faut juste comprendre ce qu'on a écrit,
05:13 la face obtenue est pair, et la face obtenue est strictement supérieure à 8,
05:16 quelles sont les faces pairs qui sont strictement supérieures à 8 ?
05:19 Il ne reste que la face 10,
05:21 c'est bien pair est strictement plus grand que 8,
05:23 et il y a la face 12,
05:25 c'est pair est strictement plus grand que 8,
05:27 donc il y a deux faces sur les 12,
05:29 ce qui est égal à 1/6.
05:31 Et la question 6, attention, on vous dit "sachant",
05:35 donc déjà quand je dis "sachant" ça veut dire "p" de quelque chose,
05:39 voilà, donc "sachant que le d est tombé sur un nombre strictement supérieur à 8",
05:45 donc on sait que le d est tombé sur un nombre strictement supérieur à 8,
05:50 c'est l'événement B,
05:52 donc on sait que B réalisait ça, c'est ce que l'on sait,
05:55 donc je sais que le d est tombé sur un nombre strictement supérieur à 8,
05:58 donc les nombres strictement supérieurs à 8,
06:00 il y a 9, 10, 11 et 12,
06:02 donc on sait que le d est tombé soit sur 9, soit sur 10, soit sur 11, soit sur 12,
06:07 et on vous dit "quelle est la probabilité que ce soit un nombre pair ?"
06:11 et pair c'est l'événement A,
06:13 donc c'est la probabilité que le nombre obtenu soit pair,
06:16 sachant qu'il est strictement supérieur à 8,
06:20 donc on sait qu'on a obtenu une face strictement supérieure à 8,
06:24 quelle est la probabilité qu'on obtienne un nombre pair ?
06:26 il y a la face 10 et 12,
06:28 donc là cette fois-ci on a deux faces sur les 4,
06:32 pourquoi sur 4 ?
06:33 parce qu'on sait qu'on a obtenu un nombre strictement supérieur à 8,
06:36 donc on sait qu'on a soit la face 9, 10, 11 et 12,
06:38 donc là c'était sur 4 ici,
06:40 et 2 sur 4 c'est pareil que 1/2.
06:44 Voilà pour l'exercice 2.
06:47 On passe à l'exercice 3,
06:49 on vous dit "le tableau ci-dessous donne la répartition des salariés d'une grande entreprise
06:52 en fonction de leur âge et du secteur dans lequel ils travaillent,
06:55 on choisit une personne au hasard,
06:56 A la personne travaille dans le secteur administratif,
06:58 C la personne travaille dans le secteur commercial,
07:00 et J la personne à moins de 40 ans.
07:03 Déterminer la probabilité des événements A, C, J et J/A.
07:09 Boom ! On y va, question 1.
07:12 P2A, la probabilité que la personne travaille dans le secteur administratif,
07:17 administratif il y a 39 personnes sur les 191.
07:21 Ensuite, P2C, probabilité de travailler dans le secteur commercial,
07:26 152 personnes sur les 191.
07:30 Ensuite, P2J, c'est-à-dire la personne à moins de 40 ans,
07:34 donc moins de 40 ans il y a 132 personnes sur les 191.
07:38 Et P2J bar, ça signifie que la personne a plus de 40 ans,
07:42 donc plus de 40 ans il y a 59 personnes sur les 191.
07:46 Ok. Ensuite, question 2.
07:49 Quelle est la probabilité que la personne travaille dans l'administration
07:51 et le mot important est étagé de moins de 40 ans ?
07:53 Donc ça, administration, C, A.
07:55 Le "et" moins de 40 ans, J.
07:58 Donc là on s'aide du tableau,
08:00 travaille dans l'administration et moins de 40 ans,
08:03 donc moins de 40 ans et dans l'administration,
08:05 on constate qu'il y a 8 personnes.
08:07 Donc 8 personnes sur les 191.
08:10 Ensuite, question 3.
08:13 Décrire pour une phrase, je vais me lancer,
08:15 et J bar.
08:17 C'est-à-dire la personne travaille dans le secteur administratif,
08:22 donc la personne travaille, je vais mettre dans,
08:25 c'est donc dans le commerce, dans le secteur commercial.
08:28 Donc la personne travaille dans le commerce
08:30 et J bar est à plus de 40 ans.
08:36 Voilà, donc hop.
08:38 C'est-à-dire la personne travaille dans le commerce
08:40 et a plus de 40 ans.
08:42 Et la probabilité de C et J bar,
08:44 donc une personne qui travaille dans le commerce
08:46 et qui a plus de 40 ans, donc tac.
08:48 Plus de 40 ans qui travaillent dans le commerce,
08:51 il y en a 28 personnes sur les 191.
08:54 Ensuite, question 4.
09:01 Sachant.
09:02 Donc là, sachant, on va s'attendre à une notation du sachant.
09:05 Sachant que la personne choisie a plus de 40 ans.
09:08 Donc on sait qu'ici que la personne a plus de 40 ans,
09:10 donc c'est J bar.
09:12 Tac.
09:13 Donc on sait que la personne a plus de 40 ans,
09:15 donc c'est-à-dire qu'on est sur la ligne ici.
09:17 Je sais que la personne a plus de 40 ans.
09:19 Quelle est la probabilité qu'elle travaille dans le secteur commercial ?
09:21 C'est donc P de C, sachant qu'elle a plus de 40 ans.
09:25 Donc on regarde ici.
09:27 On sait qu'on a une personne de plus de 40 ans,
09:30 donc il y a 59 personnes qui ont plus de 40 ans.
09:33 Et la probabilité qu'elle travaille dans le secteur commercial,
09:35 il y en a donc 28.
09:37 C'est donc 28 sur 59.
09:39 Et enfin, question 5.
09:42 Déterminer la probabilité suivante.
09:46 Donc là, c'est P de J, sachant A.
09:49 Donc ici, sachant A,
09:51 c'est-à-dire qu'on sait que la personne travaille dans l'administration.
09:55 Donc je sais que la personne travaille dans l'administration,
09:57 donc je suis dans la colonne ici.
10:00 On sait que la personne est dans l'administration.
10:03 Et on veut la probabilité de J.
10:04 J, c'est la personne à moins de 40 ans.
10:06 Donc on sait que la personne travaille dans l'administration.
10:09 Donc il y a 39 personnes qui travaillent dans l'administration.
10:13 Donc dans l'administration, il y a 39 personnes,
10:19 donc le total est 39.
10:20 Et la probabilité de J, qu'elle ait moins de 40 ans,
10:22 il y a donc 8 personnes dans l'administration sur les 39.
10:25 Donc 8 sur 39.
10:27 Voilà pour cet exercice.
10:29 Pour l'exercice 4, on vous dit soit X est une variable aléatoire
10:31 dont on dispose ci-dessous de sa loi de proiétés incomplète.
10:33 Donc ici, je vous rappelle que ce sont les valeurs prises par la variable aléatoire X.
10:37 Et en dessous, on associe les probabilités.
10:40 Donc on vous dit quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire grand X.
10:45 Donc c'est dans la première ligne,
10:46 donc c'est -2, 0, 3 et 10.
10:50 Ensuite, on vous dit déterminer P, c'est la proiété,
10:53 la proiété que la variable aléatoire grand X soit égale à 3.
10:56 Donc on sait du tableau qu'en X vaut 3, la proiété est 0,15.
10:59 Donc la proiété que la variable aléatoire grand X soit égale à 3,
11:03 la proiété vaut 0,15.
11:05 Ensuite, calculer la proiété que grand X soit strictement plus petite que 1.
11:10 Donc ça, c'est-à-dire quelle est la probabilité
11:12 que la variable aléatoire grand X
11:14 prenne des valeurs strictement plus petites que 1,
11:17 donc strictement inférieures à 1.
11:19 Donc si X prend des valeurs strictement inférieures à 1,
11:22 ça signifie que X peut prendre la valeur -2.
11:25 Donc X peut être égal à -2,
11:28 plus la probabilité que X prenne la valeur 0.
11:32 C'est tout.
11:34 X strictement inférieure à 1, c'est-à-dire
11:37 X peut prendre la valeur -2 et X peut prendre la valeur 0.
11:40 Et donc la proiété que X soit égale à -2, c'est donc 0,20,
11:44 plus la proiété que X soit égale à 0, la proiété 0,60.
11:48 Donc finalement, la proiété que la variable aléatoire grand X
11:50 soit strictement inférieure à 1 est de 0,80.
11:54 Et enfin déterminer la proiété que la variable aléatoire grand X
11:57 prenne la valeur 10.
11:58 Donc ici, c'est quoi la proiété ?
12:00 On sait que lorsqu'on additionne toutes les proiétés
12:02 dans une voie de proiété de la somme,
12:04 elle est égale à 1.
12:05 Donc là, si on écrit 0,20 + 0,60 + 0,15,
12:12 ça donne 0,95.
12:20 Donc ça, on appelle ça "donc".
12:23 Et attention à ne pas se tromper, la proiété que grand X soit égale à 10,
12:26 attention, j'ai vu plein d'erreurs, c'est pas 0,95 - 1.
12:30 Vous vous rendez compte que là, il y a un souci d'écrire ça ?
12:33 0,95 - 1, ça donne -0,05.
12:36 Une probabilité, ça ne peut pas être négative.
12:39 On voit bien qu'il y a un souci.
12:41 Donc attention, lorsque vous écrivez, c'est pas ça, c'est 1,
12:45 la proiété totale va au moins -0,95.
12:48 Attention, ce qui donne 0,05.
12:52 Donc ici, c'est 0,05.
12:55 Attention.
12:58 OK.
12:59 Et la dernière question, calculez l'espérance de X.
13:02 Donc l'espérance de X, c'est la valeur moyenne prise par X.
13:04 Donc l'espérance de X, on y va, c'est -2 * 0,20 + 0 * 0,60 + 3 * 0,15 + 10 * 0,05.
13:17 Ce qui donne -0,40 + 0 + 0,45 + 0,50.
13:27 Et ça, ça donne 0,55.
13:29 Donc la valeur moyenne est de 0,55.
13:33 Voilà pour cet exercice.
13:35 On passe au 5.
13:37 On vous dit, dans un cinéma, la durée de la publicité varie entre 5 minutes et 15 minutes.
13:43 Donc la publicité dure 5 minutes dans 16% des cas, 8 minutes dans 25% des cas,
13:48 10 minutes dans 34% des cas, et 15 minutes dans 25% des cas.
13:53 On assiste à la projection et on note Y, donc la notation de fois ce Y,
13:59 la variable aléatoire, et ce qui est important, c'est qu'il correspond à la durée de la publicité.
14:05 Question 1, déterminez la loi de proiété de grand X.
14:08 Donc la loi de proiété de grand X, on va la représenter à l'aide d'un tableau.
14:11 Si on marque les valeurs prises par grand X,
14:17 et en dessous, on va associer les probabilités pour chaque valeur prise par la variable aléatoire grand X.
14:24 Donc grand X, ça correspond à la durée de la publicité.
14:27 Donc la durée de la publicité peut soit durer 5 minutes, soit 8 minutes, soit 10 minutes, soit 15 minutes.
14:34 Et la proiété qui a duré 5 minutes, c'est dans 16% des cas,
14:38 donc 16% des cas, c'est 16/100.
14:41 8 minutes, c'est dans 25% des cas, donc la proiété c'est 25/100.
14:46 10 minutes, 34%, donc 34/100.
14:50 Et 15 minutes, 25%, donc 25/100.
14:54 Voici les variables aléatoires, la loi de probabilité.
14:59 Question 2, calculez et interprétez l'espérance.
15:02 Donc on y va, l'espérance de la variable aléatoire grand Y,
15:07 donc ça donne 5*16/100, +8*25/100, +10*34/100, +15*25/100.
15:22 On tape tout ça à la calculatrice et on trouve exactement 9,95 minutes.
15:28 Parce que la durée de la publicité était en minutes.
15:31 Et on vous demande d'interpréter le résultat,
15:33 donc ce qui est important c'est de dire qu'en moyenne,
15:37 la publicité dure 9,95 minutes.
15:49 On pouvait s'arrêter là, mais par contre,
15:53 souvent en physique chimie, on vous demande d'exprimer
15:56 le temps en minutes/seconde.
15:59 Donc là, je vais juste vous rappeler comment on fait la conversion en minutes/seconde.
16:02 Donc 9,95 minutes.
16:05 Ce que l'on sait c'est que 1 minute, c'est 60 secondes.
16:14 Donc là, 9 minutes, ok.
16:16 Donc 0,95 minutes.
16:21 Si on fait un tableau, combien ça nous donne en secondes ?
16:24 Vous connaissez le produit en croix, pour trouver ce qui est ici.
16:28 On effectue 0,95 multiplié par 60,
16:34 et on divise ensuite le tout par 1.
16:38 Et si vous faites ce calcul, 0,95 soit 60 divisé par 1,
16:41 on trouve donc 57 secondes.
16:44 Donc à l'aide du produit en croix, là je trouve 57 secondes.
16:48 Donc si on vous demandait en physique chimie,
16:50 9,95 minutes, ça c'est 9 minutes et 57 secondes.
16:59 Voilà, petit aparté qui peut vous être utile
17:02 sûrement l'année prochaine ou cette année.
17:04 Ensuite, exercice 6.
17:06 Alors là, lui, il n'a pas été très bien réussi.
17:08 Alors on va voir ce qui vous a pénalisé.
17:11 Un joueur paye 5 euros pour participer.
17:14 Donc déjà, le joueur dépense 5 euros.
17:16 On lance un dééquilibré à 6 faces,
17:18 donc chaque face a la même probabilité.
17:21 Numéro T2, un 6, il le détombe sur un nombre de paires.
17:24 Le joueur ne gagne rien.
17:26 S'il le détombe sur la face 1, il gagne 1 euro.
17:29 S'il le détombe sur la face 3, il gagne 3 euros.
17:31 Enfin, s'il le détombe sur la face 5, il gagne 25 euros.
17:34 On note X, la variable aléatoire,
17:36 et là c'est important, qui correspond au gain final du joueur.
17:39 Donc grand X est le gain final du joueur.
17:42 Donc on va faire question 1.
17:44 Quelles sont les valeurs prises par grand X ?
17:47 C'est le gain final du joueur.
17:49 Qu'est-ce qu'il peut gagner le joueur à la fin ?
17:51 Si il tombe sur un nombre de paires, il ne gagne rien,
17:53 donc il a 0 euro.
17:55 Mais c'est le gain final,
17:57 il a payé 5 euros pour participer.
17:59 Donc s'il tombe sur un nombre de paires,
18:01 il a perdu 5 euros.
18:03 Donc X, le gain final possible, c'est -5 euros.
18:07 Ensuite, si ça tombe sur la face 1,
18:11 le joueur gagne 1 euro.
18:13 OK, il gagne 1 euro, mais il a payé 5 euros pour participer,
18:15 donc finalement, le gain final, c'est -4.
18:19 Ensuite, s'il le détompe sur la face 3,
18:22 il gagne 3 euros.
18:23 Très bien, le joueur gagne 3 euros en jouant,
18:25 mais il a payé 5 euros pour participer,
18:27 donc finalement, le gain final, c'est -2.
18:29 Et enfin, si ça tombe sur la face 5,
18:31 il gagne 25 euros.
18:33 OK, il gagne 25 euros, mais il a payé 5 euros pour jouer,
18:35 donc il gagne 20 euros.
18:36 Donc grand X, qui associe le gain final du joueur à la fin,
18:40 soit le joueur a perdu 5 euros,
18:42 soit le joueur a perdu 4 euros,
18:44 soit le joueur a perdu 2 euros,
18:45 soit le joueur a gagné 20 euros.
18:47 Maintenant, on va déterminer la loi de probabilité de grand X.
18:50 C'est un tableau où on a les valeurs prises par grand X
18:55 dans la première ligne,
18:57 et en dessous, ce sont les probabilités associées.
19:01 Donc les gains possibles sont -5 euros, -4 euros, -2 euros, 20 euros.
19:08 Tac !
19:10 Et donc là, on réfléchit,
19:11 dans quel cas le joueur perd 5 euros ?
19:14 Donc le joueur perd 5 euros si le dé tombe sur un non pair.
19:18 Donc un non pair, on sait qu'il y a 3 faces sur 6,
19:21 donc la probabilité c'est 3/6,
19:23 ce qu'on peut écrire 1/2.
19:26 Ensuite, la probabilité que le joueur perde 4 euros,
19:28 donc le joueur perd 4 euros quand le dé tombe sur la face 1,
19:31 donc on a juste une chance sur 6 que ça tombe sur la face 1.
19:35 Pareil, le joueur perd 2 euros quand le dé tombe sur la face 3,
19:39 donc il y a une face sur les 6 que la face 3.
19:42 Et le joueur gagne au final 20 euros quand le dé tombe sur la face 5,
19:45 donc la probabilité, on a une face sur les 6.
19:48 Voilà la loi de probabilité de grand X.
19:51 Ensuite, on vous dit "accepteriez-vous de jouer à ce jeu ?
19:53 Justifiez mathématiquement votre réponse."
19:55 Donc ce qui était attendu, c'était de calculer l'espérance de X
19:57 pour savoir le gain moyen par partie.
20:00 Donc on y va, l'espérance, c'est -5 fois 1/2,
20:04 + -4 fois 1/6,
20:09 + -2 fois 1/6,
20:13 + 20 fois 1/6.
20:17 On prend la calculatrice, ça vaut environ,
20:22 je rappelle l'argent payé en centimes d'euros,
20:26 donc ça vaut environ, si vous tapez ça, -0,17.
20:30 Pensez 6, 6, 6, 6, donc on a rendu à 7.
20:33 L'argent payé en centimes d'euros, on s'arrête là,
20:36 donc ça vaut environ -0,17.
20:39 Donc ça signifie qu'en moyenne,
20:43 un joueur perd 0,17 euros,
20:49 c'est-à-dire 17 centimes d'euros par partie.
20:53 Donc moi, je refuserais de jouer.
21:01 Le souci, c'est que si on raisonne comme ça,
21:04 on ne joue à aucun jeu dans la vie, pour tous les jeux,
21:07 sans défaveur du joueur.
21:10 Donc la petite phrase, en moyenne, on perd 17 centimes par partie,
21:13 donc en théorie, il ne faudrait pas jouer,
21:16 mais dans la vie pratique, on joue bien.
21:20 Sinon, on ne participerait jamais.
21:23 Donc en moyenne, on perd 17 centimes d'euros par partie.
21:26 Et le dernier exercice, exercice 7,
21:30 je fais d'une assurance voiture, on vous dit une assurance automobile
21:33 propose une formule classique sans option à 420 euros par an.
21:37 Si vous en trouvez une comme ça, à 420 euros, je signe direct.
21:41 On vous dit quel est le prix qu'un client devra payer chaque mois
21:47 s'il choisit cette formule sans option.
21:49 420 euros dans une année, il y a 12 mois,
21:52 donc on divise par 12, ce qui donne 35 euros par mois.
21:59 Ensuite, afin de proposer différents tarifs,
22:01 cette assurance automobile propose d'ajouter en option sur la formule classique
22:05 l'assurance contre le vol et l'assurance contre les impacts sur le pare-brise.
22:08 L'entreprise constate que 30% des clients choisissent l'assurance contre le vol
22:12 et 25% des clients prennent l'assurance contre les impacts sur le pare-brise.
22:15 Ces deux choix sont supposés indépendants,
22:18 donc indépendants, ça signifie que les clients sont libres
22:20 de choisir soit l'un, soit l'autre, soit les deux.
22:22 On choisit un assuré au hasard et on note respectivement
22:25 V, la personne est assurée contre le vol
22:29 et I, la personne est assurée contre les impacts sur le pare-brise.
22:35 Complété ci-dessous l'ordre de probabilité modélisant la situation.
22:38 Donc la probabilité que la personne soit assurée contre le vol,
22:41 d'après l'énoncé, il y en a 30%,
22:44 donc la probabilité 30% c'est 30/100, donc 0.30.
22:47 Et donc n'est pas assurée contre le vol, 0.70.
22:51 On vous dit que parmi ceux qui prennent l'assurance contre les impacts,
22:56 il y en a 25%, donc 25% c'est 25/100,
22:59 ce qui donne 0.25, 0.75, ne la prennent pas, 0.25 et 0.75.
23:06 Question 3, quelle est la probabilité que la personne soit assurée
23:13 contre le vol et les impacts ?
23:15 Donc ça c'est la probabilité d'être assurée contre le vol et les impacts.
23:19 Et ici, on l'a vu dans le cours, lorsqu'on a un arbre de probabilité,
23:23 on sait calculer ça.
23:24 Donc être assurée contre le vol et les impacts,
23:28 c'est le chemin ici vol et impact.
23:30 Et comment on calcule la probabilité d'un tel chemin ?
23:33 On multiplie les probabilités, donc c'est la probabilité de V
23:36 fois, et là attention, il ne faut pas se tromper,
23:39 ça ce n'est pas la probabilité de I,
23:41 ça c'est la probabilité de I,
23:44 sachant que la personne est assurée contre le vol.
23:47 Et donc on multiplie les probabilités,
23:49 c'est donc 0.30 fois 0.25,
23:52 ce qui donne 0.075.
23:56 Ensuite, quelle est la probabilité que la personne ne prenne aucune des deux options ?
24:02 Donc si la personne ne prend aucune des deux options,
24:04 ça veut dire qu'elle n'est pas assurée contre le vol
24:06 et elle n'est pas assurée contre les impacts.
24:08 Et donc c'est le chemin tout en bas,
24:11 non vol et non impact,
24:14 donc ça c'est contre le vol et contre les impacts,
24:17 c'est le chemin ici.
24:18 Et donc on multiplie les probabilités,
24:20 c'est donc la probabilité de V
24:22 fois, attention, là c'est la probabilité de I
24:25 sachant V,
24:28 ce qui donne 0.7 fois 0.75,
24:33 et ce qui donne 0.525.
24:37 On vous dit que la formule classique sans option coûte 420€,
24:43 c'est-à-dire que si on ne prend aucune option,
24:45 ça coûte 420€ à l'année.
24:47 Donc là, si je prends mon arbre,
24:50 c'est quel chemin ?
24:51 Donc je vais surligner le chemin,
24:53 ici si je ne prends aucune option,
24:55 je paye 420€.
24:57 Tac !
24:59 Ensuite, pour être assurée contre le vol,
25:02 la personne doit payer 50€ en plus à l'année.
25:05 Donc si on est assuré contre le vol,
25:07 on doit payer 50€ en plus.
25:09 Donc là, si je prends le chemin,
25:10 si je suis assuré contre le vol
25:12 et pas contre les impacts,
25:14 je vais payer donc 420+50,
25:16 là je vais payer 470€ ici.
25:19 Je suis assuré contre le vol et pas contre les impacts.
25:22 Et on vous dit, pour être assuré contre les impacts
25:25 sur le port-brise, la personne doit rajouter en plus 80€ à l'année.
25:29 Donc, le chemin ici,
25:32 si je suis assuré contre le vol et contre les impacts,
25:35 je paye donc 420€,
25:37 plus les 50€ contre le vol, plus les 80€
25:40 contre les impacts, je paye donc 550€ à l'année.
25:44 Et enfin, le dernier chemin,
25:47 ici, si je ne prends pas l'assurance contre le vol
25:50 et que je prends l'assurance contre les impacts,
25:52 je paye 420€ à l'année,
25:54 plus l'assurance contre les impacts qui est de 80,
25:56 je paye donc 500€ à l'année.
25:59 Donc voici les 4 tarifs possibles
26:01 pour un client.
26:03 Donc on note X, la variable aléatoire,
26:05 associée au coût en euros de l'assurance.
26:07 Complétez la loi de priorité suivante.
26:09 Donc dans la première ligne, c'est les coûts possibles.
26:11 Donc combien peut payer un client ?
26:13 Donc on a vu, il y a 420, 470, 500 ou 550€.
26:17 Donc 420.
26:21 Et on vérifie que la probabilité associée,
26:23 c'est bien 0,525.
26:25 Donc je paye 420€,
26:27 ici, lorsque je ne prends qu'un impact.
26:31 Donc c'était la question 4.
26:34 Vbar et Ibar, on trouve 0,525.
26:37 Donc là, 420€, ça c'est d'après la question 4.
26:45 Ensuite, je paye 550€,
26:48 donc le plus cher ici, donc 550€.
26:52 Et donc dans quel cas on paye 550€ ?
26:54 C'est qu'on a assuré contre le vol les odeurs d'impact,
26:56 donc on a déjà calculé la question 3,
26:58 c'est donc 0,075 d'après la question 3.
27:03 Ça c'est d'après la question 3.
27:07 Ensuite, théoriquement, la formule au-dessus,
27:10 c'est celle qui coûte 470€.
27:15 Et on vérifie bien que la probabilité est bien de 0,225.
27:19 Donc je paye 470€ lorsque j'effectue le chemin jaune.
27:24 Donc la probabilité, on effectue 0,30 fois 0,75
27:28 et on trouve bien 0,225.
27:30 Donc c'est bien cohérent.
27:32 Et enfin, le dernier tarif que l'on n'a pas pris en compte,
27:35 c'est celui-ci, je paye 500€ à l'année.
27:38 Donc 500€ à l'année.
27:41 C'est lorsque je ne prends pas l'assurance contre le vol
27:44 et que je prends l'assurance contre les impacts,
27:46 donc on effectue 0,70 fois 0,25
27:51 et 0,70 fois 0,25, on trouve 0,75.
27:57 On vérifie que la somme est bien égale à 1,
28:00 donc 0,525 + 0,225 + 0,75 + 0,075 = 1.
28:10 Donc c'est bon, check.
28:13 Et dernière question, calculez l'espérance de x notée E(x)
28:16 puis interprétez le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
28:19 Donc on y va, l'espérance va être la valeur moyenne,
28:21 donc 420*0,525 + 470*0,225 + 500*0,175 + 550*0,075,
28:39 on tape tout ça et on trouve 455€.
28:43 Donc interprétation, il ne faut pas l'oublier,
28:45 c'est-à-dire qu'en moyenne, un client paye 455€ par mois chez cette assureur.
29:08 Et voilà la correction de cette interrogation.
29:12 Merci d'avoir regardé cette vidéo !