- il y a 2 ans
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00:00 Bonjour, nous allons revoir les bases de la trigonométrie dans un triangle rectangle.
00:06 Pour démarrer, la trigonométrie, on verra cette année la trigonométrie un peu plus tard dans le cercle trigonométrique,
00:13 mais pour en rappel, on va revoir la trigonométrie dans un triangle rectangle.
00:18 C'est extrêmement important qu'un triangle soit rectangle,
00:21 si le triangle n'est pas rectangle, alors on ne peut pas appliquer la trigonométrie.
00:27 Voici quelques petits rappels sur les triangles.
00:32 Alors déjà, qu'est-ce qu'un triangle rectangle ?
00:34 Alors là, on parle de trigonométrie dans un triangle rectangle, mais il faut savoir ce que c'est un triangle rectangle.
00:38 Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
00:43 Définition, le côté le plus long dans un triangle rectangle s'appelle l'hypoténuse.
00:48 Regardez bien comment ça s'écrit, hypoténuse.
00:52 Donc voilà, on a un triangle rectangle, le plus long côté s'appelle l'hypoténuse.
00:56 Et dans un triangle, la somme, donc la somme c'est une addition,
01:00 la somme des trois angles vaut toujours 180 degrés.
01:03 C'est-à-dire que si vous dessinez un triangle quelconque,
01:06 lorsqu'on additionne la valeur des trois angles, ça donnera toujours 180 degrés.
01:14 Alors on y va, grandin, le théorème de Pythagore.
01:19 Alors là-dessus, au contrôle, je vais être intransigeant sur la rédaction.
01:24 Il faut une rédaction parfaite.
01:26 Le théorème de Pythagore, à quoi sert le théorème de Pythagore ?
01:29 Souvent on confond le théorème de Pythagore avec sa réciproque.
01:33 Le théorème de Pythagore, à quoi il sert ?
01:35 Il permet, c'est ça qui est important, de calculer des longueurs,
01:39 et bien sûr dans un triangle rectangle.
01:42 Le théorème de Pythagore, c'est pour calculer des longueurs dans un triangle rectangle.
01:46 Et on nous dit, soit ABC un triangle rectangle en A,
01:49 alors BC² = AC² + AB².
01:54 Si on fait une figure ici, si j'ai un triangle rectangle en A,
01:58 le côté le plus long, l'hypoténuse, est toujours opposé à l'angle droit.
02:03 C'est-à-dire, comme là j'ai un triangle rectangle en A,
02:05 le côté le plus long de l'hypoténuse, ce sera forcément BC.
02:09 Et donc le théorème de Pythagore dit que le côté le plus long au carré,
02:12 donc là c'est BC², est donc égal à la somme des deux autres côtés au carré.
02:17 Donc c'est égal à AC² + AB².
02:21 Donc exercice 1, application 1.
02:24 Soit ABC un triangle rectangle en A.
02:26 Donc déjà quand on dit triangle rectangle en A,
02:28 on va pouvoir utiliser le théorème de Pythagore.
02:31 Tel que AB = 3 cm, ABC = 4 cm.
02:34 1, faire une figure.
02:35 Donc là vous prenez votre équerre,
02:38 donc c'est un triangle rectangle en A,
02:39 donc avec votre équerre, on fait un angle droit en A,
02:43 un angle droit je rappelle c'est 90°,
02:45 donc là vous prenez l'équerre,
02:47 et pour montrer qu'il y a un angle droit,
02:49 il faut mettre la petite notation ça.
02:52 Ça, ça signifie que j'ai un angle droit en A,
02:54 c'est la notation.
02:55 Si vous ne marquez pas la notation,
02:56 ça veut dire qu'il n'y a pas d'angle droit.
02:58 Donc rectangle en A, et après vous prenez la règle,
03:00 donc on sait que AC mesure 4 cm,
03:05 donc là vous ferez la règle,
03:07 et là donc AB, j'ai 3 cm.
03:10 Voilà.
03:11 Et on nous dit de calculer la distance baissée.
03:14 Donc là on se dit, j'ai un triangle rectangle,
03:18 je dois calculer la longueur,
03:19 donc je vais appliquer le théorème de Pythagore.
03:21 Voici la rédaction parfaite question 2.
03:23 Donc il faut dire déjà,
03:24 pour pouvoir appliquer le théorème de Pythagore,
03:26 il faut que j'ai un triangle rectangle.
03:28 Donc on écrit que ABC,
03:29 donc ABC c'est le nombre du triangle,
03:31 donc ABC est un triangle rectangle en A.
03:40 Voilà.
03:41 Donc là on cite le théorème utilisé,
03:43 donc d'après le théorème de Pythagore,
03:50 et attention Pythagore c'est un monsieur,
03:53 donc c'est un P majuscule,
03:55 et attention s'il y a une faute dans son nom,
03:57 j'enlève des points.
03:59 Donc Pythagore c'est P-Y-T-H-A-G-O-R-E.
04:05 Pythagore.
04:07 Donc d'après le théorème de Pythagore,
04:09 on a que le côté le plus long,
04:12 donc l'hypothénus c'est le côté baissier,
04:14 donc BC au carré est égal à AB au carré,
04:19 plus AC au carré.
04:22 Dans la rédaction on rédige ça comme ça,
04:24 donc on remplace,
04:25 donc on saute une ligne,
04:27 donc BC au carré est égal à AB au carré,
04:30 donc 3 au carré,
04:32 plus AC au carré, 4 au carré.
04:35 J'ai une rédaction comme ça,
04:36 on saute des lignes,
04:37 on ne fait pas n'importe quoi dans la rédaction.
04:40 Donc ça donne, on réécrit à chaque fois,
04:42 on ne fait pas l'effet liant,
04:43 BC au carré c'est donc 9 + 16,
04:47 donc ça veut dire que BC au carré est égal à 25.
04:51 Et c'est là où on fait attention,
04:53 donc,
04:56 alors là on a un nombre,
04:58 on a la distance BC au carré qui vaut 25,
05:00 si je vous demande de résoudre cette équation,
05:02 X au carré est égal à 25,
05:05 ça équivaut à X est égal à la racine carré de 25,
05:11 qui donne 5,
05:12 ou, il y a deux solutions,
05:14 X est égal à moins la racine carré de 25,
05:16 qui donne bien -5.
05:19 Ça c'est un petit rappel.
05:22 Mais ici, BC,
05:24 ça représente quoi BC ?
05:25 BC ici ça représente une longueur,
05:28 c'est la distance entre le point B et le point C,
05:31 donc qu'une longueur c'est toujours positive,
05:34 donc là, dans votre rédaction,
05:36 on écrit que donc,
05:38 ici BC,
05:40 attention là j'ai plus au carré la BC,
05:42 c'est donc égal à la racine carré de 25,
05:45 qui est égale à 5,
05:48 ce qu'il y a de nul là,
05:49 BC c'est donc la racine carré de 25 qui vaut 5,
05:51 car, et on justifie,
05:53 pourquoi BC c'est la racine carré de 25 ?
05:55 Pensez qu'il y a deux solutions,
05:56 racine carré de 25 ou moins racine carré de 25.
05:59 La justification c'est,
06:00 BC ça vaut 5,
06:01 car, une distance,
06:03 BC ça représente la distance entre le point B et le point C,
06:06 car une distance est toujours positive,
06:10 une distance ne peut pas être négative,
06:12 donc c'est pour ça que BC ça vaut 5,
06:14 et toujours positive.
06:16 Et conclusion,
06:19 ainsi on répond à la question,
06:21 BC mesure 5 cm,
06:23 les unités c'était du cm,
06:25 donc on écrit BC = 5 cm.
06:28 Voilà,
06:29 donc,
06:30 on cite l'hypothèse,
06:31 on a un train rectangle A,
06:32 on cite le théorème de Pythagore,
06:34 tac tac tac tac,
06:35 BC au carré égal 25,
06:37 donc,
06:38 BC c'est la racine carré de 25 qui vaut 5,
06:40 parce qu'une distance est toujours positive,
06:42 donc BC mesure 5 cm.
06:44 On va passer à l'application 2,
06:48 donc on dit soit ABC,
06:51 un train rectangle en B,
06:53 donc déjà,
06:54 faire une figure,
06:55 donc hop, on visualise comme ça,
06:57 donc si j'ai un train rectangle,
06:58 je mets le codage comme si j'avais un train rectangle en B,
07:01 tel que AB vaut 9 cm,
07:05 AC = 13,
07:07 et donc faire une figure à main levée,
07:09 donc j'ai un train rectangle en B,
07:11 on nous dit que AB,
07:13 hop,
07:14 donc à la règle là,
07:15 ça mesure 9 cm,
07:17 donc là j'ai BC,
07:20 on ne connaît pas la distance,
07:22 et AC,
07:23 tac,
07:24 là j'ai 13 cm.
07:25 Voilà,
07:27 donc vous faites une figure avec les vraies dimensions,
07:29 tac tac,
07:30 comme ça.
07:31 Ok, question 2,
07:34 on vous dit de calculer la distance BC,
07:37 il faut calculer cette longueur là,
07:39 on donnera une valeur exacte,
07:41 puis une valeur approchée au centième près,
07:43 donc je rappelle,
07:44 quand j'ai un nombre,
07:45 ça c'est le chiffre des unités,
07:49 ça c'est le chiffre des dixièmes,
07:52 et donc ça c'est le chiffre des centièmes,
07:58 donc on vous dit d'arrondir une valeur approchée au centième près,
08:01 c'est-à-dire qu'il faut donner une valeur approchée à deux chiffres après la virgule,
08:04 on arrondit au centième.
08:06 Alors on y va,
08:08 on veut calculer BC,
08:09 donc qu'est-ce qu'on observe ?
08:10 On observe que j'ai un triangle rectangle,
08:12 donc on écrit que ABC est un triangle rectangle en B,
08:22 on cite le théorème,
08:24 donc d'après le théorème,
08:28 et attention à ne pas faire de faute de Pythagore,
08:31 donc c'est PYTHAGORE,
08:36 on a,
08:37 donc le côté le plus long c'est toujours le côté opposé à l'ongle droit,
08:43 donc AC²,
08:45 qui est égal à AB² + BC².
08:53 On remplace AC², c'est donc 13²,
08:56 qui est égal à AB²,
08:58 donc 9² + BC²,
09:01 13² + 13 * 13 = 169,
09:05 égal 9² + 81 + BC²,
09:09 et nous ce qui nous intéresse c'est BC,
09:11 donc on va faire -81 à gauche,
09:14 -81 à droite,
09:16 donc 169 - 81,
09:21 ça donne 88,
09:25 est égal à BC²,
09:28 et là sur la copie on écrit bien,
09:31 donc là j'ai BC² qui vaut 88,
09:36 donc BC c'est donc la racine carrée de 88,
09:40 et je l'ai déjà expliqué au dessus,
09:41 on sait qu'il y a deux solutions à cette équation,
09:43 il y a racine carrée de 88,
09:44 ou -racine carrée de 88,
09:46 sauf qu'ici BC ça représente une distance entre deux points,
09:49 et une distance est toujours positive,
09:51 donc BC = racine carrée de 88,
09:53 car une distance est toujours positive.
09:59 Voilà, donc BC = racine carrée de 88,
10:05 ça c'est la valeur exacte.
10:07 Et ensuite on nous demandait une valeur approchée au centième près,
10:12 donc si on veut une valeur approchée on note que BC,
10:14 valeur approchée vaut environ,
10:17 donc là je vais vous montrer à la calculatrice,
10:19 on va hop, mode plein écran,
10:23 que ce soit plus visible,
10:24 calcul,
10:26 racine carrée de 88,
10:29 donc là vous voyez ça vous simplifie,
10:31 et donc on vous demandait d'arrondir à deux chiffres après la virgule,
10:34 donc 1, 2, donc 38,
10:36 et on regarde ce qu'il y a après le 8,
10:37 après le 8 j'ai un 0,
10:39 donc on reste à 8,
10:40 je rappelle que si on avait 0, 1, 2, 3, 4,
10:42 on reste à 38,
10:44 et si on a 5, 6, 7, 8, 9 après le 8,
10:46 on arrondit au supérieur,
10:48 donc là c'est environ 9,38 cm,
10:51 donc BC, la valeur approchée,
10:54 c'est environ 9,38 cm.
10:57 La valeur exacte c'est racine de 88 cm,
11:00 c'est la valeur exacte,
11:01 la valeur approchée au centième près,
11:03 environ 9,38 cm.
11:07 Allez, on poursuit cette fois-ci avec la réciproque du théorème de Pythagore.
11:17 Alors, qu'est-ce que c'est que la réciproque du Pythagore ?
11:20 A quoi ça sert ?
11:22 A quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?
11:25 La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.
11:29 La réciproque de Pythagore c'est pour savoir,
11:32 la question c'est, le triangle est-il rectangle ?
11:34 Donc voici l'énoncé de la réciproque de Pythagore,
11:36 on dit soit ABC est un triangle,
11:38 donc le côté le plus long est BC,
11:40 si BC² = AC² + AP²,
11:42 alors ABC est un triangle rectangle en A.
11:45 Attention, si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée,
11:48 donc c'est ça l'égalité de Pythagore,
11:50 si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée,
11:52 alors le triangle ABC n'est pas rectangle,
11:55 et ce n'est pas grâce à la réciproque de Pythagore,
11:57 c'est grâce à la contraposée du théorème de Pythagore.
12:00 Donc ce qu'il faut retenir, c'est-à-dire que
12:02 si l'égalité de Pythagore est vérifiée,
12:04 j'ai un triangle rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore,
12:09 et si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée,
12:12 je n'ai pas un triangle rectangle d'après la contraposée du théorème de Pythagore.
12:17 Allez, application, on vous dit,
12:21 soit ABC un triangle tel que AB = 9 cm,
12:24 AC = 12 cm, BC = 15 cm.
12:26 1. Faire une figure à main levée.
12:28 Alors, ce soit très clair ce que je dis,
12:31 là, on ne sait pas si le triangle est rectangle, c'est la question 2.
12:35 Mais, si le triangle est rectangle,
12:39 le côté le plus long est toujours opposé à l'angle droit.
12:44 Donc là, je regarde qui est le côté le plus long,
12:46 je constate que c'est BC.
12:48 Donc ça veut dire, attention, ce que je dis,
12:50 c'est si j'ai un triangle rectangle,
12:53 alors BC doit être opposé à l'angle droit.
12:57 Le côté le plus long est toujours opposé à l'angle droit,
12:59 si j'ai un triangle rectangle.
13:01 Donc là, j'ai BC = 15 cm.
13:03 Et donc là, si je fais une figure,
13:06 j'ai AC = 12 cm.
13:09 Donc, je n'ai pas de règle,
13:11 et là, AB = 9 cm.
13:13 Et donc, la question, c'est,
13:15 est-ce que là, attention, je ne le marque pas,
13:17 la question c'est, est-ce que j'ai un angle droit en A ?
13:21 Donc, on y va, on vous dit,
13:23 ABC est-il un triangle rectangle ?
13:25 Donc si oui, si j'ai un triangle rectangle,
13:27 forcément, l'angle droit sera en A,
13:29 l'angle droit sera toujours opposé au côté le plus long.
13:35 Donc, rédaction.
13:37 On écrit d'une part,
13:39 on regarde, le côté le plus long, c'est BC.
13:44 Donc BC² = 15²,
13:48 ce qui donne 225.
13:50 D'autre part,
13:55 AB² + AC² = 12² + 12² = 9²
14:11 Donc 9² = 9 * 9 = 92,
14:14 92 * 12 = 144.
14:17 Et ça, c'est égal à,
14:19 tac tac, 1 + 4 = 5,
14:21 4 + 8 = 12,
14:25 1 + 1 = 2,
14:27 ça donne 225.
14:29 Donc on écrit qu'on a BC² = 225,
14:31 et AB² + AC² = 225.
14:33 Donc,
14:35 on a donc BC² = AB² + AC².
14:42 L'égalité de Pythagore est vérifiée,
14:45 donc là on cite,
14:47 d'après ici, la réciproque du théorème de Pythagore,
14:50 d'après la réciproque du théorème de Pythagore,
15:00 et on conclut le triangle ABC est rectangle,
15:10 et forcément en A,
15:12 et rectangle en A.
15:15 Voilà la rédaction d'une part.
15:18 D'autre part,
15:20 et donc d'après la réciproque de Pythagore,
15:22 le triangle ABC est rectangle en A.
15:26 On passe à l'application 4,
15:29 donc on dit soit ABC un triangle tel que
15:31 AB = 10, AC = 8, BC = 4 cm.
15:35 On fait une figure à main levée,
15:37 donc on observe toujours le côté le plus long,
15:39 donc là le côté le plus long c'est AB,
15:41 c'est-à-dire, attention,
15:42 si j'ai un triangle rectangle,
15:44 le côté le plus long est opposé à l'angle droit.
15:47 Donc là j'ai AB = 10,
15:49 qui est le côté le plus long, 10 cm.
15:52 Ensuite on vous dit que AC,
15:55 c'est une figure à main levée,
15:57 il faut que ce soit très clair,
15:58 c'est pas en vraie proportion,
15:59 AC vaut 8 cm.
16:01 Donc peut-être que je l'aurais dû le faire comme ça,
16:05 un peu autrement, hop,
16:07 là je vais faire A, B,
16:09 voilà, ce sera peut-être plus réaliste.
16:11 AB c'est le côté le plus long,
16:14 AC, 8 cm,
16:17 et BC, 4 cm.
16:19 Voilà, donc si on fait une figure à main levée,
16:21 on a ça.
16:22 Et donc la question c'est là,
16:23 est-ce que j'ai un angle droit ?
16:25 Donc le triangle à baisser est-il rectangle ?
16:28 Donc on a les trois longueurs,
16:29 on va calculer,
16:31 donc on y va, donc d'une part,
16:33 allez, le côté le plus long c'est AB,
16:38 donc AB² = 10²,
16:41 10 fois 10 qui donne 100,
16:43 d'autre part,
16:45 d'autre part, AC² + BC²,
16:54 ça donne 8² + 4²,
16:58 8 fois 8, 64,
17:00 plus 4 fois 4, 16,
17:04 6 et 4, 10,
17:06 je retiens 1,
17:07 donc ça donne 80.
17:09 Donc,
17:12 on écrit que AB² n'est pas égal à AC² + BC²,
17:20 et donc,
17:22 comme l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée,
17:25 et là attention,
17:27 comme l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée,
17:29 c'est d'après la contraposée,
17:30 donc d'après la contraposée
17:32 du théorème de Pythagore,
17:37 alors,
17:39 le triangle ABC n'est pas rectangle.
17:50 Tac !
17:56 Donc, bilan,
17:57 le théorème de Pythagore,
17:59 ça permet de calculer des longueurs dans un triangle rectangle.
18:02 La réciproque du théorème de Pythagore,
18:04 ça permet d'affirmer que le triangle est rectangle en A.
18:07 La contraposée du théorème de Pythagore,
18:09 ça permet de dire que le triangle n'est pas rectangle.
18:12 Et donc,
18:13 tac,
18:14 on a prouvé dans l'application
18:16 que le triangle
18:18 n'était pas
18:21 un triangle rectangle,
18:23 et donc, comme je n'ai pas un triangle rectangle,
18:25 je ne peux pas faire, hélas, de trigonométrie.
18:28 Donc, dans la prochaine vidéo,
18:30 on verra la trigonométrie dans un triangle rectangle.
18:32 Et oui, pour faire de la trigonométrie,
18:34 il nous faut un triangle rectangle.
18:37 *Bisous*
18:39 [Bruit de la clé qui s'ouvre]