Jean-François LE GALL "Grandes cartes aléatoires"

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2e Séminaire Itzykson
Jean-François LE GALL (Univ. Paris Sud) "Grandes cartes aléatoires"
L'objet de l'exposé est de discuter la limite continue des grandes cartes planaires aléatoires.
Pour cela, considérons une triangulation de la sphère choisie de manière uniforme, parmi toutes les triangulations ayant un nombre fixé de faces (deux triangulations sont identifiées si on passe de l'une à l'autre par un homéomorphisme direct de la sphère). On munit l'ensemble des sommets de cette triangulation de la distance de graphe usuelle. On montre que, quand le nombre de faces tend vers l'infini, l'espace métrique ainsi obtenu, convenablement changé d'échelle, converge en loi, au sens de la distance de Gromov-Hausdorff, vers un espace métrique compact aléatoire appelé la carte brownienne.
Ce résultat, qui répond à un problème posé par Schramm, reste vrai avec la même limite pour des cartes planaires aléatoires beaucoup plus générales. La carte brownienne apparaît ainsi comme un modèle universel de surface aléatoire, homéomorphe à la sphère mais de dimension de Hausdorff égale à 4.

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